Відкрити головне меню

Напівпростий лінійний операторлінійне перетворення векторного простору над полем для якого будь-який підпростір у , що є інваріантним щодо , має інваріантне пряме доповнення, тобто якщо — лінійний підпростір, для якого , то також існує підпростір , такий що і також

Іншими словами, потрібно, щоб визначав на структуру напівпростого модуля над кільцем .

У скінченновимірному випадку матриця, що є матрицею напівпростого лінійного перетворення називається напівпростою матрицею.

ПрикладиРедагувати

Прикладами напівпростих матриць і відповідно лінійних перетворень для скінченновимірних евклідових просторів є:

ВластивостіРедагувати

  • Властивість напівпростоти лінійних перетворень зберігається при переході до інваріантного підпростору   і до факторпростору  .
  • Для скінченновимірних просторів лінійне перетворення є напівпростим тоді і тільки тоді, коли його мінімальний многочлен не має кратних множників.
  • У випадку простору над алгебрично замкнутим полем   це еквівалентно тому, що лінійне перетворення є діагоналізовним.
  • Попереднє твердження буде справедливим і у випадку, коли всі власні значення лінійного перетворення належатимуть полю (не обов'язково алгебрично замкнутому), над яким визначений векторний простір.
  • Якщо поле   є досконалим, то лінійне перетворення є напівпростим тоді і тільки тоді, коли воно є діагоналізовним у алгебричному замиканні поля.
  • Якщо  розширення поля   і   — продовження відображення   на простір  , то з того що   є напівпростим випливає що і   є напівпростим. Якщо   є ceпapaбельним над  , то справедливим є і обернене твердження. Ендоморфізм   називається абсолютно напівпростим, якщо   є напівпростим для будь-якого розширення  . Для цього необхідно і достатньо, щоб мінімальний многочлен не мав кратних коренів в алгебраїчному замиканні поля  , тобто щоб ендоморфізм   був діагоналізовним.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати