Мінімальний многочлен матриці

Мінімальний многочлен матриці A розмірності n×n над полем Fмногочлен p(x) над полем F, такий, що p(A)=0, старший коефіцієнт якого рівний 1 і степінь якого мінімальна серед таких многочленів. Для довільної матриці такий многочлен існує і є єдиним.

ВластивостіРедагувати

  • Нехай p(x) — мінімальний многочлен матриці A і g(x) — деякий інший многочлен, такий що g(A) = 0 (анулюючий многочлен матриці A). Тоді p(x) ділить многочлен g(x). Еквівалентно, якщо для матриці A над полем   визначити множину:
 

то   буде ідеалом в кільці   многочленів над полем  . Цей ідеал тоді буде головним, породженим мінімальним многочленом p(x).

  • Такі твердження є еквівалентними:
  1.   є коренем многочлена p(x),
  2. λ є коренем характеристичного многочлена матриці A,
  3. λ є власним значенням матриці A.
  • Кратність кореня λ мінімального многочлена p(x) рівна розміру найбільшого жорданового блоку, що відповідає числу λ
  • Якщо матрицю A можна привести до діагонального виду у полі  , то многочлен p(x) у полі   можна розкласти на лінійні множники, причому всі корені тоді відмінні.

ОбчисленняРедагувати

Визначимо I A, v як:

 

Дана множина є головним ідеалом. Нехай   многочлен зі старшим коефіцієнтом 1, що породжує цей ідеал.

 
для деяких   і
 

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати