Мінімальний многочлен матриці

Мінімальний многочлен матриці A розмірності n×n над полем F — многочлен p(x) над полем F, такий, що p(A)=0, старший коефіцієнт якого рівний 1 і степінь якого мінімальна серед таких многочленів. Для довільної матриці такий многочлен існує і є єдиним.

Властивості

• Нехай p(x) — мінімальний многочлен матриці A і g(x) — деякий інший многочлен, такий що g(A) = 0 (анулюючий многочлен матриці A). Тоді p(x) ділить многочлен g(x). Еквівалентно, якщо для матриці A над полем $\mathbb {K}$ визначити множину:

${\mathit {I}}_{A}=\{g\in \mathbb {K} [t]\;|\;g(T)=O\}$

то ${\mathit {I}}_{A}$ буде ідеалом в кільці $\mathbb {K}$ многочленів над полем $\mathbb {K}$. Цей ідеал тоді буде головним, породженим мінімальним многочленом p(x).

• Такі твердження є еквівалентними:

1. $\lambda \in \mathbb {K}$ є коренем многочлена p(x),
2. λ є коренем характеристичного многочлена матриці A,
3. λ є власним значенням матриці A.

• Кратність кореня λ мінімального многочлена p(x) рівна розміру найбільшого жорданового блоку, що відповідає числу λ
• Якщо матрицю A можна привести до діагонального виду у полі $\mathbb {K}$, то многочлен p(x) у полі $\mathbb {K}$ можна розкласти на лінійні множники, причому всі корені тоді відмінні.

Обчислення

Визначимо I _{A, v} як:

${\mathit {I}}_{A,v}=\{p\in \mathbb {K} [t]\;|\;v\in {\mbox{Ker}}\;p(A)\}=\{p\in \mathbb {K} [t]\;|\;p(A)(v)=0\}.$

Дана множина є головним ідеалом. Нехай $\mu _{A,v}$ многочлен зі старшим коефіцієнтом 1, що породжує цей ідеал.

• Многочлен $\mu _{A,v}$ ділить p(x).
• Якщо d — найбільше натуральне число, таке що v, A(v), ... , A^d(v) є лінійно незалежними,тоді

$\alpha _{0}v+\alpha _{1}A(v)+\ldots +\alpha _{n}A^{d}(v)+A^{d+1}(v)=0$

для деяких $\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {K}$ і

$\mu _{A,v}(t)=\alpha _{0}+\alpha _{1}t+\ldots +\alpha _{n}t^{d}+t^{d+1}.$

• Для базису {v₁,..., v_n} мінімальний многочлен рівний найменшому спільному кратному многочленів $\mu _{A,v_{i}}$ для всіх i = 1, ... , n.

Див. також

• Анулюючий многочлен
• Характеристичний многочлен
• Власне значення матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Ланкастер П.. Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
• Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
• Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7 .