Ядро (алгебра)

В алгебрі ядром гомоморфізму (функція, яка зберігає структуру) зазвичай є прообраз нуля (за винятком груп, у яких операція є мультиплікативною і ядро є прообразом одиниці). Важливим окремим випадком є ядро лінійного відображення. Ядро матриці, яке також називають нульовим простором, є ядром лінійного відображення, яке визначається цією матрицею.

Ядро гомоморфізму зводиться до 0 (або 1) тоді й лише тоді, коли гомоморфізм є ін'єктивним, тобто, якщо прообраз кожного елемента складається з одного елемента. Це означає, що ядро можна розглядати як міру степеня, при якому гомоморфізм перестає бути ін'єктивним.1

Для деяких типів структур, таких як абелеві групи та векторні простори, можливі ядра є саме підструктурами того ж типу. Це не завжди так, і іноді, можливі ядра мають особливу назву, наприклад, нормальна підгрупа для груп і двосторонній ідеал для кілець.

Ядра дозволяють визначати фактор-об'єкти (в універсальній алгебрі також називаються фактор-алгебрами, а в теорії категорій — коядрами). Для багатьох типів алгебраїчних структур фундаментальна теорема про гомоморфізми (або перша теорема про ізоморфізми) стверджує, що образ гомоморфізму ізоморфний фактор-простору за ядром.

Концепція ядра була розширена на такі структури, для яких існування прообразу окремого елемента недостатньо, щоб довести, що гомоморфізм є ін'єктивним. У цих випадках ядро є відношенням конгруентності. Ця стаття є оглядом деяких важливих типів ядер в алгебраїчних структурах.

Лінійні простори

Нехай $V$ і $W$— векторні простори над полем (або, у загальному випадку, модулі над кільцем), а $T$ — лінійне відображення, що діє з простору $V$ у простір $W$ ($T\colon V\to W$). Якщо $0_{W}$ нульовий вектор з простору $W$, тоді ядро лінійного відображення $T$ є прообразом нульового підпростору ${0_{W}}$; тобто підмножина простору $V$, що складається з усіх тих елементів, що належать простору $V$, які відображаються $T$ у елемент $0_{W}$. Ядро зазвичай позначають як $\ker T$ або використовують варіації наступного запису:

$\ker T=\{v\in V\colon T(v)=0_{W}\}.$

Оскільки лінійне відображення зберігає нульові вектори, то нульовий вектор $0_{V}$ з простору $V$ повинен належати ядру. Перетворення $T$ є ін'єктивним тоді й лише тоді, коли його ядро породжене лише нульовим підпростором.

Ядро $\ker T$ завжди є лінійним підпростором простору $V$. Отже, є сенс говорити про фактор-простір $V/(\ker T)$. Перша теорема про ізоморфізм для векторних просторів стверджує, що цей фактор-простір природно ізоморфний образу відображення $T$ (який є підпростором простору $W$). Як наслідок, розмірність простору $V$ дорівнює розмірності ядра плюс розмірність образу:

$\dim V=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname {Im} V).$

Якщо $V$ і $W$ скінченновимірні простори в яких зафіксовано базиси, то лінійне відображення $T$ можна представити матрицею $M$, а ядро можна знайти, розв'язавши однорідну систему лінійних рівнянь $Mv=0$. У цьому випадку ядро лінійного відображення $T$ може бути одночасно визначено ядром матриці $M$, яке також називають «нульовим простором» матриці $M$. Розмірність нульового простору матриці $M$, яку називають дефектом матриці $M$, визначається кількістю стовпців матриці $M$ мінус ранг матриці $M$, як наслідок теореми про ранг i дефект.

Розв'язування однорідних диференціальних рівнянь часто зводиться до обчислення ядра певних диференціальних операторів. Наприклад, знайдемо всі двічі диференційовані функції $f$, які визначені на дійсній прямій, такі, що

$xf''(x)+3f'(x)=f(x).$

Нехай $V$ — простір усіх двічі диференційованих функцій, $W$ — простір усіх функцій. Визначимо лінійний оператор $T$, що діє з простору $V$ у простір $W$, наступним чином:

$(Tf)(x)=xf''(x)+3f'(x)-f(x),$

де $f\in V$, $x$ — довільне дійсне число. Тоді всі розв'язки диференціального рівняння належать $\ker T$.

Аналогічним чином можна визначити ядра для гомоморфізмів між модулями над кільцем. Це включає ядра гомоморфізмів між абелевими групами як частинний випадок. Цей приклад відображає суть ядер у загальних абелевих категоріях; див. ядро (теорія категорій).

Гомоморфізм груп

Нехай $G$ та $H$ — групи, а $f$ — гомоморфізм груп з $G$ в $H$ $(f\colon G\to H)$. Якщо $e_{H}$ — нейтральний елемент з групи $H$, то ядро гомоморфізму $f$ — це прообраз одноелементної множини $\{e_{H}\}$; тобто підмножини групи $G$, що складається з усіх тих елементів групи $G$, які відображаються $f$ у елемент $e_{H}$. Ядро зазвичай позначають $\ker f$. У символьній формі:

$\ker f=\{g\in G\colon f(g)=e_{H}\}.$

Оскільки гомоморфізм групи зберігає нейтральні елементи, то нейтральний елемент $e_{H}$ групи $G$ належить ядру.

Гомоморфізм $f$ є ін'єктивним тоді й лише тоді, коли його ядром є одноелементна множина $\{e_{G}\}$. Якщо гомоморфізм $f$ неін'єктивний, тоді неін'єктивні елементи можуть утворювати окремий елемент його ядра: тобто існують елементи $a,b\in G$, такі що $a\neq b$ і $f(a)=f(b)$. Таким чином, $f(a)f(b)^{-1}=e_{H}$. $f$ — це груповий гомоморфізм, тому обернені та групові операції зберігаються, а тому $f(ab^{-1})=e_{H}$; іншими словами $ab^{-1}\in \ker f$ і $\ker f$ не є одноелементним. і навпаки, різні елементи ядра прямо порушують ін'єктивність: якщо б існував елемент $g\neq \ker f$, тоді $f(g)=f(e_{G})=e_{H}$ і, таким чином, $f$ не був би ін'єктивним.

$\ker f$ — це підгрупа групи $G$ і крім того нормальна підгрупа. Отже, існує відповідна фактор-група $G/\ker f$. За першою теоремою про ізоморфізм для груп вона ізоморфна $f(G)$, образу групи $G$ при відображенні $f$ (яка теж є підгрупою групи $H$).

У частинному випадку абелевих груп немає ніяких відхилень від попереднього пункту.

Приклад

Нехай $G$ — циклічна група з 6 елементів $\{0,1,2,3,4,5\}$ з додаванням за модулем, $H$ — циклічна група з двох елементів $\{0,1\}$ з додаванням за модулем, а $f$ — гомоморфізм, який відображає кожен елемент $g\in G$ в елемент $g\in H$ за модулем $2$. Тоді $\ker f=\{0,2,4\}$, оскільки всі ці елементи відображаються в $0_{H}$. Фактор-група $G/(\ker f)$ має два елементи: $\{0,2,4\}$ та $\{1,3,5\}$. Вона дійсно ізоморфна групі $H$.

Гомоморфізми кілець

Нехай $R$ і $S$ — кільця (вважатимемо їх унітарними), а $f$ — гомоморфізм кільця, що діє з $R$ до $S$ ($f\colon R\longrightarrow S$). Якщо $0_{S}$ — нульовий елемент кільця $S$, то ядро гомоморфізму $f$ є його ядром як лінійного відображення над цілими числами, або, еквівалентно, як адитивної групи. Це прообраз нульового ідеалу $\{0_{S}\}$, який є підмножиною кільця $R$, що складається з усіх тих елементів кільця $R$, які відображаються гомоморфізмом $f$ в елемент $0_{S}$. Ядро зазвичай позначають як $\ker f$ (або інші варіації цього позначення). У символьній формі:

$\ker f=\{r\in R\colon f(r)=0_{S}\}.$

Оскільки гомоморфізм кільця зберігає нульові елементи, нульовий елемент $0_{R}$ кільця $r$ повинен належати ядру. Гомоморфізм $f$ є ін'єктивним тоді і лише тоді, коли його ядром є лише одноелементна множина $\{0_{R}\}$. Це завжди має місце, якщо кільце $R$ є полем, а кільце $S$ не є нульовим кільцем.

Оскільки $\ker f$ містить мультиплікативну одиницю лише тоді, коли $S$ є нульовим кільцем, то ядро у загальному випадку не є підкільцем кільця $R$. Ядро є псевдокільцем, а точніше, двостороннім ідеалом кільця $R$. Таким чином, має сенс говорити про фактор-кільце $R/(\ker f)$. Перша теорема про ізоморфізм кілець стверджує, що це фактор-кільце природно ізоморфне образу гомоморфізму $f$ (який є підкільцем кільця $S$). (Зауважте, що кільця не обов'язково повинні бути унітарними для визначення ядра).

У деякій мірі це можна розглядати як частинний випадок ситуації з модулями, оскільки всі вони є бімодулями над кільцем $R$:

• саме $R$,
• двосторонній ідеал кільця $R$ (наприклад, $\ker f$),
• будь-яке фактор-кільце кільця $R$ (наприклад, $R/\ker f$),
• кообласть будь-якого гомоморфізму кільця областю якого є $R$ (наприклад, кільце $S$ — кообласть гомоморфізму $f$).

Однак теорема про ізоморфізм дає сильніший результат, оскільки ізоморфізми кілець зберігають множення, а ізоморфізми модулів (навіть між кільцями) взагалі ні. Цей приклад розкриває суть ядер у загальних алгебрах Мальцева.

Гомоморфізми моноїдів

Нехай $M$ та $N$ — моноїди, та нехай $f$ — гомоморфізм моноїдів з $M$ в $N$. Тоді ядро гомоморфізму $f$ — це підмножина прямого добутку $M\times M$, що складається з усіх впорядкованих пар елементів з $M$, обидві компоненти яких відображаються за допомогою $f$ у один і той самий елемент з $N$. Ядро зазвичай позначають $\ker f$. У символьній формі:

$\ker f=\{(m,m')\in M\times M\colon f(m)=f(m')\}.$

Оскільки $f$ є функцією, то елементи виду $(m,m)$ повинні належати ядру. Гомоморфізм $f$ є ін'єктивним тоді й лише тоді, коли його ядром є лише діагональна множина $\{(m,m)\colon m\in M\}$.

Виявляється, що $\ker f$ є відношенням еквівалентності на $M$, і фактично відношенням конгруентності. Таким чином, має сенс говорити про фактор-моноїд $M/(\ker f)$. Перша теорема про ізоморфізм для моноїдів стверджує, що цей фактор-моноїд природно ізоморфний образу гомоморфізму $f$ (який є підмоноїдом моноїда $N$; для відношення конгруентності). Це суттєво відрізняється від наведених вище прикладів. Зокрема, прообразу нейтрального елементу з $N$ недостатньо для визначення ядра гомоморфізму $f$.

Універсальні алгебри

Усі вищезазначені випадки можуть бути уніфіковані й узагальнені в універсальній алгебрі.

Загальний випадок

Нехай $A$ і $B$ — алгебраїчні структури заданого типу і $f$ — гомоморфізм цього типу з $A$ в $B$. Тоді ядро $f$ — це підмножина прямого добутку $A\times A$, що складається з усіх тих упорядкованих пар елементів з $A$, обидва компоненти яких відображаються за допомогою $f$ у один і той самий елемент з $B$. Ядро зазвичай позначається $\ker f$. У символьній формі:

$\ker f=\{(a,a')\in A\times A\colon f(a)=f(a')\}.$

Оскільки $f$ є функцією, то елементи виду $(a,a)$ повинні належати ядру. Гомоморфізм $f$ є ін’єктивним тоді й лише тоді, коли його ядро є діагональною множиною $\{(a,a)\colon a\in A\}$.

Легко побачити, що $\ker f$ є відношенням еквівалентності на $A$, і фактично відношенням конгруентності. Таким чином, має сенс говорити про фактор-алгебру $A/(\ker f)$. Перша теорема про ізоморфізм в загальній універсальній алгебри стверджує, що ця фактор-алгебра природно ізоморфна образу гомоморфізму $f$ (який є підалгеброю в $B$). Зауважимо, що означення ядра тут (як у моноїдному прикладі) не залежить від алгебраїчної структури; це суто теоретико-множинне поняття. Докладніше про це загальне поняття, за межами абстрактної алгебри, дивись ядро функції.

Алгебри Мальцева

У випадку алгебр Мальцева цю конструкцію можна спростити. Кожна алгебра Мальцева має спеціальний нейтральний елемент (нульовий вектор у випадку векторних просторів, одиничний елемент у випадку комутативних груп і нульовий елемент у випадку кілець або модулів). Характерною особливістю алгебри Мальцева є те, що можна відновити всі відношення еквівалентності $\ker f$ з класу еквівалентності нейтрального елемента.

Точніше, нехай $A$ і $B$ — алгебраїчні структури Мальцева даного типу, а $f$ — гомоморфізм цього типу з $A$ в $B$. Якщо $e_{B}$ — нейтральний елемент з $B$, то ядро гомоморфізму $f$ — прообраз одноелементної множини $\{e_{B}\}$; тобто підмножина множини $A$, що складається з усіх тих елементів множини $A$, які відображаються за допомогою $f$ в елемент $e_{B}$. Ядро зазвичай позначають $\ker f$ (або його варіація). У символьній формі:

$\ker f=\{a\in A\colon f(a)=e_{B}\}.$

Оскільки гомоморфізм алгебри Мальцева зберігає нейтральні елементи, то нейтральний елемент $e_{A}$ множини $A$ повинен належати ядру. Гомоморфізм $f$ є ін’єкивним тоді й лише тоді, коли його ядром є лише одноелементна множина $\{e_{A}\}$.

Поняття ідеалу узагальнюється на будь-яку алгебру Мальцева (як лінійний підпростір у випадку векторних просторів, нормальна підгрупа у випадку груп, двосторонні ідеали у випадку кілець, і підмодуль у випадку модулів). Виявляється, що $\ker f$ не є підалгеброю в $A$, а є ідеалом. Тоді є сенс говорити про фактор-алгебру $G/(\ker f)$. Перша теорема про ізоморфізм для алгебр Мальцева стверджує, що ця фактор-алгебра природно ізоморфна образу відображення $f$ (який є підалгеброю в $B$).

Зв’язок між цим і відношенням конгруентності для більш загальних типів алгебр полягає в наступному. По-перше, ядро як ідеал є класом еквівалентності нейтрального елемента $e_{A}$ відносно ядра як конгруенції. Для зворотного напрямку потрібне поняття фактору в алгебрі Мальцева (яке є діленням з обох сторін для груп і відніманням для векторних просторів, модулів і кілець). Використовуючи це, елементи $a$ і $b$ з $A$ є еквівалентними відносно ядра як конгруенції тоді й лише тоді, коли їх відношення $a/b$ є елементом ядра як ідеалу.

Алгебри з неалгебраїчними струкутрами

Іноді алгебри оснащені неалгебраїчною структурою на додаток до їх алгебраїчних операцій. Наприклад, можна розглядати топологічні групи або топологічні векторні простори оснащені топологією. У цьому випадку можна очікувати, що гомоморфізм $f$ збереже цю додаткову структуру; у топологічних прикладах вимагаємо, щоб $f$ було неперервним відображенням. Процес може зіткнутися з проблемою фактор-алгебр, які можуть поводитися не дуже добре. У топологічних прикладах можна уникнути проблем, вимагаючи, щоб топологічні алгебраїчні структури були гаусдорфовими (як це зазвичай робиться); тоді ядро (як би воно не було побудовано) буде замкненою множиною, а фактор-простір працюватиме нормально (а також буде хаусдорфовим).

Ядро в теорії категорій

Поняття ядра в теорії категорій є узагальненням ядра абелевих алгебр; дивись ядро (теорія категорій). Категоріальним узагальненням ядра як відношення конгруентності є пара ядер. (Існує також поняття різницевого ядра або бінарного стабілізатора.)

Властивості

Основні властивості ядра гомоморфізму в статтях:

• Ядро та образ гомоморфізму
• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми (перша теорема)

Див. також

• Ядро (математика)
• Ядро інтегрального оператора
• Ядро лінійного оператора
• Ядро (лінійна алгебра)
• Нульова множина

Література

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-43334-9.
• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.