Перелік матриць
Тут зібрані найважливіші класи матриць, що використовуються в математиці, науці (в цілому) і прикладній науці (зокрема).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B8%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8C.svg/427px-%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B8%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8C.svg.png)
Під матрицею розуміється прямокутний масив чисел, що називаються елементами. Матриці мають довгу історію досліджень та застосувань, що призводить до різних способів їх класифікації. Перша група матриць задовольняє конкретним умовам і обмеженням на їх елементи, включаючи постійні матриці — матриці, що складаються з певних чисел. Важливим прикладом матриць такого виду є одинична матриця:
Інші способи класифікації матриць пов'язані або з їх власними значеннями, або з умовами, які представляються у вигляді матричних рівнянь (співвідношень). Нарешті, в багатьох областях науки, зокрема у фізиці і в хімії, зустрічаються матриці спеціального виду, які застосовуються виключно в цих областях.
Матриці, що визначаються властивостями елементів
ред.Даний нижче список матриць визначається умовами, які накладаються на елементи матриць. Багато які з таких властивостей можна застосовувати тільки до квадратних матриць. В квадратній матриці є дві діагоналі: головна діагональ (що йде з лівого верхнього кута в правий нижній кут) і побічна діагональ (що йде з лівого нижнього кута в правий верхній кут).
Матриці загального вигляду
ред.Матриці, представлені нижче, характеризуються тим, що властивості елементів матриць описуються в термінах структури матриці. Сюди відноситься взаємне розташування ненульових елементів, а також властивості інваріантності щодо матричних перетворень.
Назва | Опис | Примітки, пояснення | |
---|---|---|---|
Бінарна матриця | Матриця, що складається з нулів та одиниць. | Синоніми: булева матриця, логічна матриця. | |
Бінарна матриця | синонім для (0,1) -матриці, бінарної матриці і логічної матриці. | ||
Матриця альтернансу[ru] | Матриця, елементи якої представляють собою значення функцій в певних точках. | ||
Нульова матриця | Матриця, що повністю складається з нулів. | ||
Антидіагональна матриця | Квадратна матриця, всі елементи якої, що лежать поза побічною діагоналлю, дорівнюють нулю. | ||
Антиермітова матриця | Квадратна матриця з комплексними елементами, що переходить в себе зі зміною знака при операції ермітового спряження (тобто при комплексному спряженні кожного елемента і подальшому транспонуванні матриці), | Синонім косо-ермітової матриці. | |
Антисиметрична матриця | Синонім кососиметричної матриці | ||
Стрілкова матриця[en] | Квадратна матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, крім елементів першого стовпчика, першого рядка і головної діагоналі. | ||
Смугова матриця | Квадратна матриця, всі ненульові елементи якої прилягають до головної діагоналі. | ||
Бідіагональна матриця[en] | Матриця, всі ненульові елементи якої знаходяться на головній діагоналі і на одній з під- або наддіагоналей. | ||
Бісиметрична матриця[ru] | Квадратна матриця, симетрична як відносно головної діагоналі, так і відносно побічної діагоналі. | ||
Блочно-діагональна матриця | Блочна матриця, що має матриці тільки на головній діагоналі. | ||
Блочна матриця | Матриця, яка розбита на підматриці, що називаються блоками. | ||
Блочно-тридіагональна матриця | Блочна матриця, блоки якої організовано, як у тридіагональної матриці. | ||
Матриця Коші | Матриця, кожен елемент якої має вигляд де и — дві ін'єкційні послідовності. | ||
Центросиметрична матриця[ru] | Матриця, симетрична відносно свого центру, тобто: | ||
Конференційна матриця | Квадратна матриця з нульовими елементами на діагоналі і елементами виду +1 і -1 поза діагоналлю, така, що — одинична матриця. | ||
Комплексна матриця Адамара[en] | Матриця, всі рядки і стовпці якої попарно ортогональні один одному, а самі елементи унімодулярні. | ||
Супозитивна матриця[en] | Квадратна матриця з дійсними елементами, така, що квадратична форма виявляється невід'ємною для кожного невід'ємного . | ||
Діагонально-домінуюча матриця | Матриця, елементи якої задовільняють умову | ||
Діагональна матриця | Матриця, у якої всі елементи поза головною діагоналлю дорівнюють нулю. | ||
Елементарна матриця | Матриця, яка утворюється з одиничної за допомогою елементарних перетворень. | ||
Еквівалентна матриця | Матриця, яка утворюється з іншої матриці за допомогою елементарних перетворень рядків або стовпців. | ||
Матриця Фробеніуса | Матриця, яка утворюється з одиничної за допомогою зсуву і додавання нового стовпця. | ||
Ермітова матриця, ермітово-самосполучена матриця | Квадратна матриця з комплексними елементами, що переходить в себе при операції ермітового спряження (тобто при комплексному спряженні кожного елемента і подальшому транспонуванні матриці), | ||
Матриця перестановки | Квадратна матриця, в якій в кожному стовпці і в кожному рядку стоїть рівно одна одиниця, а решта нулі. Є матричним представленням перестановки. | ||
Узагальнена матриця перестановки[en] | Квадратна матриця з рівно одним ненульовим елементом в кожному рядку і в кожному стовпці. | ||
Персиметрична матриця[ru] | Матриця, симетрична щодо побічної діагоналі: | ||
Поліноміальна матриця | Матриця, всі елементи якої є поліномами. | ||
Додатня матриця[ru] | Матриця, всі елементи якої є додатніми. | ||
Матриця кватерніонів[ru] | Матриця, всі елементи якої представляють собою кватерніони. | ||
Матриця знака | Матриця, всі елементи якої дорівнюють 1, 0 або -1. | ||
Матриця сигнатури[en] | Матриця, всі елементи якої рівні або 1, або -1. | ||
Косоермітова матриця | Квадратна комплексна матриця, яка змінює знак при ермітовому сполученні. | Те ж, що і антіермітова матриця. | |
Кососиметрична матриця | Квадратна матриця, яка змінює знак при транспонуванні, | Те ж, що і антисиметрична матриця. | |
Небесна матриця[en] | Стрічкова матриця, реорганізована таким чином, щоб зменшити займаний простір. | ||
Розріджена матриця | Матриця, що практично повністю складається з нулів. | Алгоритми для розріджених матриць дозволяють обробляти більші матриці, ніж для щільних. | |
Матриця Сильвестра | Квадратна матриця, чиї елементи - це коефіцієнти двох поліномів. | Матриця Сильвестра не вироджена тоді і тільки тоді, коли два поліноми взаємно прості. | |
Симетрична матриця | Квадратна матриця, яка збігається зі своєю транспонованою: ( ). | ||
Діагонально-постійна матриця | Матриця, у якої на діагоналях стоять одні й ті ж елементи. | ||
Трикутна матриця | Матриця, у якої всі елементи вище головної діагоналі нульові (нижня трикутна матриця), або матриця, у якої всі елементи нижче головної діагоналі нульові (верхня трикутна матриця). | ||
Тридіагональна матриця | Матриця, у якої всі ненульові елементи розташовуються на трьох діагоналях: на головній, на першій зверху і першій знизу. | ||
Унітарна матриця | Квадратна комплексна матриця, обернення якої дає ермітово-спряжену матрицю, | ||
Спеціальна унітарна матриця | Унітарна матриця, детермінант якої дорівнює одиниці. | ||
Матриця Вандермонда | Матриця, рядки (або стовпці) якої є послідовними ступенями: 1, a, a2, a3, ..., an | ||
Матриця Уолша[en] | Квадратна матриця розміру, рівного ступеню двійки, що складається з елементів +1 або -1. | ||
Z-матриця | Матриця, всі недіагональні елементи якої менше нуля. | ||
Ганкелева матриця | Квадратна матриця, у якої на кожній побічній діагоналі стоять рівні елементи. |
Постійні матриці
ред.Матриці, представлені нижче, характеризуються тим, що їх елементи є одними і тими ж для всіх можливих розмірів матриць.
Назва | Опис | Умови на елементи | Примітки |
---|---|---|---|
Обмінна матриця[ru] | Бінарна матриця, у якої на побічній діагоналі стоять одиниці, а всі інші елементи нульові. | Див. Матриця перестановки. | |
Матриця Гільберта | Див. Ганкелева матриця. | ||
Одинична матриця | Квадратна матриця, у якої на головній діагоналі стоять одиниці, а інші елементи дорівнюють нулю. | ||
Матриця Лемера[ru] | aij = min(i, j) ÷ max(i, j) | Див. додатню симетричну матрицю. | |
Матриця одиниць | Матриця, всі елементи якої є одиницями. | ||
Матриця Паскаля[ru] | Матриця, що складається з елементів трикутника Паскаля. | ||
Матриця Паулі | Блочна матриця, що складається з блоків розміру 2 × 2, кожен з яких являє собою комплексну ермітову і унітарну матрицю. | ||
Матриця Редхеффера[ru] | aij = 1, якщо i ділиться на j або якщо j = 1; в іншому випадку, aij = 0. | Див. (0,1) - матриця | |
Матриця зсуву | Матриця, у якої на одній з побічних діагоналей стоять одиниці, а інші елементи нульові. | або | Множенням на цю матрицю елементи зсуваються на одну позицію. |
Нульова матриця | Матриця, у якої всі елементи нульові. |
Перетворені матриці
ред.Матриці, що задовольняють умовам на добутки або зворотні матриці
ред.Назва | Опис | Примітки |
---|---|---|
Ідемпотентна матриця | Матриця A, що має властивість A² = AA = A. | |
Оборотна матриця | Квадратна, що має зворотну, тобто, таку матрицю B, що AB = BA = I. | Оборотні матриці утворюють загальну лінійну групу. |
Інволютивна матриця | Квадратна матриця A, обернена сама до себе, тобто AA = I. | |
Нільпотентна матриця | Квадратна матриця A така, що Aq = 0 для деякого додатнього q. | Еквівалентно, всі власні значення A дорівнюють 0. |
Нормальна матриця | Квадратна матриця, комутуюча зі своєю ермітово-спряженою: AA∗ = A∗A | Для таких матриць справедлива спектральна теорема. |
Ортогональна матриця | Матриця, що дорівнює своїй транспонованій: A−1 = AT. | Такі матриці утворюють ортогональну групу. |
Ортонормована матриця | Матриця, стовпчики якої є ортонормованими векторами. | |
Вироджена матриця | Квадратна матриця, що не є оборотною. | |
Унімодулярна матриця | Квадратна матриця з цілими коефіцієнтами, детермінант якої дорівнює +1 або -1. | |
Уніпотентна матриця | Квадратна матриця, всі власні значення якої дорівнюють 1. | Еквівалентно, A − I нільпотентна. Дивись також уніпотентна група. |
Цілком унімодулярна матриця | Матриця, будь-яка несингулярна підматриця якої є унімодулярною. | Використовується в лінійному програмуванні при релаксації цілих програм. |
Матриця ваги[ru] | Квадратна матриця, елементи якої належать множині {0, 1, -1}, так що AAT = wI для деякого цілого w. |
Матриці, що використовуються в теорії графів
ред.- Матриця суміжності
- Матриця бісуміжності
- Матриця ступеня
- Матриця Едмондса
- Матриця інцидентності
- Матриця Кірхгофа (матриця Лапласа)
- Матриця суміжності Зейделя
- Матриця Тутте
Матриці, що використовуються в фізиці
ред.Джерела
ред.- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
- Ланкастер П. . Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
- Р.Хорн , Ч.Джонсон . Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
- Brookes, M., «The Matrix Reference Manual», Imperial College, London, UK