Антидіагональна матриця

Немає перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще не перевіряли на відповідність правилам проекту.

В математиці антидіагональна матриця це матриця, де всі елементи дорівнюють нулю, окрім тих, які знаходяться на діагоналі, що проходить зліва направо (↗) і відома як антидіагональ.

Формально, матриця A, що має розмірність n-на-n, називається антидіагональною матрицею якщо (i, j) елемент дорівнює нулю для всіх i, j ∈ {1, …, n} з i + jn + 1.

Прикладом антидіагональної матриці є наступна

Антидіагональна матриця також є персиметричною.

Добуток двох антидіагональних матриць є діагональною матрицею. Добуток антидіагональної матриці із діагональною матрицею — це антидіагональна матриця, так само як і добуток діагональної матриці з антидіагональною.

Антидіагональна матриця є обереною тоді і лише тоді якщо всі елементи антидіагоналі не дорівнюють нулю. Обернена матриця від антидіагональної матриці є також антидіагональною. Детермінант антидіагональної матриці має абсолютне значення, що визначається добутком значень елементів антидіагоналі. Однак, знак детермінанту буде змінюватися в залежності від розмірності матриці.

Розмірність матриці Перестановка для
ненульового елементарного добутку
антидіагональної матриці
Парне чи непарне Значення елементарного добутку
2 × 2 {2, 1} Непарне -
3 × 3 {3, 2, 1} Непарне -
4 × 4 {4, 3, 2, 1} Парне +
5 × 5 {5, 4, 3, 2, 1} Парне +
6 × 6 {6, 5, 4, 3, 2, 1} Непарне -

Більш точно, знак елементарного добутку, необхідного для підрахунку детермінанту антидіагональної матриці має відношення до того чи є парним або неперним відповідне трикутне число. Це тому що число інверсій у перестановці для ненульвого елементарного добутку для будь-якої n × n антидіагональної матриці завжди дорівнює n.

Джерела

ред.