Антидіагональна матриця
В математиці антидіагональна матриця це матриця, де всі елементи дорівнюють нулю, окрім тих, які знаходяться на діагоналі, що проходить зліва направо (↗) і відома як антидіагональ.
Формально, матриця A, що має розмірність n-на-n, називається антидіагональною матрицею якщо (i, j) елемент дорівнює нулю для всіх i, j ∈ {1, …, n} з i + j ≠ n + 1.
Прикладом антидіагональної матриці є наступна
Антидіагональна матриця також є персиметричною.
Добуток двох антидіагональних матриць є діагональною матрицею. Добуток антидіагональної матриці із діагональною матрицею — це антидіагональна матриця, так само як і добуток діагональної матриці з антидіагональною.
Антидіагональна матриця є обереною тоді і лише тоді якщо всі елементи антидіагоналі не дорівнюють нулю. Обернена матриця від антидіагональної матриці є також антидіагональною. Детермінант антидіагональної матриці має абсолютне значення, що визначається добутком значень елементів антидіагоналі. Однак, знак детермінанту буде змінюватися в залежності від розмірності матриці.
Розмірність матриці | Перестановка для ненульового елементарного добутку антидіагональної матриці |
Парне чи непарне | Значення елементарного добутку |
---|---|---|---|
2 × 2 | {2, 1} | Непарне | - |
3 × 3 | {3, 2, 1} | Непарне | - |
4 × 4 | {4, 3, 2, 1} | Парне | + |
5 × 5 | {5, 4, 3, 2, 1} | Парне | + |
6 × 6 | {6, 5, 4, 3, 2, 1} | Непарне | - |
Більш точно, знак елементарного добутку, необхідного для підрахунку детермінанту антидіагональної матриці має відношення до того чи є парним або неперним відповідне трикутне число. Це тому що число інверсій у перестановці для ненульвого елементарного добутку для будь-якої n × n антидіагональної матриці завжди дорівнює n.
Джерела
ред.- Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
- Антидіагональна матриця на PlanetMath.(англ.)