Діагонально панівна матриця

Матриця є діагонально панівною якщо для кожного рядку, величина діагонального елементу кожного рядка більша або дорівнює сумі величин усіх інших (недіагональних) елементів цього рядка. Точніше, у матриці $A$ панівна діагональ якщо

$|a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|,\ \forall i.$

Зауважте, що це визначення послуговується слабкою нерівністю і, через це іноді його називають слабке діагональне панування. Якщо використати строгу нерівність (>), його називають строге діагональне панування. Термін діагональне панування може означати як строге так і слабке діагональне панування, залежно від контексту.

Приклади

Матриця

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}3&-2&1\\1&-3&2\\-1&2&4\end{bmatrix}}$

дає

$|a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|$   оскільки $|3|\geq |{-2}|+|1|$

$|a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|$   оскільки $|{-3}|\geq |1|+|2|$

$|a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|$   оскільки $|4|\geq |{-1}|+|2|$.

Через те, що величина кожного діагонального елементу більша або дорівнює сумі величин елементів у рядку, кажуть, що матриця $\mathbf {A}$ діагонально панівна або має панівну діагональ.

Матриця

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{bmatrix}}$

Але тут,

$|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|$   оскільки $|{-2}|<|2|+|1|$

$|b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|$   оскільки $|3|\geq |1|+|2|$

$|b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|$   оскільки $|0|<|1|+|{-2}|$.

З того, що величини $|b_{11}|$ і $|b_{33}|$ менші ніж величини сум елементів у відповідних рядках, $\mathbf {B}$ не є діагонально панівною.

Матриця

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{bmatrix}}$

дає

$|c_{11}|\geq |c_{12}|+|c_{13}|$   оскільки $|{-4}|>|2|+|1|$

$|c_{22}|\geq |c_{21}|+|c_{23}|$   оскільки $|6|>|1|+|2|$

$|c_{33}|\geq |c_{31}|+|c_{32}|$   оскільки $|5|>|1|+|{-2}|$.

Тут, у кожному рядку, величина діагонального елементу більша ніж відповідна сума елементів рядка, $\mathbf {C}$ є строго діагонально панівною матрицею.

Застосування і властивості

Строго діагонально панівна матриця є оборотною. Цей результат можна довести, використовуючи теорему кіл Гершгорина.

Ермітова матриця з панівною діагоналлю $A$ з дійсними невід'ємними діагональними елементами є невід'ємно означеною.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)