Спонтанне порушення симетрії

Спонтанне порушення симетрії — спосіб порушення симетрії фізичної системи, за якого початковий стан та рівняння руху системи інваріантні відносно деяких перетворень симетрії, але в процесі еволюції система переходить у стан, для якого інваріантність відносно деяких (усіх) перетворень початкової симетрії вже є порушеною.

Рисунок «Двох'ямний потенціал». Ілюстрація механізму спонтанного порушення симетрії. Система може самовільно звалитися в будь-яку з двох потенційних ям.

Спонтанне порушення симетрії завжди пов'язане з виродженням стану з мінімальною енергією (вакууму). Множина всіх вакуумів має початкову симетрію, однак кожен вакуум окремо — ні. Наприклад, кулька в двох'ямковому жолобі скочується з нестійкого симетричного стану в стійкий стан із мінімальною енергією або вліво, або вправо, руйнуючи при цьому симетрію відносно зміни лівого на праве (інверсія).

Спонтанне порушення симетрії відбувається (псевдо)випадковим чином і зумовлене флуктуаціями. Це явище надзвичайно поширене в природі. Безліч різноманітних прикладів спонтанного порушення симетрії можна навести з класичної механіки.

Однак, тоді як у механіці спонтанне порушення симетрії має радше описове значення, у теорії поля це є основний принцип, що забезпечує генерацію мас калібрувальних бозонів. Більше того, будуючи ефективні лагранжіани в квантовій теорії поля, можна деякі мезони ототожнити з відповідними голдстоунами (псевдогодстоунами). Нижче розглянуто приклад $\pi$-мезона як голдстоуна при порушенні деякої симетрії квантової хромодинаміки з безмасовими кварками.

Так само речовину в певній термодинамічній фазі можна розглядати як квантове поле з відповідною симетрією. Тоді спонтанне порушення симетрії представляється як фазовий перехід.

Існування в природі чотирьох фундаментальних взаємодій теж є наслідком порушення симетрії — гіпотетично при досить великих енергіях (~100 ГеВ) електромагнітні й слабкі ядерні сили об'єднуються в одну електрослабку взаємодію, а при ще більших енергіях (~10¹⁴ ГеВ) об'єднуються електрослабка і сильна ядерна взаємодії у взаємодію Великого об'єднання.

Механізм спонтанного порушення симетрії життєво необхідний для можливості існування суперсиметрії. Непорушена суперсиметрія передбачає існування у кожної відомої частинки суперпартнера з такою ж самою масою, чого не спостерігається в експериментах. Вважається, що через порушення суперсиметрії суперчастинки набувають великої маси, недосяжної для сучасних експериментів.

Вакууми можуть мати доволі цікаву структуру. Квантова теорія поля дозволяє існування польових вакуумних конфігурацій зі спонтанно порушеними вакуумами, які змінюються від точки до точки. Такими станами є наприклад магнітні монополі, космічні струни, доменні стінки. Стани такого типу спостерігаються у фізиці конденсованого стану, наприклад, стінки між феромагнітними доменами. При складних багатоямних конфігураціях потенціалу існує кілька вакуумів. Однак справжнім вакуумом є лише стан із найменшою енергією. Усі інші вакууми є метастабільними й переходять у справжній шляхом квантового тунелювання.

Спонтанне порушення симетрії може відігравати велику роль і в гравітації. Вважається, що космологічна інфляція спричинена переходом з фальшивого вакууму в істинний при спонтанному порушенні симетрії Великого Об'єднання. Крім того спонтанне порушення суперсиметрії (суперхіггсівський механізм) передбачає теорії масивної гравітації. Також розвиваються моделі гравітаційного поля метричного тензора як хіггс-голдстоунівського поля деякої порушеної симетрії.

Таким чином спонтанне порушення симетрії є надзвичайно поширеним явищем в усіх галузях фізики, починаючи від класичної механіки, закінчуючи квантовою гравітацією.

Прості приклади спонтанного порушення симетрії

У класичній механіці

Крісло

Рівняння, які описують рух атомів будь-якого несиметричного фізичного тіла, наприклад, крісла, інваріантні відносно тривимірних поворотів, однак розв'язок цих рівнянь — реальне крісло — має певну орієнтацію в просторі.

Скочування кульки у двохямному жолобі

Кулька, що перебуває посередині між ямами двохямного жолоба, рано чи пізно під впливом збурень скотиться в один з них, порушуючи симетрію відносно заміни $x\rightarrow -x.$

Олівець на столі

Олівець, поставлений на торець на столі, не має жодного вибраного напряму в площині стола, однак під дією збурень він упаде, вибравши про цьому якийсь псевдо-випадковий (залежний від флуктуацій) напрям.

Стрижень під пресом

Круглий металевий стрижень, затиснутий між пластинами преса, при достатньому навантаженні зігнеться, причому напрям згину довільний і залежить від флуктуацій. Початкова осьова симетрія стрижня спонтанно порушується.

Розтягнута гумка

Розтягування гумки приводить до її видовження і зменшення в ширині. При певному значенні розтягуючої сили вона рветься в певному місці, хоча для ідеальної гумки всі місця є рівноімовірними. Причиною «порушення» симетрії є флуктуації товщини гумки — рветься, там де тонше. Ідеальна гумка розтягнулася б до ланцюжка з $N$ атомів і порвалася б, коли енергія розтягуючої сили стала б рівною сумарній енергії зв'язку атомів $E=N\varepsilon .$

У фізиці конденсованого стану

Кристалізація

При кристалізації рідини, яка характеризується найвищою, ізотропною, симетрією, утворюється кристал, у якому існують певні виділені напрямки відносно кристалічних осей. Орієнтація кристалічних осей у загальному випадку випадкова або зумовлена слабкими зовнішніми факторами чи флуктуаціями. Також симетрія відносно трансляцій на довільний вектор понижується до трансляційної симетрії на вектор, який є лінійною комбінацією векторів кристалічної ґратки.

Метастабільні фази

Рідина при охолодженні нижче температури кристалізації перетворюється на кристал. Однак рідина без домішок може бути охолоджена нижче температури кристалізації. Такий стан досягається завдяки відсутності центрів кристалізації — немає зародків, на яких могли б утворюватися кристали. Утворюється метастабільна фаза переохолодженої рідини.

З точки зору симетрії, ізотропна і трансляційна симетрія рідини мала б знизитися до симетрії кристалічної ґратки, однак нема флуктуацій (центрів кристалізації), які б порушили дану симетрію.

Аналогічна ситуація виникає в пересиченій парі чи перегрітій рідині. Такі метастабільні стани використовуються наприклад в бульбашкових камерах та камерах Вільсона.

Фазові переходи

Нагріті феромагнетики (вище температури Кюрі) перебувають у парамагнітному стані, де вибраного напряму намагніченості немає, однак охолоджуючись нижче температури Кюрі феромагнетик отримує спонтанну намагніченість (відбувається фазовий перехід), напрям якого (за відсутності зовнішнього магнітного поля) є випадковим і залежить від флуктуацій.

Спонтанне порушення симетрії відбувається майже при всіх фазових переходах (див. нижче).

У квантовій механіці

Двощілинний експеримент

При падінні квантової частинки на дві щілини, біля кожної з яких розміщений детектор спрацьовує (істинно випадковим чином) один з детекторів. Симетрія випадково порушується. Цей приклад суттєво відрізняється від попередніх тим, що, виходячи з сучасних уявлень (див. Теорема Белла, наявність флуктуацій для спонтанного порушення симетрії не є обов'язковою: природа реалізує проходження частинки через одну з можливих щілин абсолютно випадковим чином.

Вимірювання у квантовій механіці

Прямим узагальненням попереднього прикладу на довільне вимірювання стану в квантовій механіці. У квантовій теорії, згідно з постулатом про вимірювання, вимірювання полягає в редукції (миттєвому переході) квантового стану $|\psi \rangle$ в один з можливих власних станів $|a_{n}\rangle$ оператора ${\widehat {A}}$ вимірюваної фізичної величини ${A}$. Стан при цьому випадковим чином (з ймовірністю $|\langle \psi |a_{n}\rangle |^{2}$) переходить у стан з порушеною початковою симетрією.

Декогеренція

Іншим прикладом спонтанного порушення симетрії в квантовій механіці, але вже пов'язаним з наявністю флуктуацій, є декогеренція. Через наявність зовнішніх флуктуацій чистий стан системи переходить в змішаний з порушенням початкових симетрій. Математично це відповідає тому, що декогеренція спричиняє занулення недіагональних елементів матриці густини.

Для прикладу, розглянемо квантовомеханчіний атом у збудженому стані. Атом спонтанно випромінює фотон і переходить на нижчий енергетичний рівень. Якщо атом перебуває в сферично симетричному $s-$стані, то він випромінює фотон у довільному напрямку і сам перейде в неізотропний $l-$стан зі спонтанно порушеною симетрією відносно поворотів. Причиною порушення симетрії є наявність навколишніх частинок, а також випадкові флуктуації фізичного вакууму.

Для ілюстрації декогеренції можна також розглянути ансамбль однакових квантових станів. Через наявність зовнішніх флуктуацій після певного часу системи перебуватимуть в різних станах.

Саме знищення недіагональних елементів відповідає за спонтанне порушення симетрії в першому прикладі даного розділу «Крісло».

Спонтанне порушення калібрувальної симетрії

Рисунок «Лінійна сигма-модель». Приклад неінваріантного вакууму — лінійна сигма-модель з групою симетрії SO(2).

Порушення глобальної калібрувальної симетрії

У теорії поля зазвичай розглядають динаміку поля в околі вакуумного стану (мінімуму потенційної енергії), вважаючи самі поля малими. На практиці, це веде до розкладу функції Лагранжа відповідного поля в ряд Тейлора в околі мінімуму потенціальної енергії і нехтування доданками вищих степенів у розкладі. При цьому вибір вакууму може бути неоднозначним (див. Рисунок «Лінійна сигма модель»: сірим кольором показано можливі вакуумні стани).

Наприклад, розглянемо лагранжіан комплексного (зарядженого) поля Клейна — Ґордона $\varphi =\varphi ^{1}+i\varphi ^{2},$ де $\varphi ^{1},\;\varphi ^{2}$ є дійсними полями,

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{*}\partial _{\mu }\varphi -V(\varphi ^{*}\varphi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{1}\partial _{\mu }\varphi ^{1}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{2}\partial _{\mu }\varphi ^{2}-V\left((\varphi ^{1})^{2}+(\varphi ^{2})^{2}\right),$

де $V$ — потенціал взаємодії, грецькі індекси всюди пробігають значення $0,1,2,3$. Цей лагранжіан є інваріантним відносно глобальних калібрувальних перетворень

$\varphi \rightarrow e^{i\alpha }\varphi ,\quad \left|\left|{\begin{array}{c}\varphi ^{1}\\\varphi ^{2}\end{array}}\right|\right|\rightarrow \left|\left|{\begin{array}{cc}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right|\right|\left|\left|{\begin{array}{c}\varphi ^{1}\\\varphi ^{2}\end{array}}\right|\right|,$

де $\alpha$ є дійсною константою. Для даної моделі вакуум не є інваріантним відносно таких калібрувальних перетворень, якщо функція $V(x)$ має мінімум в точці відмінній від нуля.

Справді, якщо $V(x)$ має мінімум в нулі, тоді точці вакууму однозначно відповідає $\varphi ^{1}=0,\;\varphi ^{2}=0.$ Зовсім інша ситуація виникає у випадку, коли $x_{min}=a^{2}\neq 0.$. У цьому випадку мінімуму потенціалу відповідає не одна точка, а континуум точок

$(\varphi ^{1})^{2}+(\varphi ^{2})^{2}=a^{2}.$

Відповідним поворотом системи координат простору зарядових ступенів вільності поля Клейна — Ґордона завжди можна привести вакуум до вигляду

$\varphi _{0}=\left|\left|0,a\right|\right|^{T}.$

Легко бачити, що хоча лагранжіан (зокрема, наближений) є інваріантним відносно калібрувальних перетворень, вакуум таким вже не є. Система переходить у випадково вибраний (насправді залежно від флуктуацій) стан. У цьому і полягає спонтанне порушення глобальної калібрувальної симетрії.

Приклад 1. Порушення симетрії відносно інверсії знаку дійсного поля Клейна — Ґордона  

Розглянемо найпростіший приклад спонтанного порушення симетрії для дійсного поля Клейна — Ґордона, яке задається лагранжіаном

${\mathcal {L}}=\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\left(\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{2}}\lambda \varphi ^{4}\right),$

де $\lambda >0$, $\mu ^{2}<0$. Цей лагранжіан є інваріантним відносно заміни $\varphi \rightarrow -\varphi$. Поле в цьому випадку має два вакууми, що відповідає наявності в потенційної енергії двох мінімумів при $\varphi _{0}=a=\pm {\sqrt {-\mu ^{2}/\lambda }}$. Але жоден з вакуумів не є інваріантним відносно початкової симетрії інверсії знаку поля. В цьому й полягає спонтанне порушення симетрії (зверніть увагу, що інверсія не є калібрувальним перетворенням).

Внаслідок симетрії лагранжіана відносно інверсії знаку поля, можна обрати будь-який знак вакууму. Не зменшуючи загальності можна обрати "+". Розклавши поле в околі вакуумного стану $\varphi =a+\phi (x)$ і вважаючи $\phi (x)$ малою величиною, лагранжіан можна записати

${\mathcal {L}}'=\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -2\lambda a^{2}\phi ^{2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3})=\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3}),$

де $m={\sqrt {2\lambda a^{2}}}={\sqrt {-2\mu ^{2}}}$.

У цьому прикладі необхідно зауважити ще одну важливу деталь. Лагранжіан ${\mathcal {L}}$ описує безмасове поле $\varphi$ з потенціалом взаємодії $V=\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{2}}\lambda \varphi ^{4}$. Безмасовим поле $\varphi$ є тому, що знак $\mu ^{2}<0$ збігається зі знаком кінетичної енергії, а тому не може відповідати за масу. Однак вже лагранжіан ${\mathcal {L}}'$ описує вільне поле Клейна — Ґордона з масою $m={\sqrt {-2\mu ^{2}}}$. Таким чином спонтанне порушення симетрії може генерувати масу поля. Далі це явище буде досліджено більш детально.

Нагадаємо, що калібрувальні перетворення утворюють групу Лі, причому компактну. Розглянемо лагранжіан

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-V(\varphi _{i}),$

де $\varphi _{i}$ — $N$ скалярних дійсних полів. Нехай лагранжіан інваріантний відносно перетворень $\omega _{i}^{j}$ калібрувальної групи $G$

$\varphi _{i}=\omega _{i}^{j}\varphi _{j}.$

Випадок інваріантного вакууму

Якщо $V$ має мінімум у точці $\varphi _{i}=0$, то легко бачити, що вакуум є інваріантним відносно всіх калібрувальних перетворень (дія будь-якої матриці на нульовий вектор дає знову нульовий вектор). У такому випадку можна розкласти $V$ в ряд Тейлора в околі нуля. Припускаючи, що $V(0)=0$, а також враховуючи, що перші похідні в точці екстремуму дорівнюють нулю, а матриця других похідних $(m^{2})^{ij}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}(0)$ в точці мінімуму є додатно визначеною, отримаємо

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3}).$

Здійснюючи відповідне ортогональне перетворення $\varphi _{i}'=O_{i}^{j}\varphi _{j}$ можна масову матрицю $m^{2}$ привести до діагонального вигляду. Таким чином отриманий лагранжіан описуватиме $N$ дійсних скалярних полів з масами, які визначаються власними значеннями матриці $m^{2}$.

Випадок неінваріантного вакууму.

Зовсім іншою є ситуація, коли потенціал $V$ має мінімум не в нулі. В такому випадку завжди існує довільність у виборі вакуумного стану. Вакуум буде інваріантний лише відносно певної підгрупи $H$ калібрувальної групи $G$. Групу $H\subset G$ називають малою групою. Відбувається порушення локальної симетрії калібрувальної групи $G$. Розглянемо приклад порушення глобальної симетрії, що задається калібрувальною групою тривимірних поворотів $SO(3)$ (SO(3)), в лінійній сигма-моделі.

Приклад 2. Порушення глобальної калібрувальної симетрії SO(3)  

Розглянемо лагранжіан

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {1}{2}}\lambda \left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2},$

де присутні три дісних скалярних поля $\varphi _{i}$. Лагранжіан такого вигляду називають лінійною сигма-моделлю. Ця модель є інваріантною відносно перетворень групи $SO(3)$ (ортогональні матриці з одиничним визначником). На вектор $\varphi =\mid \mid \varphi _{1},\;\varphi _{2},\;\varphi _{3}\mid \mid ^{T}$ елементи групи діють як матриці тривимірних поворотів. Вакуум цього поля вироджений і лежить на точці сфери

$\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2}+\varphi _{3}^{2}=a^{2}.$

Відповідними перетвореннями системи координат завжди можна добитися вибору вакууму у вигляді

$\varphi _{0}=\mid \mid 0,\;0,\;a\mid \mid ^{T}.$

Очевидно, що вакуум не є інваріантним відносно $SO(3)$, проте він є інваріантним відносно групи $SO(2)\subset SO(3)$ поворотів навколо осі $\varphi _{3}$.

Розкладемо поле в околі вакууму $\varphi =\varphi _{0}+\phi (x)$, вважаючи $\phi (x)$ малою величиною. Лагранжіан при цьому перепишеться

${\mathcal {L}}'={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{1})^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{2})^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2}-2\lambda a^{2}\phi _{3}^{2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3}),$

що відповідає двом безмасовим скалярним полям $\phi _{1}$, $\phi _{2}$ та полю $\phi _{3}$ з масою $m=2{\sqrt {\lambda }}a$.

Як бачимо порушення глобальної калібрувальної симетрії може генерувати масу поля.

Загалом можна показати, що має місце

Теорема Голдстоуна. При спонтанному порушенні глобальної калібрувальної симетрії виникають $\dim G-\dim H$ безмасових скалярних полів $\phi _{i}$ та $N-(\dim G-\dim H)$ масивних скалярних полів ${\tilde {\phi }}_{i}$. Тут $N$ є вимірністю вибраного представлення $G$ (фактично початкова кількість дійсних скалярних полів).

При цьому безмасові поля, які виникають при спонтанному порушенні глобальної калібрувальної симетрії називаються бозонами Голдстоуна. Ще раз підкреслимо, що їх кількість дорівнює кількості порушених симетрій.

Приклад 3. Порушення глобальної калібрувальної симетрії SO(N)  

Розглянемо, як і в попередньому прикладі, лагранжіан

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {1}{2}}\lambda \left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2},$

де присутні вже $N$ дійсних скалярних поля $\varphi _{i}$. Така модель є інваріантною відносно перетворень групи $SO(N)$.

При порушенні симетрії вакуум буде інваріантний відносно групи $SO(N-1)\subset SO(N)$. Вимірність групи $SO(N)$ рівна $\dim SO(N)=N(N-1)/2$. Тоді число бозонів Голдстоуна, які утворюються при стонтанному порушенні локальної симетрії рівне $\dim SO(N)-\dim SO(N-1)=N-1$.

Отже, при спонтанному порушенні глобальної симетрії $SO(N)$ виникають $N-1$ бозонів Голдстоуна та один масивний бозон.

У випадку $N=3$ за теоремою Голдстоуна отримуємо 2 голдстоунівські бозони і одне масивне поле, що було безпосередньо перевірено в попередньому прикладі.

Доведення теореми Голдстоуна

Позначимо генератори малої групи як $t_{H,a}$ для фундаментального представлення групи $G$ чи $T_{H,a}$ для будь-якого іншого представлення. Тоді з умови інваріантності вакууму випливає, що $\exp {(-ie\alpha ^{a}T_{H,a})}\varphi _{0}=\varphi _{0}$. Розкладаючи експоненту в ряд, отримаємо, що дія генераторів малої (непорушеної) групи на вакуум знищує вакуум

$T_{H,a}\varphi _{0}=0$.

Ця умова є важливим критерієм непорушеної симетрії.

Решту генераторів групи $G$ позначимо як $t_{G/H,a}$ (чи $T_{G/H,a}$). Їх дія на вакуум не дає нуль, інакше б перетворення, згенеровані ними, залишали б вакуум інваріантним і належали малій групі. Можна ввести вектори $E_{k}=-iT_{G/H,k}\varphi _{0}$. Їх є $\dim G-\dim H$, вони лінійно незалежні та утворюють базис в підпросторі голдстоунівських бозонів (порушених симетрій).

В усьому просторі зручно ввести ортонормований базис $\{e_{k},{\widetilde {e}}_{k}\}$, де вектори $e_{k}$ є ортами голдстоунівського підпростору і складені з лінійних комбінацій векторів $E_{k}$, а $N-(\dim G-\dim H)$ векторів ${\widetilde {e}}_{k}$ утворюють базис решти простору. Тоді скалярні поля можна розкласти в такому базисі

$\varphi _{i}=\varphi _{0i}+\phi _{k}(e^{k})_{i}+{\widetilde {\phi }}_{k}({\widetilde {e}}^{k})_{i},$

а лагранжіан в квадратичному наближенні має вигляд

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi ^{i}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}(\phi _{k}e^{k}+{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {e}}^{k})_{i}(\phi _{k}e^{k}+{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {e}}^{k})_{j}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3}),$

з якого явно не видно виконання теореми Голдстоуна. Однак з умови калібрувальної інваріантності мінімуму потенціалу (не плутати з вакуумом, мова йде про інваріантність значення потенціалу і його похідних)

${\frac {\partial V}{\partial \varphi _{j}}}(\exp {(-ie\alpha ^{a}T_{a})}\varphi _{0})=0\Rightarrow _{\alpha \rightarrow 0}-ie\alpha ^{a}(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j}}}=0.$

Для непорушеної симетрії $T_{H,a}\varphi _{0}=0$ і ця рівність очевидна, однак для порушених симетрій $-iT_{G/H,a}\varphi _{0}=E_{a}\neq 0$, а враховуючи, що з лінійних комбінацій $E_{a}$ отримуємо базис $e_{a}$ випливає $e_{i}^{a}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}=0.$ А тому лагранжіан ${\mathcal {L}}$ перепишеться у вигляді

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi ^{i}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi }}_{l}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3}),$

де $(m^{2})^{kl}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j}}}$. Такі міркування власне доводять теорему Голдстоуна. Фактично це є розгляд спонтанного порушення симетрії в загальному випадку, який однак можна легко провести у випадку конкретної симетрії як у прикладах.

Порушення локальної калібрувальної симетрії

Розглянута вище теорема Голдстоуна стверджує, що при порушенні калібрувальної симетрії виникають безмасові безспінові бозони. Через відсутність таких частинок у природі, теорема Голдстоуна розглядалася як контраргумент проти порушених симетрій. Однак, як виявилося, коли порушується локальна, а не глобальна калібрувальна симетрія, то безмасові голдстоуни відсутні, а натомість калібрувальні векторні поля отримують масу. Спонтанне порушення локальної калібрувальної симетрії є важливим явищем в теорії поля, оскільки воно веде до набуття калібрувальними полями мас (нагадаємо, що самі по собі масові доданки для калібрувального поля не є калібрувально інваріантними, тому в лагранжіані поля з непорушеною симетрією вони відсутні). Такий механізм носить назву механізму генерації мас Хіггса.

Локальні перетворення відрізняються від глобальних наявністю координатної залежності $\alpha =\alpha (x)$. Така залежність приводить до виникнення в лагранжіані калібрувальних полів (у випадку зарядженого поля Клейна — Ґордона  — електромагнітного поля з групою симетрії $U(1)$, при розгляді трикомпонентного вектора скалярних полів з групою симетрії $SU(3)$ — калібрувального поля, яке можна ототожнити з колірним глюонним полем сильної ядерної взаємодії, тощо).

Розглянемо лагранжіан

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi _{i}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi ^{i}-V(\varphi _{i})-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu },$

де $\varphi _{i}$ — набір $N$ скалярних полів, $F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+\left[A_{\mu },A_{\nu }\right]^{a}$ — тензор відповідного калібрувального поля, ${\mathcal {D}}_{\mu }\varphi _{i}=\partial _{\mu }\varphi _{i}+(A_{\mu })_{i}^{j}\varphi _{j}$ — коваріантна похідна (векторний потенціал в загальному є матрицею, яка діє на векторний стовпець $\varphi =\mid \mid \varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{N}\mid \mid ^{T}$, індекс $a$ пробігає значення від 1 до $\dim G$ і нумерує компоненту розкладу потенціалу по генераторах групи симетрії. Цей лагранжіан є інваріантним відносно локальних калібрувальних перетворень $\omega _{j}^{i}=\omega _{j}^{i}(x),$ що утворюють групу $G$. Поля при калібрувальних перетвореннях перетворюються наступним чином

$\varphi _{i}\rightarrow \omega _{i}^{j}\varphi _{j},\qquad A_{\mu }\rightarrow \omega A_{\mu }\omega ^{-1}+\omega \partial _{\mu }\omega ^{-1}.$

Випадок інваріантного вакууму.

Якщо мінімум $V$ реалізовується при $\varphi _{i}=0$, то в такому випадку можна розкласти лагранжіан в ряд Тейлора в околі вакууму і отримати в квадратичному наближенні лагранжіан

${\textstyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}-{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a})^{2}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3}),}$

який описує $N$ масивних скалярних полів, та $\dim G$ безмасових калібрувальних векторних полів $A_{\mu }^{a}$.

Обчислимо число польових ступенів вільності набору цих полів. Оскільки скалярне поле має одну ступінь вільності, а безмасове векторне поле — дві, то сумарна кількість ступенів вільності рівна $N+2\dim G$.

Випадок неінваріантного вакууму.

Основна відмінність локальної калібрувальної симетрії від глобальної полягає в залежності калібрувальної константи $\alpha$ від координат $x^{\mu }$. Ця координатна залежність дозволяє відповідним вибором $\alpha (x)$ занулити поля $\varphi _{i}$ всіх $\dim G-\dim H$ безмасових голдстоунівських бозонів в усьому просторі. Таке калібрування називається унітарним (можна показати, що воно зажди існує у випадку компактних калібрувальних груп). Однак це калібрування приводить до появи в лагранжіані масових доданків типу $a^{2}A^{\mu }A_{\mu }$, які тим не менше є калібрувально інваріантними. При унітарному калібруванні масові доданки виникають рівно для $\dim G-\dim H$ калібрувальних полів. Оскільки унітарним калібруванням знищуються бозони Голдстоуна, а виникають масивні калібрувальні бозони, то часто кажуть, що векторні поля «з'їдають» голдстоуни і набувають маси. Умова унітарного калібрування може бути записана через «матричні елементи» генераторів порушеної симетрії у вигляді

$\varphi _{0}T_{G/H,a}\varphi =0.$

Ця формула означає, що поле $\varphi$ ортогональне до всіх векторів $E_{k}=-iT_{G/H,k}\varphi _{0}$ простору порушених симетрій.

Також при спонтанному порушенні симетрії виникають $N-(\dim G-\dim H)$ масивних скалярних поля, які називаються бозонами Хіггса. Кількість полів, які отримуються в результаті спонтанного порушення локальної калібрувальної симетрії визначається з

Теорема Хіггса. При спонтанному порушенні локальної калібрувальної симетрії присутні $N-(\dim G-\dim H)$ масивних скалярних полів (бозонів Хіггса), $\dim G-(\dim G-\dim H)=\dim H$ безмасових векторних полів, а також $\dim G-\dim H$ масивних векторних полів (кількість масивних калібрувальних бозонів дорівнює кількості порушених симетрій).

Знайдемо кількість польових змінних в такій системі. Враховуючи, що масивне поле має три ступені вільності, сумарна кількість польових ступенів вільності дорівнює $N-(\dim G-\dim H)+2\dim H+3(\dim G-\dim H)=N+2\dim G$, що збігається з результатом для інваріантного вакууму.

Приклад. Порушення локальної калібрувальної симетрії SO(3)  

Розглянемо лагранжіан

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi _{i}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {\lambda }{2}}\left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu },$

де індекс $i$ пробігає значення від 1 до 3. Вакуумний стан можна вибрати у вигляді $\varphi _{0}=\mid \mid 0;0;a\mid \mid ^{T}$. Як і в попередніх прикладах розкладемо польові функції в околі вакууму $\varphi =\varphi _{0}+\phi$. В квадратичному наближенні по полю лагранжіан перепишеться

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2}-2\lambda a^{2}(\phi _{3})^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi _{1}-eaA_{\mu }^{2}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi _{2}+eaA_{\mu }^{1}\right)^{2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3},\phi ^{2}A,\phi A^{2},A^{3}).$

Діагоналізуємо отриманий лагранжіан за допомогою заміни

$B_{\mu }^{1}=A_{\mu }^{1}+{\frac {1}{ea}}\partial _{\mu }\phi _{2},\qquad B_{\mu }^{2}=A_{\mu }^{2}-{\frac {1}{ea}}\partial _{\mu }\phi _{1}.$

Діагоналізований лагранжіан має вигляд

${\mathcal {L}}\approx {\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2}-2\lambda a^{2}(\phi _{3})^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{3}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{3}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }B_{\nu }^{1}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{1}\right)^{2}+{\frac {e^{2}a^{2}}{2}}(B_{\mu }^{1})^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }B_{\nu }^{2}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{2}\right)^{2}+{\frac {e^{2}a^{2}}{2}}(B_{\mu }^{2})^{2}.$

Як бачимо, отриманий внаслідок спонтанного порушення симетрії лагранжіан описує одне скалярне поле $\phi _{3}$ з масою $m_{\phi }=2a{\sqrt {\lambda }}$, одне безмасове векторне поле $A^{3}$, та два масивні векторні поля $B^{2},\;B^{3}$ з масами $m_{B}=ea$, що є у повній відповідності з загальними міркуваннями, наведеними вище.

Варто зазначити, що унітарне калібрування залишає певну симетрію в лагранжіані. Групою цієї симетрії є мала група $H$. У випадку порушення $SO(3)$ симетрії (приклад вище) малою групою є група поворотів $SO(2)$ відносно осі $\phi _{3}$. Зауважимо, що група $SO(2)$ ізоморфна групі $U(1)$ калібрувальної симетрії електромагнітного поля.

Доведення теореми Хіггса

Для доведення теореми Хіггса як і у доведенні теореми Голдстоуна розкладемо скалярне поле $\varphi _{i}=\varphi _{0i}+\phi _{k}(e^{k})_{i}+{\widetilde {\phi }}_{k}({\widetilde {e}}^{k})_{i}$ , крім цього розкладемо калібрувальне поле за генераторами калібрувальної групи $G$: $A_{\mu }=ie(A_{H,\mu }^{a}t_{H,a}+A_{G/H,\mu }^{a}t_{G/H,a})$.

У квадратичному наближенні розклад для скалярних полів буде мати такий самий вигляд як і у доведенні теореми Голдстоуна, квадрат тензора поля $-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}\right)^{2}$, а коваріантна похідна в першому наближенні (лінійного наближення за відхиленнями від вакууму достатньо для отримання квадратичного по відхиленню лагранжіана) запишеться у вигляді

${\mathcal {D}}_{\mu }\varphi \approx \partial _{\mu }\varphi +A_{\mu }\varphi _{0}=\partial _{\mu }\varphi +ieA_{G/H,\mu }^{a}T_{G/H,a}\varphi _{0}=e^{k}\partial _{\mu }\phi _{k}+{\widetilde {e}}^{k}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}_{k}-eA_{G/H,\mu }^{a}E_{a}.$

Підстановка даних виразів у вихідний лагранжіан дає у квадратичному по полях наближенні лагранжіан

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{k}-eA_{G/H,\mu }^{a}K_{ak})^{2}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi }}_{l}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3}),$

де $K_{ak}=(E_{a})_{i}(e_{k})^{i}$. Зауважимо, що матриця $K_{ak}$ є невиродженою, оскільки фактично є матрицею переходу між базисами $E_{a}=K_{ak}e^{k}$.

Можна ввести поля $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\phi _{k}(K^{-1})^{ka}$ (це відповідає унітарному калібруванню), тоді остаточно лагранжіан запишемо у вигляді

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{H,\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{H,\mu }^{a}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }B_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}M_{ab}^{2}B_{\mu }^{a}B_{\mu }^{b}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi }}_{l}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3}),$

де $(M^{2})_{ab}=e^{2}K_{ai}K_{bi}$, $(m^{2})^{kl}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j}}}$. Звідси одразу ж отримується формулювання теореми Хіггса.

Спонтанне порушення наближеної симетрії

В попередніх підрозділах розглядалася ситуація, коли вихідний лагранжіан володіє певною симетрією групи $G$, яка спонтанно порушується. Зараз розглянемо випадок, коли до лагранжіана зі симетрією додаються малі доданки, які руйнують симетрію (інколи наявність малих несиметричних доданків на відміну від спонтанного порушення симетрії називається м'яким порушенням симетрії). При спонтанному порушенні наближеної симетрії виникають безспінові поля малої маси, які називають псевдоголдстоунівськими бозонами.

Нехай потенціальна енергія записується у вигляді $V(\varphi )=V_{0}(\varphi )+\lambda V_{1}(\varphi )$, де доданок $V_{0}(\varphi )$ задовольняє умову інваріантності відносно перетворень групи $G$: $(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}}}=0$, $V_{1}(\varphi )$ являє собою збурення, яке руйнує симетрію, $\lambda$ — малий параметр. Доданок $V_{1}(\varphi )$ зміщує вакуумний стан в точку ${\overline {\varphi }}_{0}={\varphi }_{0}+\lambda {\varphi }_{0}^{(1)}$. Тоді умова мінімуму запишеться

${\frac {\partial V}{\partial \varphi _{i}}}\left(\varphi _{0}+\lambda \varphi _{0}^{(1)}\right)=0\Rightarrow {\frac {\partial V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}}}+\lambda \left[{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}\varphi _{0,j}^{(1)}\right]=\lambda \left[{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}\varphi _{0,j}^{(1)}\right]=0.$

Якщо помножити останнє рівняння на $(T_{a}\varphi _{0})_{i}$, та враховуючи, що другий доданок дасть $0$ (умова інваріантності значення вакууму відносно перетворень калібрувальної групи, див. Доведення теореми Голдстоуна), отримуємо

$(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}}}=0.$

Отримане рівняння має назву умови підлаштування вакууму. Якщо ця умова не задовольняється, то навіть мале збурення приводить до настільки великих змін ${\overline {\varphi }}_{0}$, що члени розкладу ${\overline {\varphi }}_{0}$ в околі ${\varphi }_{0}$ не є малими поправками. Однак у випадку, коли $G$ є компактною групою Лі, ця умова виконується. По аналогії до розкладу в пункті «Доведення теореми Голдстоуна» можна отримати масову матрицю псевдоголдстоунівських бозонів

$(m^{2})^{kl}=({e}^{k})_{i}({e}^{l})_{j}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}\left(\varphi _{0}+\lambda \varphi _{0}^{(1)}\right)=\lambda ({e}^{k})_{i}({e}^{l})_{j}\left[{\frac {\partial ^{2}V_{1}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}+{\frac {\partial ^{3}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}\partial \varphi _{n}}}\varphi _{0,n}^{(1)}\right].$

Масова матриця псевдоголдстоунівських бозонів є додатно-визначеною.

Порушення симетрії квантового поля

У квантовій теорії польова змінна $\varphi (x)$ перестає бути просто дійсною чи комплексною функцією координат, а є лінійним оператором ${\widehat {\Phi }}(x)$ у гільбертовому просторі станів поля, які в представленні Фока мають вигляд.

$|...,n_{\textbf {k}},...\rangle =C(...,n_{\textbf {k}},...)\prod _{\textbf {k}}b_{\textbf {k}}^{+}|0\rangle ,$

де $C$ — стала нормування, $b_{\textbf {k}}^{+}$ є так званим оператором породження, який збільшує число частинок з певним імпульсом ${\textbf {k}}$ на 1, наприклад для бозонів $b_{\textbf {k}}^{+}|...,n_{\textbf {k}},...\rangle ={\sqrt {n_{\textbf {k}}+1}}|...,n_{\textbf {k}}+1,...\rangle$, $|0\rangle$ — вакуумний стан, в якому нема жодних частинок (збуджень). Спостережуваними величинами є середні від польових операторів на станах поля $\langle ...,n_{\textbf {k}},...|{\widehat {A}}|...,n_{\textbf {k}},...\rangle$, де ${\widehat {A}}$ — деякий оператор, поліноміальний по операторах поля.

Однак можна показати, що середнє оператора ${\widehat {A}}$ на станах $|...,n_{\textbf {k}},...\rangle$ можна переписати через вакуумне середнє $\langle 0|{\widehat {B}}|0\rangle$ від оператора ${\widehat {B}}$, який є теж поліноміальним по операторах поля. Такі вакуумні середні зручно обчислювати як функціональні похідні від так званого твірного функціоналу, який означається як функціональний інтеграл

$Z=\int [d\varphi ][d\psi ][...]e^{iS[\varphi ,\psi ,...]},$

де $S$ — класична дія полів $\varphi ,\psi ,...$. Твірний функціонал являє собою амплітуду переходу вакуум-вакуум.

Найчастіше твірний функціонал та його похідні обчислюють, проводячи розклади в околі дії вільних невзаємодіючих полів (квадратичних по полях лагранжіанів). Поправки до невзаємодіючої теорії зручно обчислювати за допомогою діаграм Фейнмана.

Так як і в квантовій механіці по відношенню до класичної, операторна природа поля приводить до нетривіальних квантових ефектів. Інколи квантові поправки є незначними, однак в загальному вони можуть мати значний (потенційно нескінченний) вклад. Часто для квантового поля мають місце квантові аномалії — порушення симетрійних характеристик квантової системи, які є в класичного відповідника. Тому викладена в попередньому розділі фізична картина порушення симетрії для класичного поля не може бути безпосередньо екстрапольована на квантовий випадок і апріорі стверджувати виконання теорем Голдстоуна чи Хіггса у квантовому випадку не можна.

Глобальна калібрувальна симетрія

Теорема Голдстоуна у квантовому випадку може бути легко показана в формалізмі ефективної дії (потенціалу). В рамках цього підходу вводяться додаткові класичні струми $J_{i}(x)$, які взаємодіють з скалярними полями $\varphi _{i}(x)$. Твірний функціонал може бути переписаний у вигляді

$Z[J]=\exp {(iW[J])},$

де величина $W[J]$ являє собою суму всіх зв'язних вакуумних діаграм (діаграми, які утворюються одна з одної перестановкою вершин різними не вважаються). Вакуумні середні значення польових операторів $\varphi _{J}^{i}(x)=\langle \Phi ^{i}(x)\rangle _{0,J}$ при заданих класичних струмах $J_{i}(x)$ переписуються через варіаційні похідні від $W[J]$

$\varphi _{J}^{i}(x)={\frac {\delta }{\delta J_{i}(x)}}W[J].$

Означимо $J_{i}(x)$ як струм, для якого вакуумне польове середнє рівне наперед заданому полю $\varphi _{J}^{i}=\varphi ^{i}$. Здійснивши перетворення Лежандра від $W[J]$ отримаємо квантову ефективну дію $\Gamma [\varphi ]$

$\Gamma [\varphi ]=-\int d^{4}x\varphi ^{i}(x)J_{i,\varphi }(x)+W[J].$

Величина $\Gamma [\varphi ]$ є сумою всіх зв'язаних одночастинково незвідних діаграм при наявності струму $J_{i}(x)$. Можна показати, що

${\frac {\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi ^{i}(x)}}=-J_{i}(x).$

При відсутності зовнішніх струмів $J_{i}(x)=0$, значення вакуумних середніх визначаються як стаціонарні точки функціоналу

${\frac {\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi ^{i}(x)}}=0.$

Ефективна дія $\Gamma [\varphi ]$ враховує квантові поправки всіх порядків, при цьому забезпечуючи класичне трактування поля вакуумних середніх $\varphi _{i}(x)$ польових операторів. Якщо прийняти, що вакуум є інваріантним відносно перетворень Лоренца трансляцій і поворотів, то можна показати, що ефективна дія записується у вигляді

$\Gamma [\varphi ]=-{\mathcal {V}}_{4}V(\varphi ),$

де ${\mathcal {V}}_{4}$ — об'єм простору-часу, а $V(\varphi )$ — звичайна функція, яка називається ефективним потенціалом.

Згідно з тотожностями Славнова — Тейлора ефективна дія інваріантна відносно інфінітезимальних перетворень вакуумних полів $\delta _{\varepsilon }\varphi ^{i}(x)=\varepsilon \langle F^{i}(x)\rangle _{J}$ (тут під $\varphi ^{i}(x)$ мається на увазі будь-яке поле, а не тільки скалярні). Для широкого класу так званих лінійних інфінітезимальних перетворень (до яких відносяться і калібрувальні перетворення)

$F^{i}(x)=s^{i}(x)+A_{j}^{i}\varphi ^{j}(x),$

де $A_{j}^{i}$ — постійна матриця, ефективна дія інваріантна відносно тих самих симетрій, що і вихідна класична дія. Таким чином, якщо така симетрія непорушена на класичному рівні, то вона не буде порушена квантовими поправками у будь-якому порядку теорії збурень.

За допомогою ефективного потенціалу доведення теореми Голдстоуна в квантовому випадку можна провести майже такими самими міркуваннями як і для класичних полів (з точністю до заміни потенціалу на ефективний потенціал і класичних полів на вакуумні середні польових операторів). В квантовій теорії поля значення квадратів мас бозонів після порушення симетрії визначаються власними значеннями масової матриці $(m^{2})_{ij}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{i}\partial \varphi ^{j}}}$. А оскільки, як було сказано вище, симетрія ефективної дії (потенціалу) відносно калібрувальних перетворень така сама як і вихідної дії, то кількість нульових власних значень квантової масової матриці така сама як і для класичної, а теорема Голдстоуна виконується і у квантовому випадку.

Локальна калібрувальна симетрія

У квантовій теорії поля, теорема Хіггса залишається справедливою, хоча через причини наведені на початку розділу, математичний розгляд проблеми є складнішим. Для видалення «нефізичних» голдстоунівських мод при розгляді порушення локальної калібрувальної симетрії класичного поля використовувалося унітарне калібрування. Однак при застосуванні унітарного калібрування в квантовій теорії поля виявляється, що пропагатор калібрувального поля має асимптотичну поведінку ${\mathcal {O}}(1)={\mathcal {O}}(k^{0})$, а тому просто перевірити теорію на перенормовність (підрахунком степенів) не вдається. В квантовій теорії поля використовується залежне від дійсного параметра $\xi$ так зване $R_{\xi }$-калібрування, яке є узагальненням унітарного калібрування. Перевагою сімейства таких калібрувань є асимптотика ${\mathcal {O}}(k^{-2})$ пропагатора калібрувального поля.

Так чи інакше, вибір калібрування накладає додаткові умови на польові змінні, які потрібно враховувати при квантуванні. В теорії поля такі умови враховуються в рамках методу Фаддеєва — Попова. Розглянемо лагранжіан

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi {\mathcal {D}}^{\mu }\varphi -V(\varphi )-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}.$

Розкладаючи скалярні поля в околі мінімуму $\varphi (x)=\varphi _{0}+\phi (x)$, можна переписати лагранжіан як функцію $A,\;\phi$: ${\mathcal {L}}(A,\phi )$. При цьому калібрування фіксується умовою $\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}-\xi e\phi _{i}(K^{-1})^{ai}=0$, матриця $K^{ai}$ була введена в попередньому розділі при розгляді доведенні теореми Хіггса у класичному випадку. Всього таких умов є $\dim G-\dim H$. Введемо функції $G^{a}={\frac {1}{\sqrt {\xi }}}(\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}-\xi g\phi _{i}(K^{-1})^{ai})$, які будуть враховувати калібрування. При $\xi \rightarrow 0$ $R_{\xi }$-калібрування переходить в калібрування Ландау $\partial _{\mu }A_{a}^{\mu }=0$. Унітарне калібрування отримується в границі $\xi \rightarrow \infty$.

Квантування теорії ведеться за допомогою твірного функціонала

$Z=C\int ({\mathcal {D}}A)({\mathcal {D}}\phi )\exp \left[i\int d^{4}x({\mathcal {L}}(A,\phi )-{\frac {1}{2}}G^{2})\right]\det \left({\frac {\delta G}{\delta \alpha }}\right),$

де $\alpha$ — калібрувальні параметри порушених симетрій. Остаточно квадратичний по полях лагранжіан записується у вигляді

${\mathcal {L}}\approx -{\frac {1}{2}}A_{\mu }^{a}\left(\delta ^{ab}\left[-\eta ^{\mu \nu }\partial ^{2}+(1-{\frac {1}{\xi }}\partial ^{\mu }\partial ^{\nu })\right]-\eta ^{\mu \nu }(m_{A}^{2})_{ab}\right)A_{\nu }^{b}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}(m_{G}^{2})_{ij}\phi _{i}\phi _{j}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }})^{2}-{\frac {1}{2}}(m_{H}^{2})_{ij}{\widetilde {\phi }}_{i}{\widetilde {\phi }}_{j},$

де $(m_{A}^{2})_{ab}=g^{2}K_{ai}K_{bi}$, $(m_{G}^{2})_{ij}=\xi g^{2}K_{ia}K_{ja}$, $(m_{H}^{2})_{ij}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j}}}+\xi g^{2}K_{ia}K_{ja}$.

Визначник під інтегралом можна врахувати, додавши до лагранжіану системи лагранжіан духів Фаддєєва — Попова :${\mathcal {L}}_{gh}={\overline {c}}\left(-\partial ^{2}-\xi m_{A}^{2}{\frac {\phi (x)}{\varphi _{0}}}\right)c$.

Наявність мас у голдстоунів (які однак пропорційні $\sim {\sqrt {\xi }}$) та $\xi$-залежність мас бозонів Хіггса залежать від калібрування, що означає їхню нефізичність. Якщо їх не брати до уваги, то отримані масові матриці показують повну відповідність квантової з класичною теоремами Хіггса. Однак самі значення мас можуть дещо змінюватися внаслідок квантових поправок.

Пі-мезони як псевдоголдстоуни

Як приклад порушення симетрії у квантовій теорії поля розглянемо порушення кіральної симетрії $SU(2)\times SU(2)$ квантової хромодинаміки з безмасовими кварками. Ферміонний лагранжіан безмасових кварків має вигляд

${\mathcal {L}}=i{\overline {u}}\gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }u+i{\overline {d}}\gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }d,$

де риска над полем означає діраківське спряження ${\overline {u}}=u^{\dagger }\gamma ^{0}$, спінори $u,\,d$ відповідають $u,\,d$-кваркам. Взагалі кажучи, спінори кварків утворюють колірні триплети, проте цього явно виписувати тут не будемо. Такий безмасовий лагранжіан інваріантний відносно перетворень групи $SU(2)\times SU(2)$ ізоспінового дублету

$\left|\left|{\begin{array}{c}u\\d\end{array}}\right|\right|\rightarrow \exp {\left(i\alpha _{V}^{a}{\frac {\sigma _{a}}{2}}+i\alpha _{A}^{a}\gamma ^{5}{\frac {\sigma _{a}}{2}}\right)}\left|\left|{\begin{array}{c}u\\d\end{array}}\right|\right|,$

де $t_{a}={\frac {\sigma _{a}}{2}}$, а $\sigma _{a}$ — матриці Паулі. Даній симетрії відповідають векторний і аксіальний струми симетрії

$V_{a}^{\mu }=i{\overline {q}}\gamma ^{\mu }t_{a}q,\quad A_{a}^{\mu }=i{\overline {q}}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}t_{a}q,$

з рівнянням неперервності $\partial _{\mu }V_{a}^{\mu }=0,\,\partial _{\mu }A_{a}^{\mu }=0$, де $q=||u,d||^{T}$ позначає ізоспіновий кварковий дублет. Відповідні заряди симетрії${\widehat {I}}_{a}=\int d^{3}xV_{a}^{0},\;{\widehat {X}}_{a}=\int d^{3}xA_{a}^{0}$ є генераторами ізоспінової та залишкової симетрій. Діючи на кваркові поля, ці оператори індукують перетворення

$[{\widehat {I}}_{a},q]=-t_{a}q,\;[{\widehat {X}}_{a},q]=-\gamma ^{5}t_{a}q$.

Якщо симетрія $SU(2)\times SU(2)$ є непорушеною, то кожному гадрону відповідає аналог з тими самими квантовими числами (спіном, баріонним зарядом), але з протилежною парністю. Однак виродження гадронного спектру по парності не спостерігається, тому слід припустити, що кіральна симетрія з генераторами $X_{a}$ є порушеною.

Слід однак зауважити, що через наявність в лагранжіані масових доданків $-m_{u}{\overline {u}}u-m_{d}{\overline {d}}d$ симетрія $SU(2)\times SU(2)$ є наближеною. Тому, як було показано в попередньому розділі, в спектрі частинок виникають псевдоголдстоунівські бозони з малою масою. Вони повинні бути безспіновими, мати нульовий баріонний заряд, з ізоспіном рівним 1 та від'ємною парністю. Найлегшими серед всіх гадронів є саме $\pi$-мезони, більше того вони володіють необхідними квантовими числами. Можна показати, що квадрат масової матриці $\pi$-мезонів $m_{\pi }^{2}\sim (m_{u}+m_{d})$ і дає масу $\pi$-мезона 140 МеВ при $m_{u}+m_{d}\sim$ 10 МеВ, що відповідає реальності.

Поле Хіггса і динамічне порушення симетрії

Динамічне порушення симетрії полягає в порушенні симетрії квантовими ефектами поляризації вакууму. Такі поляризаційна ефекти порушують початкову класичну калібрувальну симетрію групи $G$, редукуючи її до симетрії з малою групою $H$. Поляризація вакууму може приводити до набуття початково безмасовими частинками мас.

У такій ідеології бозон Хіггса може бути введений в теорію наступним чином. Нехай маємо систему матеріальних і калібрувальних полів, які позначимо для зручності одною буквою $\varphi$. Нехай відповідна дія $S[\varphi ]$ інваріантна відносно перетворень калібрувальної групи $G$. Введемо в систему класичне зовнішнє поле Хіггса $\sigma$, яке редукує калібрувальну симетрію до малої групи $H$, дію такої системи запишемо $S[\varphi ,\sigma ]$. Твірний функціонал запишемо у наступному вигляді з інтегруванням тільки за полями $\varphi$, вважаючи поле $\sigma$ заданим

$Z_{\sigma }=\int [d\varphi ]e^{iS[\varphi ,\sigma ]}.$

Тепер до дії $S[\varphi ,\sigma ]$ додамо «затравочну» дію для Хіггсового поля $S_{\sigma }$, а в твірному функціоналі додамо інтегрування за полями $\sigma$

$Z=\int [d\varphi ][d\sigma ]e^{iS[\varphi ,\sigma ]+iS_{\sigma }}.$

Інтегрування за полями $\varphi$ генерує деяку ефективну дію для поля Хіггса

$Z=\int [d\varphi ][d\sigma ]e^{iS[\varphi ,\sigma ]+iS_{\sigma }}=\int [d\sigma ]e^{iS_{eff}+iS_{\sigma }}.$

Перевагою такого підходу є отримання нетривіального вкладу в Хіггсове поле, яке походить від початкової системи полів $\varphi$. Аналогічними методами в квантовій електродинаміці отримують нелінійні поправки до лагранжіану.

Порушення симетрії у статистичній фізиці

Різні статистичні системи можна представляти як деякі квантовані поля, так система бозе-частинок (наприклад $^{4}He$) являє собою комплексне скалярне поле, фермі-система ($^{3}He$) представляється як спінорне поле, проте найчастіше в квантовій статистичній фізиці лагранжіани є ефективними феноменологічними, а відповідні поля описують певні збудження в системі (теорія Гінзбурга — Ландау, плазмони, фонони, екситони тощо).

Математичний апарат квантової теорії поля може бути застосований до вивчення статистичних систем багатьох частинок. При цьому в статистичній фізиці терміни квантової теорії полі мають свої відповідники. Так, наприклад, аналогом твірного функціоналу є статистична сума, яка може бути представлена як функціональний інтеграл

$Z=e^{-\beta F[\varphi ]}=\int ({\mathcal {D}}\varphi )\exp {\left(-\beta \int d^{3}x\left[e(x)-\mu (T)\varphi ^{\dagger }\varphi \right]\right)},$

де $F$ — вільна енергія Гельмгольца, яка є аналогом класичної дії у квантовій теорії поля, $\varphi$ — сукупність полів моделі, $\beta ={\frac {1}{T}}$ — обернена температура, $e(x)$ — густина енергії в околі точки $x$, $\mu$ — хімічний потенціал.

Зрозуміло, що і як у випадку квантової теорії поля, при квантуванні статистичної системи виникають квантові поправки, які можуть мати який завгодно вплив на систему. Однак по аналогії до попереднього розділу можна ввести ефективний потенціал, який зручно використовувати для дослідження системи. Проте, якщо цього достатньо, можна працювати в наближенні середнього поля, в рамках якого покладається

$F\approx E=\int d^{3}x\left[e(x)-\mu \varphi ^{\dagger }\varphi \right].$

Фазові переходи як спонтанне порушення симетрії

При зміні температури змінюється і густина енергії системи (через зміну потенціалу взаємодії) і хімічний потенціал, тому може статися, що при температурах вище певної критичної температури $T_{c}$ мінімум енергії знаходиться при одній конфігурації системи, а нижче — при іншій (чи навпаки). Система переходить з стану, який вже не є стабільним при даній температурі, в новий стабільний стан. Макроскопічно спостерігається фазовий перехід.

Поля відхилення від вакуумного стану ототожнюють з термодинамічними флуктуаціями. При спонтанному порушенні симетрії в статистичній фізиці, крім масивних скалярів, завжди виникають безмасові моди флуктуацій, які називають бозонами Голдстоуна (часто Намбу — Голдстоуна). Наявність безмасових голдстоунівських мод веде до безщілинного енергетичного спектру системи (теорема Гугенгольца — Пайнса). Голдстоунівська мода також відповідає за скорельовані в усій системі флуктуації (так званий недіагональний дальній порядок, наприклад у випадку бозе-суміші — бозе-конденсат). Інколи необґрунтовано у фізиці конденсованого стану масивні моди коливань називають бозонами Хіггса.

Майже всі фазові переходи можна трактувати як спонтанне порушення симетрії. Тим не менше існують стани речовини, які не можна представити як спонтанно порушені конфігурації поля. До таких станів, відносять спінові рідини, електронний газ в дробовому квантовому ефекті Холла.

Надплинність

Як приклад спонтанного порушення симетрії в теорії фазових переходів розглянемо перехід рідкого $^{4}He$ в надплинний стан. Як було сказано раніше, бозе-рідину можна описати одним комплексним полем $\psi$.

У теорії надплинної бозе-рідини, припускаючи, що атоми рідини є твердими кульками, які взаємодіють лише при безпосередніх зіткненнях ($\delta$-відштовхування), а далекодіючі взаємодії відсутні, густину енергії можна записати у вигляді

$e(x)={\frac {\hbar ^{2}}{2M}}|\nabla \psi |^{2}+{\frac {g}{2}}|\psi |^{4},$

де $\psi$ — комплексне поле, що відповідає хвильовій функція атомів рідини,  $M$ — маса атомів рідини, $g$ — параметр взаємодії. Хімічний потенціал має вигляд $\mu =-\mu _{0}\left({\frac {T}{T_{c}}}-1\right)$. Даний вираз для густини енергії відповідає лагранжіану Гінзбурга — Ландау без зовнішнього магнітного поля. Вперше квантовопольовий розгляд надплинності провів Пітаєвський.

При температурах вище критичної енергія має мінімум при $\psi =0$. Однак при пониженні температури нижче критичної мінімум реалізовується при $|\psi |=a={\sqrt {\frac {-\mu _{0}({\frac {T}{T_{c}}}-1)}{V}}}$. Основний стан стає безмежнократно виродженим по відношенню до фази $\phi =\arg {\psi }$.

Питома вільна енергія (на одиницю об'єму) вище критичної температури рівна нулю $f(T>T_{C})=0$, проте нижче критичної температури (безвідносно до значення фази) $f(T<T_{C})=-f_{0}\left({\frac {T}{T_{c}}}-1\right)^{2}$, де $f_{0}={\frac {\mu _{0}^{2}}{2V}}$.

Теплоємність одиниці об'єму $c=-T{\frac {\partial ^{2}f}{(\partial T)^{2}}}=\left\{{\begin{array}{c}0,\;T>T_{c};\\{\frac {\mu _{0}^{2}}{V}}{\frac {T}{T_{c}^{2}}},\;T>T_{c}.\end{array}}\right.$ Така поведінка теплоємності відповідає фазовому переходу другого роду.

Розкладаючи поля $|\psi (x)|=a+\rho (x)$ та $\phi (x)=\phi _{0}+\gamma (x)$ в околі вакууму отримаємо

$\epsilon =\int d^{3}x\left[{\frac {1}{2}}\left((\nabla \rho (x))^{2}+(-2m^{2})\rho (x)^{2}\right)+{\frac {1}{2}}a^{2}(\nabla \gamma (x))^{2}\right],$

де безрозмірні величини мають вигляд $\epsilon ={\frac {E}{\hbar ^{2}/2M}}$, $m^{2}=-\mu {\frac {2M}{h^{2}}}>0$. Відхилення від вакуумних (рівноважних) значень відповідають полям збуджень (флуктуацій). Як бачимо існують дві моди коливань — масивна мода $\rho$ та безмасова голдстоунівська мода $\gamma$.

Моди коливань характеризуються кореляційною довжиною $\xi _{\varphi }={\frac {1}{m_{\varphi }}}$. Вона задає експоненційний закон загасання збуджень з відстанню $e^{-|x|/\xi }$. Вище критичної точки є дві моди з кореляційною довжиною $\xi _{\psi }={\frac {1}{m}}={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2M\mu _{0}}}}{\frac {1}{\sqrt {{\frac {T}{T_{c}}}-1}}}$ . Нижче критичної точки для голдстоунівських безмасових мод кореляційна довжина нескінченна (це означає насправді не експоненційну, а степеневу поведінку збуджень), що відповідає скорельованості фазових флуктуацій в усій системі (наприклад бозе-конденсат). Для масивної моди в надплинному стані маємо температурну залежність кореляційної довжини в околі критичної точки фазового переходу

$\xi _{\rho }={\frac {1}{\sqrt {2|m^{2}|}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2M\mu _{0}}}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {T}{T_{c}}}}}}$.

Об'єднання фундаментальних взаємодій

Модель Глешоу — Вайнберга — Салама

Модель Глешоу — Вайнберга — Салама описує об'єднану електрослабку взаємодію з групою калібрувальної симетрії $SU(2)_{L}\times U(1)_{Y}$ та чотирма калібрувальними векторними бозонами $B^{0},\;W^{0},\;W^{+},\;W^{-}$, де індекс вгорі вказує електричний заряд бозона. При пониженні енергії група $SU(2)_{L}\times U(1)_{Y}$ порушується до групи $U(1)_{\gamma }$ електродинаміки з одним калібрувальним бозоном — фотоном. Зауважимо, що непорушена група $U(1)_{Y}$ є групою поля гіперзаряду, а не електромагнітного поля. Також в теорії є скалярне поле, яке перетворюється по фундаментальному представлення групи$SU(2)$, тому воно має вигляд двокомпонентного комплексного скаляра $\varphi =||\varphi _{1},\varphi _{2}||^{T}$. Крім того в моделі є матеріальні поля, які ми для простоти брати до уваги не будемо. Лагранжіан калібрувальних полів (точніше бозонного сектору) має вигляд

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(F_{Y}^{\mu \nu })^{2}-{\frac {1}{4}}(F_{L}^{a,\mu \nu })^{2}+{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi ^{\dagger }{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi -\lambda \left(\varphi ^{\dagger }\varphi -a^{2}\right)^{2},$

де коваріантна похідна від $\varphi$ записується

${\mathcal {D}}^{\mu }\varphi =\partial ^{\mu }\varphi +{\frac {i}{2}}e_{Y}Z_{U(1)}^{\mu }\varphi +ie_{L}W_{SU(2)}^{a,\mu }{\frac {\sigma _{a}}{2}}\varphi ,$

де $e_{Y}$ і $e_{L}$ — константи взаємодії для відповідних полів, $\sigma _{a}$ — сукупність одиничної матриці і матриць Паулі $\sigma _{i}$.

Вакуумний стан оберемо у вигляді $\varphi _{0}=||0,a||^{T}$. Очевидно, що вакуум є інваріантний відносно дії елементів малої групи $U(1)_{\gamma }$, генератором якої є матриця $t_{A}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right)$ . Саме ця група відповідає калібрувальним перетворенням електродинаміки. Зручно ввести трійку матриць $t_{i}=\sigma _{i}/2$, а також переписати параметри $e_{Y}$ і $e_{L}$ через нові параметри $e$ та ${\mathcal {\theta }}_{W}$

$e=e_{Y}\cos {\mathcal {\theta }}_{W}=e_{L}\sin {\mathcal {\theta }}_{W},$

параметр $e$ виявляється рівним елементарному електричному заряду, а параметр ${\mathcal {\theta }}_{W}$ називається кутом Вайнберга. В такому випадку коваріантна похідна запишеться

${\mathcal {D}}^{\mu }\varphi =\partial ^{\mu }\varphi +ie\left(A^{\mu }-{\rm {tg}}{\mathcal {\theta }}_{W}Z^{\mu }\right)t_{A}\varphi +i\left({\frac {e_{2}}{\cos {\mathcal {\theta }}_{W}}}Z^{\mu }t_{3}+e_{2}W_{+}^{\mu }t_{1}+e_{2}W_{-}^{\mu }t_{2}\right)\varphi ,$

де ${\begin{pmatrix}A_{\mu }\\Z_{\mu }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{W}&\sin \theta _{W}\\-\sin \theta _{W}&\cos \theta _{W}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{\mu }\\W_{\mu }^{3}\end{pmatrix}}$, $W_{\mu }^{+}=W_{\mu }^{1}$, $W_{\mu }^{-}=W_{\mu }^{2}$.

В унітарному калібруванні $\varphi =||0,a+\phi ||^{T}$, де $\phi$ є дійсним скалярним полем, що відповідає бозону Хіггса, знайденим експериментально у 2012 році.

В квадратичному наближенні лагранжіан з порушеною симетрією запишеться

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })^{2}-{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu }Z_{\nu }-\partial _{\nu }Z_{\mu })^{2}+m_{Z}^{2}Z^{2}-\sum _{i=\pm }\left[{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu }W_{\nu }^{i}-\partial _{\nu }W_{\mu }^{i})^{2}+m_{W}^{2}(W^{i})^{2}\right]+(\partial _{\mu }\phi )^{2}-m_{\phi }^{2}\phi ^{2},$

де $m_{W}={\frac {e_{2}a}{\sqrt {2}}}$, $m_{Z}={\frac {e_{2}a}{{\sqrt {2}}\cos {\mathcal {\theta }}_{W}}}$, $m_{\phi }=2{\sqrt {\lambda }}a$.

Насамкінець слід додати, що квантові поправки приводять до зміни мас бозонів та залежності констант взаємодії від енергії.

SU(5)-модель Великого об'єднання Джорджі — Глешоу

Групування ферміонів за 5 + 10 мультиплетами в теорії $SU(5)$. Бозони взаємодії розміщені на перетині відповідних ферміонних рядків і стовпців. Нейтральні бозони (фотон, Z-бозон) не показані на рисунку.

При високих енергіях (~10¹⁴ ГеВ) електрослабка і сильна ядерні взаємодії об'єднуються в єдине поле з деякою калібрувальною групою симетрії, яка спонтанно порушується до групи $SU(3)_{C}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{Y}$ Стандартної моделі при нижчих енергіях. В даному параграфі розглянемо модель Джорджі — Глешоу з найменшою калібрувальною групою $SU(5)$, яка дозволяє Велике об'єднання.

У цій теорії всі ферміони об'єднуються в три покоління 15-ти компонентних мультиплетів, які складаються з 5-ти і 10-ти компонентних мультиплетів, що відповідає найменшим вимірностям незвідних представлень групи $SU(5)$. В 5-компонентний сектор 15-ти компонентного мультиплета входить правий кольоровий триплет кварків $d$-типу (по одній компоненті для кожного кольору) та лівий лептонний ізоспіновий дублет (електрон і нейтрино) $5=||d_{R};e_{L}^{-},\nu _{L}||$. 10-компонентний сектор містить лівий і правий триплети $u$-кварків, лівий триплет $d$-кварків та правий електрон $10=||u;d_{L};e_{R}^{-}||$.

При точній симетрії група $SU(5)$ має $5\times 5-1=24$ безмасові калібрувальні бозони. Існують три бозони $W^{+},Z^{0},W^{-}$, що відповідають за переходи в лептонному квінтеті і пов'язані групою $SU(2)_{L}\subset SU(5)$. Також є бозон $B^{0}$, що відповідає групі $U(1)_{Y}$. Як і в Стандартній Моделі, фотон і $Z^{0}$ бозон є ортогональними суперпозиціями полів $W^{0}$ і $B^{0}$. Також є 8 глюонів, що здійснюють переходи між трьома кольоровими кварками та є генераторами групи $SU(3)_{C}$. Дванадцятьма іншими калібрувальними бозонами є чотири кольорові триплети $X_{\pm 4/3}$ та $Y_{\pm 4/3}$. Бозони $X$ та $Y$ відповідають за взаємодії $\nu _{e}-d_{R}$, $e_{R}^{-}-u_{L}$, $d_{L}-u_{R}$ та $e_{L}-d_{R}$, $e_{R}-d_{L}$, $u_{L}-u_{R}$ відповідно.

При зменшенні енергії симетрія $SU(5)$ порушується до $SU(3)_{C}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{Y}$. При цьому калібрувальні $X$- та $Y$-бозони набувають маси 10¹⁴ ГеВ.

Крім того, в моделі $SU(5)$ можливе введення масивних правих нейтрино (як синглет $SU(5)$). Таке нейтрино може взаємодіяти з квінтетом за допомогою бозонів Хіггса, які виникають при спонтанному порушенні симетрії Великого об'єднання.

Модель Джорджі — Глешоу передбачає час життя протона ~10²⁹ років, однак сучасні експерименти на Super-Kamiokande дають нижню оцінку для життя протона 10³² років, повністю виключаючи можливість реалізації симетрії $SU(5)$ в такій найпростішій версії.

SO(10)-модель та моделі з вищими калібрувальними групами

Наступною мінімальною калібрувальною групою, якою можна описати Велике об'єднання, є група $SO(10)$, в якій ферміони утворюють 16-плет (у порівнянні з $SU(5)$ додається ліве нейтрино). Легко обчислити, що всього є $10\times 9/2=45$ калібрувальних бозонів, які можуть набувати масу при спонтанному порушенні симетрії $SO(10)$. Така модель теж виключається відсутністю розпаду протона.

Розглядаються й вищі групи $SU(n)$ та $SO(n)$ (наприклад $SU(8)$, $SO(16)$ тощо). Крім того розглядаються моделі, де калібрувальна група є добутком двох і більше простих груп $SU(4)\times SU(4)$, $SU(3)\times SU(3)\times SU(3)$ тощо. Особлива увага приділяється ланцюжку виключних груп

$E_{4}=SU(5)\subset E_{5}=SO(10)\subset E_{6}\subset E_{7}\subset E_{8},$

які виникають у теоріях багатовимірної гравітації і теорії струн. Групи $E_{7},E_{8}$ є достатньо великими для вміщення різних поколінь частинок.

Незважаючи на велику кількість полів у високих групах, механізм спонтанного порушення симетрії у відповідних теоріях такий самий, як і описано вище.

Спонтанне порушення суперсиметрії

Спонтанне порушення суперсиметрії (на відміну від м'якого та динамічного) полягає в отриманні несуперсиметричної (явно) теорії в околі вакууму з суперсиметричної. Порушення суперсиметрії є необхідним процесом для уникнення конфлікту суперсиметричних моделей з експериментом. Справа в тому, що точна суперсиметрія передбачає, що суперпартнери (кількість яких збігається з кількістю звичайних частинок) мають таку саму масу, як і їх партнери (звичайні частинки), чого не спостерігається в експерименті. Під час порушення суперсиметрії, суперпартнери набувають значної додаткової маси, і, таким чином, стають поки недосяжними в експериментах.

Як і для порушення калібрувальної симетрії, можна показати, що квантові поправки не порушують суперсиметрії, якщо вона не порушена на класичному рівні. Однак суттєвою відмінністю порушення суперсиметрії від калібрувальної симетрії є твердження наступної теореми

Теорема. У будь-якій теорії з суперсиметрією або порушені всі суперсиметрії, або не порушена жодна з них.

Критерії порушеної суперсиметрії

Ненульові вакуумні середні

Суперсиметрія порушена тоді і тільки тоді, коли суперзаряд $Q_{a}$ не знищує вакуумний стан $Q_{a}|0\rangle \neq 0$. Для вакуумного середнього варіації поля $\varphi$ можна написати $\langle \delta \varphi \rangle _{0}=\langle \left[\varphi ,Q_{\alpha }\right]\rangle _{0}\neq 0$, таким чином суперсиметрія порушена тоді і тільки тоді, коли вакуумне середнє деякого поля не рівне 0. При цьому вимагається Лоренц-інваріантність вакууму.

Наприклад для моделі Весса — Цуміно

$S=\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }A)^{2}-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }B)^{2}-{\frac {1}{2}}\chi ^{\dagger }\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\chi +{\frac {1}{2}}D^{2}+{\frac {1}{2}}F^{2}\right)$

з бозонними полями $A,B,D,F$ та майоранівським ферміоном $\chi$. Поля $D,F$ є додатковими і занулюються на масовій поверхні, їхня наявність є необхідною для рівності бозонних і ферміонних ступенів вільності на і поза межами масової поверхні Для цієї моделі з вимоги Лоренц-інваріантності вакууму випливає $\langle \chi _{\alpha }\rangle =0$, $\langle \partial _{\mu }A\rangle =0$, $\langle \partial _{\mu }B\rangle =0$. Ненульове середнє варіації поля має вигляд $\langle \delta _{\varepsilon }\chi _{\alpha }\rangle =((\langle F\rangle +i\gamma _{5}\langle D\rangle )\varepsilon )_{\alpha }$. Таким чином суперсиметрія порушена тоді і тільки тоді, коли вакуумні середні додаткових полів не рівні 0.

Нульове значення потенціалу

Гамільтоніан суперсиметричної теорії з суперзарядами $Q_{a}$ записується у вигляді

$H=\sum _{a}(Q_{a}Q_{a}^{\dagger }+Q_{a}^{\dagger }Q_{a})$

А це в свою чергу приводить до наступного твердження: суперсиметричний вакуумний стан повинен мати нульову енергію, якщо вакуумна енергія додатна — суперсиметрія порушена. Справді, для вакуумного середнього гамільтоніана

Потенціали з порушеною симетрією: a) непорушена калібрувальна симетрія і непорушена суперсиметрія; b) непорушена калібрувальна симетрія і порушена суперсиметрія; c) порушена калібрувальна симетрія і непорушена суперсиметрія; d) порушена калібрувальна симетрія і порушена суперсиметрія.

$\langle H\rangle =\sum _{a}(||Q_{a}|0\rangle ||^{2}+||Q_{a}^{\dagger }|0\rangle ||^{2})\geq 0.$

Причому рівність досягається тільки у випадку непорушеної суперсиметрії $Q_{a}|0\rangle =0$.

В цьому полягає принципова відмінність спонтанного порушення суперсиметрії від калібрувальної симетрії. Для останньої важливо інваріантність мінімуму потенціалу, а для суперсиметрії — значення його мінімуму. Таким чином порушення калібрувальної симетрії є в певному сенсі незалежним від порушення суперсиметрії. Якщо мінімум порушеного відносно калібрувальної симетрії вакууму має нульову енергію, то суперсиметрія не є порушеною.

Голдстіно і хіггсіно

При порушенні суперсиметрії кірального суперполя $\Phi (x,\theta ,{\overline {\theta }})=\varphi (y)+\theta \chi (y)+\theta \theta F(y),$ де $y=x-i\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}$, $\theta ,\;{\overline {\theta }}$ — грасманові координати суперпростору, реалізовується так зване порушення суперсиметрії $F$-типу, коли вакуумне середнє динамічного скалярного і додаткового поля $\langle F\rangle _{0}\neq 0$. При порушенні суперсиметрії векторного суперполя $\langle D\rangle _{0}\neq 0$