Відкрити головне меню

Тео́рія збу́рень — метод розв'язку математичних задач. що базується на відомому розв'язку й розглядає відхилення від цього розв'язку пропорційними певному малому параметру.

Квантова механіка

Принцип невизначеності
Вступ[en] · Історія[en]
Математичні основи[en]

Зміст

Квантова механікаРедагувати

Метод збурень є одним із основних методів знаходження розв'язків квантово-механічних рівнянь руху, зокрема рівняння Шредингера. Розрізняють метод збурень для стаціонарного рівняння Шредингера й метод збурень для часового рівняння Шредінгера в тому випадку, коли збурення залежить від часу.

Теорія збурень для стаціонарного рівняння ШредінгераРедагувати

Теорія збурень застосовується тоді, коли потрібно знайти власні значення й власні функції гамільтоніана

 ,

де   — гамільтоніан із відомим спектром,   — малий параметр,   — оператор збурення.

Для хвильових функції   n-го стану незбуреного гамільтоніана та енергії стану справедливе співвідношення

 

Для знаходження розв'язку проводиться розклад хвильової функції в ряд Тейлора щодо малого параметру

 .

Власні функції незбуреного гамільтоніана складають ортонормований базис, тому будь-яку хвильову функцію можна подати у вигляді

 .

Таким чином, розклад в ряд Тейлора хвильової функції аналогічний розкладу коефіцієнтів  :

 

Аналогічним чином розкладається в ряд Тейлора енергія власного стану

 .


У першому наближенні теорії збурень (коли враховуються лише лінійні по   члени) енергія n-го стану отримує приріст

 .

Зміна хвильової фунції визначається формулою

 ,

де   — власні значення незбуреного гамільтоніану  , а

 


Ця зміна ортогональна початковій хвильовій функції  .


У другому наближенні теорії збурень враховуються члени, пропорційні  .

 .
 


Очевидно, що поправка до енергії залишатиметься малою лише при умові, коли  . Тобто, теорія збурень в поданому вигляді справедлива лише для систем і станів, енергії яких не вироджені й не близькі між собою. Для систем із близькими рівнями енергій і вироджених систем формули теорії збурень змінюються.

Теорія збурень вироджених рівнівРедагувати

Збурення зазвичай призводить до зняття виродження. Стани, які в незбуреному стані мали однакову енергію, при врахуванні збурення отримують різне значення енергії.

У випадку виродження існують власних функцій   незбуреного гамільтоніана  , що відповідають енергії  

 .

Будь-яка лінійна комбінація цих функцій теж є власною функцією незбуреного гамільтоніана. Шукаючи розв'язок збуреної задачі у виляді

 

де   — невизначені коефіцієнти, отримуємо в першому наближенні по малому параметру   систему рівнянь на власні значення енергії

 .

Відхилення отриманих значень енергії від положення n-го рівня незбуреної задачі пропорційне малому параметру. Визначаючи власні значення енергії можна одночасно знайти коефіцієнти  , які визначають хвильові функції збурених станів.

У залежності від типу збурення зняття виродження може бути неповним.

Залежне від часу збуренняРедагувати

Якщо збурення залежить від часу потрібно розв'язувати нестаціонарне рівняння Шредінгера

 .

Функцію   можна представити у вигляді розкладу по ортонормованій системі власних функцій гамільтоніана незбуреної задачі  

 .

Залежні від часу коефіцієнти розкладу   повинні задовольняти систему рівнянь

 .

де  , а  . Ця система рівнянь повністю еквівалентна рівнянню Шредінгера. Вважаючи   малим параметром, розв'язок можна шукати у вигляді розкладу

 .

Збираючи члени з однаковими степенями щодо  , можна отримати ланцюжок рівняннь для наближених розв'язків

 
 
 

тощо.

В нульовому наближенні теорії збурень хвильова функція не змінюється. Припускаючи, що до збурення система знаходилася в одному з стаціонарних станів s,  .

В першому наближенні теорії збурень

 .

Таким чином, ймовірність того, що квантова система під дією збурення перейде із стану s в стан n задається формулою

 

Монохроматичне збудженняРедагувати

Якщо збудження монохроматичне, тобто його можна представити у вигляді

 ,

то інтегрування можна виконати й отримати

 

Ймовірність переходу системи зі стану s в стан n має полюси при  . При частотах зовнішнього збудження, які не збігаються з різницями енергій квантових станів, поділених на сталу Планка, ця ймовірність мала величина, що осцилює з часом. При збігу виникає явище резонансу і ймовірність переходу значно зростає.

При   другим членом можна знехнувати, і тоді

 .

При   залежний від часу множник переходить у дельта-функцію Дірака, а ймовірність переходу за одиницю часу задається золотим правилом Фермі

 .

ДжерелаРедагувати

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.