Пропага́тор або фу́нкція поши́рення — функція, що задає амплітуду ймовірності переходу квантової частинки, яка перебувала в певний момент часу в однієї точці простору, в іншу в інший момент часу.
Пропагатор є функцією Гріна рівняння Шредінгера . Пропагатори використовуються для функціонального формулювання квантової механіки, в якому застосовуються інтеграли Фейнмана .
Означення
ред.
Пропагатор визначається, як матричний елемент оператора еволюції
K ( x , t ; x ′ , t ′ ) = ⟨ x | S ^ ( t , t ′ ) | x ′ ⟩ {\displaystyle K(x,t;x^{\prime },t^{\prime })=\langle x|{\hat {S}}(t,t^{\prime })|x^{\prime }\rangle } ,де пропагатор позначений K, оператор еволюції S ^ {\displaystyle {\hat {S}}} , а | x ⟩ {\displaystyle |x\rangle } — власна функція оператора координати .
В нерелятивістській квантовій механіці пропагатор задовольняє рівнянню
( H ^ − i ℏ ∂ ∂ t ) K ( x , t ; x ′ , t ′ ) = − i ℏ δ ( x − x ′ ) δ ( t − t ′ ) {\displaystyle \left({\hat {H}}-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)K(x,t;x',t')=-i\hbar \delta (x-x')\delta (t-t')} ,де H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} — гамільтоніан , ℏ {\displaystyle \hbar } — зведена стала Планка .
Хвильова функція частинки в момент часу t виражається через хвильову функцію в момент часу t ′ < t {\displaystyle t^{\prime }<t} з використанням пропагатора через формулу
ψ ( x , t ) = ∫ − ∞ ∞ K ( x , t ; x ′ , t ′ ) ψ ( x ′ , t ′ ) d x ′ {\displaystyle \psi (x,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }K(x,t;x^{\prime },t^{\prime })\psi (x^{\prime },t^{\prime })dx^{\prime }} Приклади
ред.
Вільна частинка
ред.
Для вільної частинки , яка рухається в тривимірному просторі пропагатор має вигляд
K ( r , t ; r ′ , t ′ ) = K ( r − r ′ , t − t ′ ) = ( m 2 π i ℏ ( t − t ′ ) ) 3 / 2 exp ( i m ( r − r ′ ) 2 2 ℏ ( t − t ′ ) ) {\displaystyle K(\mathbf {r} ,t;\mathbf {r} ^{\prime },t^{\prime })=K(\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime },t-t^{\prime })=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar (t-t^{\prime })}}\right)^{3/2}\exp \left({\frac {im(\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime })^{2}}{2\hbar (t-t^{\prime })}}\right)} ,де m — маса частинки.
Ця формула описує розпливання хвильового пакета з часом.
Пропагатори у квантовій теорії поля
ред.
У квантовій теорії поля пропагатором для коваріантного поля народження і знищення
Ψ ^ l ( x ) = ∑ σ ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 2 E p ( a ^ σ ( p ) e − i p x u l σ ( p ) + b ^ σ † ( p ) e i p x v l σ ( p ) ) {\displaystyle \ {\hat {\Psi }}_{l}(x)=\sum _{\sigma }\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {(2\pi )^{3}2E_{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} )e^{-ipx}u_{l}^{\sigma }(\mathbf {p} )+{\hat {b}}_{\sigma }^{\dagger }(\mathbf {p} )e^{ipx}v_{l}^{\sigma }(\mathbf {p} )\right)} ,де l {\displaystyle \ l} - спінорний індекс, що відповідає спіну (спіральності) s {\displaystyle \ s} поля як представлення групи Пуанкаре, σ {\displaystyle \ \sigma } - поляризації ( 2 s + 1 {\displaystyle \ 2s+1} поляризацій для масивного випадку, 1 поляризація для безмасового випадку без інваріантності представлення відносно дискретних симетрій групи Лоренца та 2 поляризації для безмасового випадку із інваріантністю відносно вказаних дискретних симетрій),
(у координатному представленні) називається[1] вираз
− i D l m c ( x − y ) = ⟨ 0 | T ^ ( Ψ ^ l ( x ) , Ψ ^ m † ( y ) ) | 0 ⟩ ( 1 ) {\displaystyle \ -iD_{lm}^{c}(x-y)=\langle 0|{\hat {T}}\left({\hat {\Psi }}_{l}(x),{\hat {\Psi }}_{m}^{\dagger }(y)\right)|0\rangle \qquad (1)} .Тут T ^ ( A ^ ( x ) B ^ ( y ) ) = θ ( x 0 − y 0 ) A ^ ( x ) B ^ ( y ) ± θ ( y 0 − x 0 ) B ^ ( y ) A ^ ( x ) {\displaystyle \ {\hat {T}}({\hat {A}}(x){\hat {B}}(y))=\theta (x_{0}-y_{0}){\hat {A}}(x){\hat {B}}(y)\pm \theta (y_{0}-x_{0}){\hat {B}}(y){\hat {A}}(x)} ,
де ± {\displaystyle \ \pm } обирається в залежності від типу комутаційних співвідношень для операторів полів A ^ ( x ) , B ^ ( y ) {\displaystyle \ {\hat {A}}(x),{\hat {B}}(y)} - відповідно комутаційних чи антикомутаційних.
Обмежимось пропагатором для вільної теорії. Враховуючи, що при дії на вакуум маємо a ^ | 0 ⟩ = b ^ | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle \ {\hat {a}}|0\rangle ={\hat {b}}|0\rangle =0} , вираз ( 1 ) {\displaystyle \ (1)} можна переписати як
− i D l m c ( x − y ) = θ ( x 0 − y 0 ) ⟨ | [ Ψ ^ l + ( x ) , ( Ψ ^ m + ) † ( y ) ] ± | ⟩ ± θ ( y 0 − x 0 ) ⟨ | [ ( Ψ ^ m − ) † ( y ) , Ψ ^ l − ( x ) ] ± | ⟩ ( 2 ) {\displaystyle \ -iD_{lm}^{c}(x-y)=\theta (x_{0}-y_{0})\langle |[{\hat {\Psi }}_{l}^{+}(x),({\hat {\Psi }}_{m}^{+})^{\dagger }(y)]_{\pm }|\rangle \pm \theta (y_{0}-x_{0})\langle |[({\hat {\Psi }}_{m}^{-})^{\dagger }(y),{\hat {\Psi }}_{l}^{-}(x)]_{\pm }|\rangle \qquad (2)} ,де ± {\displaystyle \ \pm } визначає антикомутатор чи комутатор відповідно. Використовуючи (анти)комутаційні співвідношення на оператори народження і знищення
[ a ^ σ ( p ) , a ^ σ ′ † ( k ) ] ± = [ b ^ σ ( p ) , b ^ σ ′ † ( k ) ] ± = δ ( p − k ) δ σ σ ′ , [ a ^ σ ( p ) , b ^ σ ′ ( k ) ] ± = [ a ^ σ ( p ) , a ^ σ ′ ( k ) ] ± = . . . = 0 {\displaystyle \ [{\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} ),{\hat {a}}_{\sigma '}^{\dagger }(\mathbf {k} )]_{\pm }=[{\hat {b}}_{\sigma }(\mathbf {p} ),{\hat {b}}_{\sigma '}^{\dagger }(\mathbf {k} )]_{\pm }=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {k} )\delta _{\sigma \sigma '},\quad [{\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} ),{\hat {b}}_{\sigma '}(\mathbf {k} )]_{\pm }=[{\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} ),{\hat {a}}_{\sigma '}(\mathbf {k} )]_{\pm }=...=0} ,можна отримати вираз
− i D l m c ( x − y ) = − i P l m ( i ∂ ∂ x ) D c ( x − y ) ( 3 ) {\displaystyle \ -iD_{lm}^{c}(x-y)=-iP_{lm}\left(i{\frac {\partial }{\partial x}}\right)D^{c}(x-y)\qquad (3)} ,де
P l m ( p ) = ∑ σ u l σ ( p ) ( u l σ ) † ( p ) {\displaystyle \ P_{lm}\left(p\right)=\sum _{\sigma }u_{l}^{\sigma }(p)(u_{l}^{\sigma })^{\dagger }(p)} ,а
D c ( x − y ) = i θ ( x 0 − y 0 ) D m ( x − y ) + i θ ( y 0 − x 0 ) D m ( y − x ) , D m ( x − y ) = ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 2 p 0 e i p ( x − y ) {\displaystyle \ D^{c}(x-y)=i\theta (x_{0}-y_{0})D_{m}(x-y)+i\theta (y_{0}-x_{0})D_{m}(y-x),\quad D_{m}(x-y)=\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{(2\pi )^{3}2p_{0}}}e^{ip(x-y)}} -пропагатор для клейн-гордонівського поля спіну 0. Як можна показати, він задовольняє рівнянню
( ∂ 2 + m 2 ) D c ( x − y ) = δ ( x − y ) {\displaystyle \ \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)D^{c}(x-y)=\delta (x-y)} ,тому його можна представити як
D c ( x − y ) = i ( 2 π ) 4 ∫ e − i p ( x − y ) d 4 p p 2 − m 2 − i 0 {\displaystyle \ D^{c}(x-y)={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {e^{-ip(x-y)}d^{4}p}{p^{2}-m^{2}-i0}}} .Тому, нарешті, вираз ( 3 ) {\displaystyle \ (3)} переписується як
D l m c ( x − y ) = P l m ( i ∂ ∂ x ) i ( 2 π ) 4 ∫ e − i p ( x − y ) d 4 p p 2 − m 2 − i 0 = i ( 2 π ) 4 ∫ P l m ( p ) e − i p ( x − y ) d 4 p p 2 − m 2 − i 0 {\displaystyle \ D_{lm}^{c}(x-y)=P_{lm}\left(i{\frac {\partial }{\partial x}}\right){\frac {i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {e^{-ip(x-y)}d^{4}p}{p^{2}-m^{2}-i0}}={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {P_{lm}\left(p\right)e^{-ip(x-y)}d^{4}p}{p^{2}-m^{2}-i0}}} .Для найпростіших теорій (скалярної, діраківської, масивного бозону спіну 1 і безмасового бозону спіральності 1) маємо, з відомих виразів для сум по поляризаціям,
D l m s c . ( x − y ) = D c ( x − y ) = i ( 2 π ) 4 ∫ e − i p ( x − y ) d 4 p m 2 − p 2 − i 0 {\displaystyle \ D_{lm}^{sc.}(x-y)=D^{c}(x-y)={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {e^{-ip(x-y)}d^{4}p}{m^{2}-p^{2}-i0}}} , D l m d . ( x − y ) = i ( 2 π ) 4 ( i γ μ ∂ μ + m ) ∫ e − i p ( x − y ) d 4 p m 2 − p 2 − i 0 {\displaystyle \ D_{lm}^{d.}(x-y)={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)\int {\frac {e^{-ip(x-y)}d^{4}p}{m^{2}-p^{2}-i0}}} , D l m p r . ( x − y ) = i ( 2 π ) 4 ( g μ ν + ∂ μ ∂ ν m 2 ) ∫ e − i p ( x − y ) d 4 p m 2 − p 2 − i 0 {\displaystyle \ D_{lm}^{pr.}(x-y)={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}\left(g_{\mu \nu }+{\frac {\partial _{\mu }\partial _{\nu }}{m^{2}}}\right)\int {\frac {e^{-ip(x-y)}d^{4}p}{m^{2}-p^{2}-i0}}} , D l m e l . ( x − y ) = i ( 2 π ) 4 g μ ν ∫ e − i p ( x − y ) d 4 p − p 2 − i 0 {\displaystyle \ D_{lm}^{el.}(x-y)={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}g_{\mu \nu }\int {\frac {e^{-ip(x-y)}d^{4}p}{-p^{2}-i0}}} .
Посилання
ред.
Література
ред.
Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — : Либідь, 2002. — 392 с.
Боголюбов Н. Н. , Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — : Наука, 1984. — 600 с.
Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — : Наука, 1978. — 296+408 с.
Вентцель Г. Введение в квантовую теорию волновых полей. — : ГИТТЛ, 1947. — 292 с.
Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск : РХД, 2009. — 632 с.
Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. — : Мир, 1984. — 448+400 с.
Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск : РХД, 2001. — 784 с.
Райдер Л. Квантовая теория поля. — : Мир, 1987. — 512 с.