Лемніскатна еліптична функція
У математиці лемніскатна еліптична функція — це еліптична функція, що пов'язана з довжиною дуги лемніскати Бернуллі.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/The_lemniscate_sine_and_lemniscate_cosine_functions_of_a_real_variable.png/440px-The_lemniscate_sine_and_lemniscate_cosine_functions_of_a_real_variable.png)
Вперше вона була досліджена Джуліо Карло де Тоскі ді Фаньяно[en] у 1718 році, та пізніше Леонардом Ейлером, Карлом Фрідріхом Гаусом та іншими.
Лемніскатні функції синуса та косинуса, для позначення яких зазвичай використовують символи й (іноді , або та )[1], є аналогами тригонометричних функцій синуса та косинуса. У той час як тригонометричний синус пов'язує довжину дуги з довжиною хорди в колі одиничного діаметра , лемніскатний синус пов'язує довжину дуги з довжиною хорди лемніскати .
Періоди лемніскатних функції пов'язані з числом , яке називають лемніскатною константою, що є відношенням лемніскатного периметра до його діаметра.
Функції та мають квадратну періодичну ґратку[en] (кратну гауссовим цілим числам) з фундаментальними періодами[en] ,[2] і є окремим випадком двох еліптичних функцій Якобі на цій ґратці, , .
Аналогічно, гіперболічні лемніскатичні функції та мають квадратну періодичну ґратку з фундаментальними періодами .
Лемніскатні функції та гіперболічні функції пов'язані з еліптичною функцією Веєрштраса .
Лемніскатні функції синуса та косинуса
ред.Означення
ред.Лемніскатні функції та можна визначити відповідно як розв'язки задач Коші:[3]
або, еквівалентно, визначити як обернені функції для еліптичного інтеграла, тобто як відображення Шварца–Крістофеля[en] з одиничного круга комплексної площини у квадрат з кутами :[4]
Поза цим квадратом функції можуть бути аналітично продовжені на всю комплексну площину за допомогою серій віддзеркалень.
Для порівняння, функції синуса і косинуса на колі можна визначити, відповідно, як розв'язки задач Коші:
або як обернені функції для відображення з верхньої півплощини в напівнескінченну смугу з дійсними частинами між та , і додатною уявною частиною:
Довжина кривої лемніскати Бернулі
ред.Лемніската Бернулі з напівшириною 1 є геометричним місцем точок на площині таких, що добуток відстані від яких до двох фокусних точок та є константа . Це є плоска крива четвертого порядку[en], що задовольняє рівняння в полярних координатах або рівняння в декартових координатах. Точки на лемніскаті на відстані від початку координат є перетинами кола та гіперболи . Точка перетину у першій чверті має наступні декартові координати:
Використовуючи параметризацію з для чверті лемніскати, довжину кривої від початку координат до точки дорівнює:[5]
Аналогічно, довжина кривої від точки до точки дорівнює:
Або у зворотньому порядку, за допомогою лемніскатних функцій синуса та косинуса визначають відстань від початку координат як функції довжини кривої, відповідно від початку координат до точки . Аналогічно, функції синуса та косинуса пов'язують довжину хорди з довжиною кривої в колі одиничного діаметра, яке задається рівнянням в полярних координатах, або рівнянням в декартових координатах, використовуючи вищезгадані аргументи, але з параметризацією:
Лемніскатний інтеграл та лемніскатні функції задовольняють тотожності подвійного аргументу, яку запропонував Фаньяно у 1718 році:[6]
якщо
Пізніше математики узагальнили цей результат. За аналогією з конструктивними багатокутниками[en] на колі лемніскату можна розділити на сегментів однакової довжини дуг, використовуючи тільки циркуль та лінійку тоді й лише тоді, коли має вигляд , де — натуральне число, а всі (якщо є) — різні числа Ферма.[7] «Необхідність» в теоремі була доведена Нільсом Абелем в 1827—1828 роках, а «достатність» була доведена Майклом Розеном[en] в 1981 році.[8] Еквівалентно, лемніскату можна розділити на сегментів рівної довжини дуг, використовуючи тільки циркуль та лінійку, тоді й лише тоді, коли є натуральним числом (де є функцією Ейлера). Лемніската не вважається намальованою, а теорема відноситься лише до побудови точок поділу. Нехай , тоді точками поділу для лемніскати є
де — функція підлоги. Нижче наведені деякі частинні значення для .
Довжина дуги кривої пружного деформування
ред.Обернена функція лемніскати синуса описує довжину дуги відносно координати кривої пружного деформування[en].[9] Ця крива має координату і довжину дуги:
Крива пружного деформування є розв'язком задачі, яку запропонував Якоб Бернуллі в 1691 для опису форм ідеалізованого гнучкого стержня, зафіксованого у вертикальному положенні у нижньому кінці і який відтягується від верхнього кінця до горизонтально положення. Запропонований Бернуллі розв'язок став основою теорії балки Ейлера--Бернуллі, яка була розроблена Ейлером в 18 столітті.
Лемніскатна константа
ред.Лемніскатні функції мають мінімальний період і фундаментальні комплексні періоди та для константи (у позначеннях Гауса), яку називають лемніскатною константою,[11][12]
де — повний еліптичний інтеграл першого роду з модулем , —— бета-функція, — гамма-функція, — похідна бета-функції Діріхле, — дзета-функція Рімана. Однак іноді величину називають лемніскатною константою, і одна з «лемніскатних констант» Джона Тодда — це величина .[13][14][15][16][17] Тут використовується лише позначення Гауса для опису лемніскатної константи. Геометрично, є відношенням периметра лемніскати Бернуллі до її діаметра. Трансцендентність лемніскатної константи була доведена Теодором Шнайдером[en] в 1937 році.[18] У 1975 році Григорій Чудновський довів, що і є алгебраїчно незалежними над полем .[19][20] Пов'язана константа є константою Гаусса.
Лемніскатні функції задовольняють основне співвідношення
Крім того, константа пов'язана з площею під кривою . Нехай , тоді подвійна площа в першій чверті під кривою дорівнює У випадку рівняння четвертого порядку: .
У 1738 році Ейлер відкрив, що для кривої пружного деформування:[21]
Формула Вієта для числа може бути записана як
Аналогічна формула для :[22]
Формула Валіса для :
Аналогічна формула для :[23]
Пов'язаною з цим результатом є формула:
Нескінченний ряд для отриманий Гауссом має вигляд:[24]
Формула Мачіна[en] для має вигляд , і декілька аналогічних формул для можна отримати з використанням тригонометричних формул для суми кутів, наприклад, формула Ейлера Аналогічні формули можна записати і для , включаючи ті, що знайшов Гаусс:[15] Лемніскатну константу можна швидко обчислити за допомогою ряду:[25]
де (для , це п'ятикутне число), або з використанням середнього арифметико-геометричного :
У дусі аналогічному до базельської задачі можна записати наступну формулу:
де — гауссові числа, — ряд Ейзенштейна з вагою 4.[26]
Нулі, полюси і симетрії
ред.При зсуві на лемніскатні функції і переходять одна в одну, а при зсуві на функції є додатково повернутими та взаємооберненими:[27]
Подвоєння цих зсувів одиничними елементами гауссових цілих чисел кратних (тобто або ) приводить до зміни знаку функцій (інволюції):
Як наслідок, обидві функції інваріантні відносно зсуву на парне гаусове ціле число кратне .[28] Тобто, перестановка для цілих чисел , , :
Це робить їх еліптичними функціями (двічі періодичні мероморфні функції в комплексній площині) з діагонально-квадратною періодичною ґраткою[en] фундаментальних періодів та .[29]
Еліптичні функції з періодичною квадратною ґраткою більш симетричні, ніж довільні еліптичні функції, що слідують симетрії ґратки.
Віддзеркалення і повороти на чверть обороту аргументів лемніскатної функції мають прості вирази:
Функція має прості нулі в гаусових цілих числах кратних , комплексних числах вигляду для цілих чисел і . Вона має прості полюси у гаусових напівцілих числах кратних , комплексних числах вигляду з лишком . Функція віддзеркалюється і зміщується від функції , . Вона має нулі при аргументах і полюси при аргументах з лишками .
Оскільки лемніскатний синус є мероморфною функцією, то його можна записати як відношення голоморфних функцій. Гаусс показав, що функція має наступний розклад через добутки, який відображає розподіл його нулів і полюсів:[30]
де
Тут, і — відповідно нулі та полюси функції , які знаходяться у першій чверті , . Гаусс висунув гіпотезу, що (пізніше це було доведено), і зауважив, що це «чудова властивість і її доведення обіцяє серйозний прогрес в аналізі».[31][32]
Існують також нескінченні ряди, що відображають розподіл нулів і полюсів функції :[33][33][34]
Тотожність піфагорійського типу
ред.Лемніскатні функції задовольняють тотожність піфагорійського типу:
Як результат, — параметричне рівняння для кривої четвертого порядку[en] .
Цю тотожність можна також представити як[35]
Позначивши оператор тангенса суми як , отримуємо
Похідні та інтеграли
ред.Похідні:
Другі похідні лемніскатних функцій синуса і косинуса є їх від'ємними подвійними кубами:
Інтеграли від лемніскатні функції виражаються через функцію арктангенс:
Сума аргументів і деякі тотожності
ред.Як і тригонометричні функції, леменіскатні функції задовольняють тотожності для суми і різниці аргументів. Оригінальна тотожність, яку використовував Фаньяно для поділу навпіл лемніскати, має наступний вигляд:[36]
З використанням похідних і тотожності піфагорійсього типу можна записати тотожність Фаньяно в термінах функцій і . Визначаючи оператор тангенса суми і оператор тангенса різниці , формули для суми і різниці аргументів можуть бути представлені як[37]
Вони нагадують відповідні тригонометричні аналоги:
Формули половинного аргументу:
Формули подвійного аргументу:[38]
Формули потрійного аргументу:[38]
Лемнатомні многочлени
ред.Нехай — ґратка вигляду:
Крім того, нехай , , , , (де ), та — непарні, і . Тоді
для деяких взаємно простих многочленів та деяких ,[39] де
та
де — будь-який генератор -скруту (тобто , і породжує як -модуль). Прикладами генераторів -скруту є та . Многочлен називається -лемнатомним многочленом. Це мономорфізм, має степінь , і є незвідним над полем . Лемнатомний многочлен є «лемніскатним аналогом» многочлену поділу кола,[40]
-лемнатомний многочлен є мінімальним многочленом для в . Наприклад, мінімальним многочленом для (а також для в є
та[41]
(еквівалентний вираз наведено в таблиці нижче). Іншим прикладом є[40]
що є мінімальним многочленом для (а також для в .
Частинні значення
ред.Так само, як і для тригонометричних функцій, значення лемніскатних функцій можна обчислити для поділів лемніскати на частин однакової довжини, використовуючи лише елементарну арифметику і квадратні корені, тоді й лише тоді, коли має вигляд , де — невід'ємне ціле число, і кожне (якщо є) — це різні прості числа Ферма.[42] Співвідношення стають громіздким по мірі зростання . Нижче наведено вирази для ділення лемніскати на частин рівної довжини для деяких .
Степеневий ряд
ред.Розклад в степеневий ряд функції лемніскати синуса у початку координат має вигляд:[43]
де коефіцієнти визначаються як
де позначає всі тричленні композиції для числа . Наприклад, для обчислення можна побачити, що існує лише шість композицій для , які дають ненульовий внесок у суму: та , тому
Зв'язок з еліптичними функціями Веєрштрасса і Якобі
ред.Лемніскатні функції тісно пов'язані з еліптичними функціями Веєрштрасса («лемніскатний випадок») з інваріантами та . Ця ґратка має фундаментальні періоди та . Відповідні константи функції Вейєрштрасса мають вигляд: , , .
Пов'язаний випадок еліптичної функції Веєрштрасса з інваріантами та можна отримати за допомогою масштабного перетворення. Однак, цей випадок може включати комплексні числа. Якщо потрібно залишатися в межах дійсних чисел, то розглядають два випадки: та . Періодичний паралелограм є квадратом або ромбом. Еліптичну функцію Вейєрштрасса називають «псевдолемніскатним випадком».[44]
Квадрат лемніскати синуса можна представити як
де другий і третій аргументи еліптичної функції Веєрштрасса — інваріанти ґратки і . Іншим представленням є
де другий аргумент еліптичної функції Веєрштрасса — відношення періодів .[45] Функція лемніскати синуса є раціональною функцією еліптичної функції Веєрштрасса та її похідної[46]
де другий і третій аргументи еліптичної функції Веєрштрасса інваріанти ґратки і . У термінах відношення періодів отримуємо
Лемніскатні функції також можуть бути записані в термінах еліптичних функцій Якобі. Еліптичні функції Якобі та з додатним дійсним еліптичним модулем мають «вертикальну» прямокутну ґратку, що зорієнтована з дійсною та уявною осями. Крім того, функції та з модулем (функції та з модулем ) мають квадратну періодичну ґратку, повернуту на 1/8 оберту:[47]
де другі аргументи — еліптичний модуль .
Ще одне представлення лемніскатної функції у термінах еліптичної функції Якобі має вигляд
де другий аргумент еліптичної функції Якобі — еліптичний модуль .
Зв'язок з модулярною лямбда-функцією
ред.Лемніскатну функцію синуса можна використовувати для обчислення значень модулярної лямбда-функції:
Наприклад,
Методи обчислення
ред.полягає в наступному:[48]
- for each do
- if then
- for each n from N to 0 do
- return
Цей алгоритм ефективно використовує арифметично-геометричне середнє значення і
базується на перетвореннях Ландена[en].[49]Декілька методів обчислення функції передбачають спочатку заміну змінних , а потім обчислення .
Метод гіперболічних рядів:[50][51][52][53]
Метод рядів Фур'є:[54]
Лемніскатні функції можуть бути обчислені більш швидше за допомогою формул
де
Два інші методи швидкого обчислення використовують наступні формули сум і добутків рядів:
де .
Ряд Фур'є для логарифма лемнікатного синуса має вигляд:
Рамануджан відкрив наступні співвідношення для рядів:[56]
Обернені функції
ред.Оберненою функцією для лемніскатного синуса є лемніскатний арксинус визначений як:
Її також можна представити за допомогою гіпергеометричної функції:
Оберненою функцією для лемніскатного косинуса є лемніскатний арккосинус. Ця функція визначається наступним чином:
Для з інтервалу отримуємо та .
Для половини довжини лемніскатної дуги справедливі формули:
Співвідношення з використанням еліптичних інтегралів
ред.Лемініскатний арксинус і лемніскатний арккосинус також можна представити за допомогою форми Лежандра.
Ці функції можна представити безпосередньо, використовуючи неповний еліптичний інтеграл першого роду:
Довжини дуг лемніскати також можна виразити лише за допомогою довжин дуг еліпсів (обчислених за допомогою еліптичних інтегралів другого роду):
Лемніскатний арккосинус має наступне співвідношення:
Використання при інтегруванні
ред.Лемніскатну функцію можна використовувати для інтегрування багатьох функцій. Ось список важливих інтегралів (константи інтегрування опущені):
Гіперболічні лемніскатні функції
ред.Гіперболічну лемніскату синуса і косинуса можна визначити за допомогою їх обернених функцій наступним чином:
Повний інтеграл набуває значення:
Тому дві визначені функції допускають наступне співвідношення:
Добуток гіперболічного лемніскатного синуса і гіперболічного лемніскатного косинуса дорівнює одиниці:
Гіперболічні лемніскатні функції можуть бути представлені через лемніскатний синус і лемніскатний косинус:
Але також існує зв'язок із еліптичними функціямі Якобі з еліптичним модулем :
Гіперболічний лемніскатний синус допускає наступне уявне співвідношення із лемніскатним синусом:
Аналогічний зв'язок існує і між гіперболічним і тригонометричним синусом:
Крива Ферма (іноді називається квадратним колом[en]) для гіперболічних лемніскатних синуса і косинуса є аналогом функцій тангенса й котангенса на одиничному колі (квадратична крива Ферма). Якщо початок координат і точка на кривій пов'язані між собою прямою , то гіперболічний лемніскатний синус від подвоєнної площі обмеженої цією прямою і віссю є -координатою перетину прямої із прямою .[57]
Гіперболічний лемніскатний синус задовольняє тотожність додавання аргументів:
Похідна може бути виражена наступним чином:
Теорія чисел
ред.В алгебричній теорії чисел, будь-яке скінченне абелеве розширення гаусових раціональних чисел[en] є підполем поля для деякого натурального числа .[58][59] Це аналог теореми Кронекера-Вебера для раціональних чисел , яка базується на поділі кола — зокрема, будь-яке скінченне абелеве розширення поля є підполем поля для деякого натурального числа . Обидва випадки є частинними випадками проблеми Jugendtraum Кронекера, яка відома як дванадцята проблема Гільберта[en].
Поле (для додатних непарних ) є розширенням поля породженого за допомогою - та -координат точок -скруту на еліптичній кривій .[60]
Проєкція карти світу
ред.Квінкунціальна проєкція Пірса[en], розроблена Чарльзом Сандерсом Пірсом із Національної геодезичної служби США[en] в 1870-х роках, є проєкцією карти світу, що базується на оберненій лемніскаті синуса стереграфічно спроєктованих точок (що розглядаються як комплексні числа).[61]
Якщо прямі постійної дійсної або уявної частини проєктувати на комплексну площину за допомогою гіперболічного лемніскатного синусу, а звідки їх стереографічно проєктувати на сферу (див. Сферу Рімана), то отримані криві є сферичними коніками[en], сферичний аналог еліпсів і гіпербол на площині.[62] Таким чином, лемніскати функцій (і, у загальному випадку, еліптичні функції Якобі) забезпечують параметризацію для сферичних конік.
Конформну картографічну проєкцію земної кулі на 6 квадратних граней куба також можна визначити за допомогою лемніскатних функцій.[63] Оскільки багато диференціальних рівнянь з частинними похідними можна ефективно розв'язати за допомогою конформного відображення, то перетворення сфери в куб зручне для моделювання атмосфери[en].[64]
Див. також
ред.Примітки
ред.- ↑ Гаус використовував символи і для лемніскат і . Вітекер і Ватсон (1920) використовували і . У деяких джерелах використовуються початкові букви і . Прасолов і Соловйов (1997) використовували букву для лемніскати і для її похідної.
- ↑ Фундаментальні періоди і є «мінімальними» в сенсі, що це найменше абсолютне значення серед періодів, дійсні частини яких є невід'ємними.
- ↑ Робінсон (2019a) стартував з цього означення і далі отримував інші властивості лемніскатних функцій.
- ↑ Це відображення було першою ілюстрацією для відображення Шварца—Крістофелля, див. Шварц (1869).
- ↑ Ейлер (1761), Сігел, (1969), Прасолов і Соловйов (1997) для лемніскати використовували представлення у полярних координатах, щоб визначити диференціал довжини дуги кривої, але результат буде той же.
- ↑ Siegel (1969), Schappacher (1997).
- ↑ Числа A003401 в OEIS.
- ↑ Abel (1827—1828), Rosen (1981), Prasolov & Solovyev (1997).
- ↑ Euler (1786), Sridharan (2004), Levien (2008).
- ↑ Темні області представляють нулі, а яскраві області — полюси. Оскільки аргумент функції змінюється від (виключаючи ) до , то кольори проходять через блакитний, синій , , фіолетовий, червоний , помаранчевий, жовтий , зелений і назад до блакитного .
- ↑ Schappacher (1997). Послідовність OEIS A062539 містить десяткові цифри лемніскатної константи.
- ↑ Як правило константа визначається першою рівністю нижче.
- ↑ Архівована копія. Архів оригіналу за 30 січня 2022. Процитовано 23 травня 2022.
{{cite web}}
: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title (посилання) - ↑ «Lemniscate Constant».
- ↑ а б Todd (1975).
- ↑ «A085565 — Oeis».
- ↑ Carlson, B. C. (2010), «Elliptic Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
- ↑ Schneider (1937).
- ↑ G.V.Choodnovsky: Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis, Notices of the AMS 22, 1975, p.A-486.
- ↑ G.V.Chudnovsky: Contributions to The Theory of Transcendental Numbers, American Mathematical Society, 1984, p.6.
- ↑ Левін (2008). Тод (1975) називав ці два множники і лемніскатними константами і обговорив методи їх обчислення.
- ↑ Левін (2006).
- ↑ Хайд у 2014 довів справедливість більш загальної формули типу Валіса для кривих конюшини; тут спеціальний випадок лемніскати трохи модифіковано для наочності.
- ↑ Bottazzini Gray (2013), p.60.
- ↑ Cox, David (January 1984). «The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss». L'Enseignement Matematique. 30(2): 275—330. See p.307, eq.2.21 для першої рівності.
- ↑ Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (французькою). HERMANN. ISBN 2705614435. p.224.
- ↑ Комбінація першої і четвертої тотожності дає . Ця тотожність (неправильно) дана в Eymard's and Lafon's Autour du nombre Pi (p.218) без мінуса у правій частині.
- ↑ Цілі числа Гаусса — це клас лишків 0 за модулем , чорні квадрати на шаховій дошці.
- ↑ Prasolov Solovyev (1997), Robinson (2019a).
- ↑ Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (in French). HERMANN. ISBN 2705614435. p.218.
- ↑ Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013). Hidden Harmony—Geometric Fantasies. Springer. ISBN 978-1-4614-5724-4. p.58
- ↑ Гаусс записав добутки для і у вигляді нескінченних рядів. Він також запропонував декілька тотожностей, що включають функції та , наприклад, .
- ↑ а б Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), «Jacobian Elliptic Functions», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- ↑ Аналогічно, .
- ↑ Lindqvist Peetre (2001) узагальнює першу з цих форм.
- ↑ Ayoub (1984), Prasolov Solovyev (1997).
- ↑ Euler (1761), § 44 p. 79, § 47 pp. 80–81
- ↑ а б Euler (1761) § 46 p. 80
- ↑ Фактично, .
- ↑ а б Cox and Hyde (2014).
- ↑ Gómez-Molleda, M. A.; Lario, Joan-C. (25 квітня 2019). Ruler and Compass Constructions of the Equilateral Triangle and Pentagon in the Lemniscate Curve. The Mathematical Intelligencer. 41 (4): 17—21. doi:10.1007/s00283-019-09892-w. S2CID 149727564. Архів оригіналу за 23 березня 2022. Процитовано 26 травня 2022.
- ↑ Rosen (1981).
- ↑ «A104203». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ Robinson (2019a).
- ↑ — еліптична функція Веєрштрасса з періодами 1 і .
- ↑ Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (in French). HERMANN. ISBN2705614435. p.226.
- ↑ Тотожність можна знайти в Greenhill (1892).
- ↑ Reinhardt Walker (2010), 22.20.
- ↑ Carlson (2010), §19.8
- ↑ Dieckmann, Andreas. "Collection of Infinite Products and Series".
- ↑ Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), "Jacobian Elliptic Functions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
- ↑ Vigren Dieckmann (2020), p.7.
- ↑ У загальному випадку та не еквівалентні, але отримана нескінченна сума однакова.
- ↑ Reinhardt Walker (2010), 22.11.
- ↑ Reinhardt Walker (2010), 22.2.E7
- ↑ Berndt, Bruce C. (1994). Ramanujan's Notebooks Part IV (First ed.). Springer Science+Business Media New York. ISBN 978-1-4612-6932-8. p.247,248,253.
- ↑ Levin (2006), Robinson (2019b)
- ↑ Cox and Hyde (2014)
- ↑ Cox, David A. (2012). Galois Theory (Second ed.). Wiley. ISBN 978-1-118-07205-9. p. 508,509
- ↑ Cox, David A. (2012). Galois Theory (Second ed.). Wiley. ISBN 978-1-118-07205-9. p.508-509.
- ↑ Гут (1887) і Адамс (1925) ввели відповідно поперечні і скісні аспекти тієї ж проєкції, відповідно. Також дивись Лі (1976). Ці автори записали свої проєкційні формули в термінах еліптичних функцій Якобі з квадратною ґраткою.
- ↑ Adams (1925)
- ↑ Adams (1925), Lee (1976).
- ↑ Rančić, Purser, Mesinger (1996); McGregor (2005).
Зовнішні лінки
ред.- Parker, Matt (2021). What is the area of a Squircle?. Stand-up Maths. YouTube. Архів оригіналу за 19 грудня 2021.
Література
ред.- Abel, Niels Henrik (1827–1828). [113} Recherches sur les fonctions elliptiques] [Research on elliptical functions]. Crelle's Journal (фр.). 1827 (2): 101—181. doi:10.1515/crll.1827.2.101. S2CID 126159170. [166} Recherches sur les fonctions elliptiques]. Crelle's Journal. 1828 (3): 160—190. doi:10.1515/crll.1828.3.160. S2CID 123647093.
- Adams, Oscar Sherman (1925). Elliptic functions applied to conformal world maps (PDF). № 297. US Government Printing Office.
- Ayoub, Raymond (1984). The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals. Archive for History of Exact Sciences. 29 (2): 131—149. JSTOR 41133708.
- Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013). Hidden Harmony – Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory. Springer. doi:10.1007/978-1-4614-5725-1. ISBN 978-1-4614-5724-4.
- Carlson, Billie C. (2010), "Elliptic Integrals", in Olver, Frank W. J.; et al. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- Cox, David Archibald (2012). The Lemniscate. Galois Theory. Wiley. с. 463–514. doi:10.1002/9781118218457.ch15. ISBN 978-1-118-21845-7.
- Cox, David Archibald; Hyde, Trevor (2014). The Galois theory of the lemniscate (PDF). Journal of Number Theory. 135: 43—59. arXiv:1208.2653. doi:10.1016/j.jnt.2013.08.006. S2CID 119176369.
- Enneper, Alfred (1890 ed. 1876). Note III: Historische Notizen über geometrische Anwendungen elliptischer Integrale. [Historical notes on geometric applications of elliptic integrals]. Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte (нім.). Nebert. с. 524—547.
- Euler, Leonhard (1761). Observationes de comparatione arcuum curvarum irrectificibilium [Observations on the comparison of arcs of irrectifiable curves]. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (лат.). 6: 58—84. E252. (Figures)
- Euler, Leonhard (1786). De miris proprietatibus curvae elasticae sub aequatione contentae [On the amazing properties of elastic curves contained in equation ]. Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (лат.). 1782 (2): 34—61. E 605.
- Fagnano, Giulio Carlo (1718–1723). Metodo per misurare la lemniscata [Method for measuring the lemniscate]. Giornale de' letterati d'Italia (італ.). 29: 258—269. Giunte al primo schediasma sopra la Lemniscata. Giornale de' letterati d'Italia. 34: 197—207. 1710. Metodo per misurare la lemniscata, schediasma II. Giornale de' letterati d'Italia. 30: 87—111. 1710. Reprinted in Fagnano (1911 1850). Opere Matematiche, vol. 2. Allerighi e Segati. papers 32, 33, and 34, pp. 293–313. (Figures)
- Greenhill, Alfred George (1892). The Applications of Elliptic Functions. MacMillan.
- Guyou, Émile (1887). Nouveau système de projection de la sphère: Généralisation de la projection de Mercator [New system of projection of the sphere]. Annales Hydrographiques. Série 2 (фр.). 9: 16—35.
- Houzel, Christian (1978). Fonctions elliptiques et intégrales abéliennes [Elliptic functions and Abelian integrals]. У Dieudonné, Jean (ред.). Abrégé d'histoire des mathématiques, 1700–1900. II (фр.). Hermann. с. 1—113.
- Hyde, Trevor (2014). A Wallis product on clovers (PDF). The American Mathematical Monthly. 121 (3): 237—243. doi:10.4169/amer.math.monthly.121.03.237. S2CID 34819500.
- Kubota, Tomio (1964). Some arithmetical applications of an elliptic function. Crelle's Journal. 1964 (214/215): 141—145. doi:10.1515/crll.1964.214-215.141. S2CID 115823187.
- Langer, Joel C.; Singer, David A. (2010). Reflections on the Lemniscate of Bernoulli: The Forty-Eight Faces of a Mathematical Gem (PDF). Milan Journal of Mathematics. 78 (2): 643—682. doi:10.1007/s00032-010-0124-5. S2CID 1448521.
- Langer, Joel C.; Singer, David A. (2011). The lemniscatic chessboard. Forum Geometricorum. 11: 183—199.
- Lawden, Derek Frank (1989). Elliptic Functions and Applications. Applied Mathematical Sciences. Т. 80. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3980-0. ISBN 978-1-4419-3090-3.
- Lee, Laurence Patrick (1976). Conformal Projections Based on Elliptic Functions. Cartographica Monograph. Т. 16. University of Toronto Press. ISBN 9780919870161.
- Levien, Raph (2008). The elastica: a mathematical history (PDF) (Технічний звіт). № UCB/EECS-2008-103 University of California at Berkeley.
- Levin, Aaron (2006). A Geometric Interpretation of an Infinite Product for the Lemniscate Constant. The American Mathematical Monthly. 113 (6): 510—520. doi:10.2307/27641976. JSTOR 27641976.
- Lindqvist, Peter; Peetre, Jaak (2001). Two Remarkable Identities, Called Twos, for Inverses to Some Abelian Integrals (PDF). The American Mathematical Monthly. 108 (5): 403—410. doi:10.1080/00029890.2001.11919766. JSTOR 2695794. S2CID 43677974.
- Markushevich, Aleksei Ivanovich (1966). The Remarkable Sine Functions. Elsevier.
- Markushevich, Aleksei Ivanovich (1992). Introduction to the Classical Theory of Abelian Functions. Translations of Mathematical Monographs. Т. 96. American Mathematical Society. doi:10.1090/mmono/096. ISBN 9780821841648.
- McGregor, John L. (2005). C-CAM: Geometric Aspects and Dynamical Formulation CSIRO Oceans and Atmosphere (Технічний звіт). № 70.
- McKean, Henry; Moll, Victor (1999). Elliptic Curves: Function Theory, Geometry, Arithmetic. Cambridge. ISBN 9780521582285.
- Milne-Thomson, Louis Melville (1964). 16. Jacobian Elliptic Functions and Theta Functions. У Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann (ред.). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards. с. 567—585.
- Neuman, Edward (2007). On Gauss lemniscate functions and lemniscatic mean (PDF). Mathematica Pannonica. 18 (1): 77—94.
- Nishimura, Ryo (2015). New properties of the lemniscate function and its transformation. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 427 (1): 460—468. doi:10.1016/j.jmaa.2015.02.066.
- Ogawa, Takuma (2005). Similarities between the trigonometric function and the lemniscate function from arithmetic view point. Tsukuba Journal of Mathematics. 29 (1). doi:10.21099/tkbjm/1496164894.
- Peirce, Charles Sanders (1879). A Quincuncial Projection of the Sphere. American Journal of Mathematics. 2 (4): 394—397. doi:10.2307/2369491. JSTOR 2369491.
- Popescu-Pampu, Patrick (2016). What is the Genus?. Lecture Notes in Mathematics. Т. 2162. Springer. doi:10.1007/978-3-319-42312-8. ISBN 978-3-319-42311-1.
- Prasolov, Viktor; Solovyev, Yuri (1997). 4. Abel's Theorem on Division of Lemniscate. Elliptic functions and elliptic integrals. Translations of Mathematical Monographs. Т. 170. American Mathematical Society. doi:10.1090/mmono/170. ISBN 9780821805879.
- Rančić, Miodrag; Purser, R. James; Mesinger, Fedor (1996). A global shallow-water model using an expanded spherical cube: Gnomonic versus conformal coordinates. Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 122 (532): 959—982. Bibcode:1996QJRMS.122..959R. doi:10.1002/qj.49712253209.
- William P.; Walker, Peter L. (2010), "22. Jacobian Elliptic Functions", in Olver, Frank W. J.; et al. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- William P.; Walker, Peter L. (2010), "23. Weierstrass Elliptic and Modular Functions", in Olver, Frank W. J.; et al. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- Robinson, Paul L. (2019a). The Lemniscatic Functions. arXiv:1902.08614.
- Robinson, Paul L. (2019b). The Elliptic Functions in a First-Order System. arXiv:1903.07147.
- Rosen, Michael (1981). Abel's Theorem on the Lemniscate. The American Mathematical Monthly. 88 (6): 387—395. doi:10.2307/2321821. JSTOR 2321821.
- Schappacher, Norbert (1997). Some milestones of lemniscatomy (PDF). У Sertöz, S. (ред.). Algebraic Geometry (Proceedings of Bilkent Summer School, August 7–19, 1995, Ankara, Turkey). Marcel Dekker. с. 257—290.
- Schneider, Theodor (1937). Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale [Arithmetic investigations of elliptic integrals]. Mathematische Annalen (нім.). 113 (1): 1—13. doi:10.1007/BF01571618. S2CID 121073687.
- Schwarz, Hermann Amandus (1869). Ueber einige Abbildungsaufgaben [About some mapping problems]. Crelle's Journal (нім.). 1869 (70): 105—120. doi:10.1515/crll.1869.70.105. S2CID 121291546.
- Siegel, Carl Ludwig (1969). 1. Elliptic Functions. Topics in Complex Function Theory, Vol. I. Wiley-Interscience. с. 1—89. ISBN 0-471-60844-0. MR 0257326.
- Snape, Jamie (2004). Bernoulli's Lemniscate. Applications of Elliptic Functions in Classical and Algebraic Geometry (Дипломна робота). University of Durham. с. 50—56.
- Southard, Thomas H. (1964). 18. Weierstrass Elliptic and Related Functions. У Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann (ред.). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards. с. 627—683.
- Sridharan, Ramaiyengar (2004). Physics to mathematics: from lintearia to lemniscate – I (PDF). Resonance. 9 (4): 21—29. doi:10.1007/BF02834853. S2CID 122132138. From lintearia to lemniscate II: Gauss and Landen's Work (PDF). Resonance. 9 (6): 11—20. 2004. doi:10.1007/BF02839214. S2CID 121521515.
- Todd, John (1975). The lemniscate constants. Communications of the ACM. 18 (1): 14—19. doi:10.1145/360569.360580. S2CID 85873.
- Vigren, Erik; Dieckmann, Andreas (21 червня 2020). Simple Solutions of Lattice Sums for Electric Fields Due to Infinitely Many Parallel Line Charges. Symmetry. 12 (6): 1040. Bibcode:2020Symm...12.1040V. doi:10.3390/sym12061040.
- Whittaker, Edmund Taylor; Watson, George Neville (1920 ed. 1902). 22.8 The lemniscate functions. A Course of Modern Analysis (вид. 3rd). Cambridge. с. 524—528.