Принцип симетрії Шварца

Принцип симетрії Шварца (принцип симетрії, принцип Рімана — Шварца) — метод аналітичного продовження функцій комплексної змінної.

Формулювання

Нехай функція $f(z)$, є аналітичною (голоморфною) на деякій області $G\subset \{z\in \mathbb {C} \mid \Im \,(z)>0\}$ Далі, нехай множина $\partial G\cap \mathbb {R}$ є непустою і містить відкритий відрізок $F$ на дійсній прямій, функція $f(z)$ є неперервною на $G\cup F$ і на множині $F$ приймає виключно дійсні значення.

Тоді можна здійснити аналітичне продовження функції $f$ з множини $G$ на більшу множину $G\cup F\cup {\overline {G}}$, де ${\overline {G}}=\{z:{\overline {z}}\in G\}$, за допомогою функції:

$F(z)=f(z)$ при $z\in G$

$F(z)={\overline {f({\overline {z}})}}$ при $z\in {\overline {G}}$

Доведення

Лема

Нехай $D_{1}$ і $D_{2}$ — області (відкриті зв'язані множини) на комплексній площині і $D_{1}$ є підмножиною верхньої відкритої півплощини, а $D_{2}$ — підмножиною нижньої. Нехай відкритий відрізок $(a,b)$ дійсної прямої є частиною границі і $D_{1}$ і $D_{2}$. Якщо функції $f_{1}$ і $f_{2}$ є голоморфними у відповідно $D_{1}$ і $D_{2}$ і неперервними на множинах $D_{1}\cup (a,b)$ та $D_{2}\cup (a,b)$ то на області $D_{1}\cup (a,b)\cup D_{2}$ функція визначена як

$f(z)={\begin{cases}f_{1}(z),&\forall z\in D_{1}\cup (a,b)\\f_{2}(z),&\forall z\in D_{2}\end{cases}}$

є голоморфною.

Доведення леми

З умов леми випливає, що функція $f$ є неперервною в $D$. Згідно теореми Морери вона буде голоморфною у $D$ якщо інтеграл від неї по границі будь-якого трикутника $\Delta$ є рівним нулю.

Якщо трикутник $\Delta$ із своєю границею належить $D_{1}$ або $D_{2}$, згідно інтегральної теореми Коші інтеграл від $f$ по границі є рівним нулю адже за означенням $f$ є голоморфною у $D_{1}$ і $D_{2}$.

Нехай відрізок $(a,b)$ ділить трикутник на дві частини $\Delta _{1}$ і $\Delta _{2}$ (в залежності від типу поділу одна частина може бути чотирикутником, а інша — трикутником або обидві трикутниками) і позначимо $\gamma =(a,b)\cup \Delta .$ Тоді ${\textstyle \int _{\partial \Delta }f(z)dz=\int _{\partial \Delta _{1}}f(z)dz+\int _{\partial \Delta _{2}}f(z)dz}$ і достатньо довести рівність нулю інтегралів у правій частині рівності.

Розглянемо ту із частин $\Delta _{1}$ і $\Delta _{2}$ яка належить нижній замкнутій півплощині і позначимо її $B$, для іншої частини доведення буде аналогічним. Нехай додатне число $h$ є достатньо малим щоб пряма $\Im (z)=-h$ паралельна дійсній осі (і тому також відрізку $\gamma ,$ що є однією із сторін $B$) перетинала дві і лише дві із сторін $B$. Позначимо через $T_{h}$ трапецію, яка відсікається від $B$ цією прямою і $B_{h}=B\setminus T_{h}.$ Тоді

$\int _{\partial B}f(z)dz=\int _{\partial T_{h}}f(z)dz+\int _{\partial B_{h}}f(z)dz=\int _{\partial T_{h}}f(z)dz$

де остання рівність є наслідком інтегральної теореми Коші адже $B_{h}$ із границею належить області $D_{2}$ на якій функція $f$ є голоморфною.

Якщо позначити $\gamma '$ перетин $B$ із прямою $\Im (z)=-h$ то $\gamma$ і $\gamma '$ є основами трапеції $T_{h}$. Можна припустити, що $\gamma$ є меншою із цих сторін (інший випадок розглядається аналогічно). Коли $h$ прямує до нуля то і довжини бічних сторін і різниця довжин $\gamma '$ і $\gamma$ прямують до нуля як і внесок відповідних частин границі трапеції у інтеграл ${\textstyle \int _{\partial T_{h}}f(z)dz}$ адже функція $f$ є неперервною і тому обмеженою на ${\textstyle \partial T_{h}.}$

Більш конкретно можна записати

$\int _{\partial T_{h}}f(z)dz=\int _{\gamma }f(z)dz+\int _{\gamma '}f(z)dz+O(h)=\int _{\gamma }f(z)-f(z-hi)dz+O(h).$

Оскільки функція $f$ є рівномірно неперервною на $\Delta$, то підінтегральна функція у крайній правій частині попередньої рівності рівномірно прямує до нуля коли $h$ прямує до нуля, а тому і інтеграл ${\textstyle \int _{\partial T_{h}}f(z)dz}$ прямує до. Але цей інтеграл є рівним інтегралу ${\textstyle \int _{\partial B}f(z)dz}$ значення якого не залежить від $h$ отже обидва ці інтеграли є рівними нулю.

Якщо $\Delta$ перетинається з $(a,b)$ лише однією стороною то замість двох частин $\Delta _{1}$ і $\Delta _{2}$ буде лише одна, для якої доведення аналогічне. Якщо перетин є лише по одній вершині то є теж лише одна частина і замість трапеції $T_{h}$ у доведенні вище є трикутник периметр якого прямує до нуля коли $h$ прямує до нуля і тому відповідний інтеграл теж є рівним нулю. Отже і в цих випадках твердження леми є справедливим.

Доведення принципу симетрії

Оскільки функція $f(z)$ є голоморфною на $G$, то ${\overline {f({\overline {z}})}}$ є голоморфною на ${\overline {G}}$. Дійсно, якщо $f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i,$ де $u,v\$ — дійсні функції дійсних змінних, то ${\overline {f({\overline {z}})}}=u(x,-y)-v(x,-y)i.$ Дійсна і уявна частини ${\overline {f({\overline {z}})}}$ очевидно диференційовні по $x,y$, якщо це справедливо для $f(z)$. Також оскільки відповідні похідні функції $f(z)$ задовольняють умови Коші — Рімана і тому ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial (-v)}{\partial (-y)}}$ і ${\frac {\partial u}{\partial (-y)}}=-{\frac {\partial (-v)}{\partial x}}$ тож функція ${\overline {f({\overline {z}})}}$ теж задовольняє умови Коші — Рімана і тому є голоморфною.

Оскільки $G$ є підмножиною верхньої комплексної півплощини, то ${\overline {G}}$ є підмножиною нижньої комплексної півплощини.

Також якщо змінна $z$ прямує до $x\in F$ у ${\overline {G}}$ то і ${\overline {z}}$ прямує до $x$ у $G$ і тоді ${\overline {f({\overline {z}})}}$ прямує до $f(x).$ Тому функція

$f_{2}(z)={\begin{cases}{\overline {f({\overline {z}})}},&\forall z\in {\overline {G}}\\f(x),&\forall x\in F\end{cases}}$

є голоморфною на ${\overline {G}}$ і неперервною на ${\overline {G}}\cup F$ і функції $f$ і $f_{2}$ є рівними на $F$ і приймають там дійсні значення.

Тому функції $f_{1}=f$ і $f_{2}$ задовольняють умови леми із $D_{1}=G,\ D_{2}={\overline {G}}$ і $(a,b)=F,$ і відповідне продовження на $G\cup F\cup {\overline {G}}$ є голоморфним.

Узагальнення

Припустимо, що задані області розширеної комплексної площини (сфери Рімана) $G_{1},G_{2}\subset \mathbb {\overline {C}}$, далі, $\gamma _{1}\subset G_{1},\gamma _{2}\subset G_{2}$ — дуги кіл на сфері Рімана (колам на сфері Рімана відповідають кола та прямі лінії звичайної комплексної площини). Позначимо через $G_{1}^{*}$ область, яка симетрична $G_{1}$ щодо $\gamma _{1}$, аналогічно визначається $G_{2}^{*}$. Для визначення симетрії щодо кола використовується поняття інверсії. Тепер, якщо $f$ аналітично (голоморфно) відображає $G_{1}$ на $G_{2}$, при тому $f(\gamma _{1})=\gamma _{2}$, тоді $f$ може бути аналітично продовжена до аналітичного відображення $G_{1}\cup \gamma _{1}\cup G_{1}^{*}$ на $G_{2}\cup \gamma _{2}\cup G_{2}^{*}$. Таке продовження є єдиним і визначається в такий спосіб: якщо $z\in G_{1},z\in G_{1},z^{*}\in G_{1}^{*}$ є симетричними відносно $\gamma _{1}$ і $f(z)=w\in G_{2}$ то $f(z^{*})=w^{*},$ де $w^{*}$ є симетричним до $w$ відносно дуги $\gamma _{2}.$

Література

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.