У комплексному аналізі Теорема Морери дає достатні умови аналітичності неперервних комплекснозначних функцій. Названа на честь італійського математика Гіасінто Морери.

Зміст

ТвердженняРедагувати

Якщо функція   комплексного змінного   у відкритій області   неперервна і інтеграл від неї по будь-якому замкнутому контуру   рівний нулю, тобто

 

то  аналітична функція в  .

Умову теореми можна послабити, обмежившись вимогою рівності нулю інтегралів, узятих по контуру довільного трикутника, що належить області  .

ДоведенняРедагувати

В доведенні спершу знаходиться первісна для функції  , після чого твердження випливає з факту, що голоморфні функції є аналітичними.

Без втрати загальності можна вважати область   зв'язаною. Зафіксувавши деяку точку   в області  , визначимо функцію   в   наступною формулою:

 

Інтеграл може бути взятий по довільній кривій в   від   до  . Функція   є однозначно визначена оскільки з умови теореми випливає рівність інтегралів на усіх кривих від   до  . Звідси отримуємо, що   є похідною    :

 

Зокрема   є голоморфною і, як наслідок, аналітичною. Відповідно   також є голоморфною і аналітичною.

ЗастосуванняРедагувати

Теорема Морери часто використовується при доведенні аналітичності функцій. Одним з центральних тверджень при цьому є те, що якщо послідовність   аналітичних функцій рівномірно сходиться до функції  , то

 

тому, за теоремою Морери, гранична функція також буде голоморфною. Таким чином доводиться голоморфність багатьох функцій, визначених рядами і інтегралами, наприклад дзета-функції Рімана

 

і гамма-функції

 

ЛітератураРедагувати

  1. Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
  2. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
  3. Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070006577
  4. Conway, John B. Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3540903284
  5. Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
  6. Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372