Інтегральна теорема Коші

Інтегра́льна теоре́ма Коші́ (також теорема Коші — Гурса) — одна з основних теорем комплексного аналізу. Перші варіанти теореми сформулював та довів Оґюстен-Луї Коші у 1825 році, при слабших вимогах теорему довів французький математик Едуард Гурса у 1883 році.

Формулювання теореми у варіанті Коші

Нехай $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\,$ диференційовна в однозв’язній області $D\subset \mathbb {C}$ і її похідна неперервна в цій області (у будь-якій точці цієї області). Тоді інтеграл від $f(z)\,$ по будь-якій замкненій простій кривій $\gamma \,$, яка лежить в області $D\,$, дорівнює нулю:

$\int _{\gamma }f(z)dz=0\,$

Доведення

Згідно з властивістю інтегралу:

$\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{\gamma }udx-vdy+i\int _{\gamma }udy+vdx\,$

Оскільки $f(z)$ має неперервну похідну першого порядку в області $D$, то частинні похідні від U та V також є неперервними в області $D.$

Згідно теореми Гріна тоді інтеграли по контуру можна замінити на інтеграли по області (позначимо її R), яку обмежує цей контур, а саме:

$\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{\gamma }udx-vdy+i\int _{\gamma }udy+vdx=\iint \limits _{R}\left(-{\partial v \over \partial x}-{\partial u \over \partial y}\right)dA+i\iint \limits _{R}\left({\partial u \over \partial x}-{\partial v \over \partial y}\right)dA.$

Оскільки $f(z)$ є голоморфною функцією, то виконуються умова Коші-Рімана:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$ і

${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$

Із цих рівностей випливає рівність нулю двох інтегралів у правій частині інтегральної рівності, а тому також $\int _{\gamma }f(z)dz=0.$

Варіант теореми Коші — Гурса для трикутників

Якщо функція f є голоморфною в області $D\subset \mathbb {C}$, то інтеграл від f no орієнтованій границі будь-якого трикутника $\Delta \subset D$ є рівним 0:

$\int _{\partial \Delta }f(z)dz=0.$

У даному варіанті не вимагається неперервність похідної у області.

Доведення

Нехай твердження теореми не виконується і існує трикутник $\Delta \subset D$ такий, що

$\left|\int _{\partial \Delta }f(z)dz\right|=M>0.$

Припустимо, що границя $\partial \Delta ,$ яка є кусково гладкою кривою) є орієнтована проти годинникової стрілки.

Розіб'ємо трикутник $\Delta$ на чотири трикутники середніми лініями і введемо на границях цих трикутників орієнтацію проти годинникової стрілки.

Очевидно, що інтеграл від f по $\partial \Delta$ дорівнює сумі інтегралів по границях малих трикутників, бо інтеграли по середніх лініях беруться двічі в протилежних напрямках і тому взаємно скорочуються, а інші границі утворюють $\partial \Delta$ із відповідною орієнтацією. Тому знайдеться хоча б один малий трикутник $\Delta _{1}$ для якого

$\left|\int _{\partial \Delta _{1}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4}.$

Трикутник $\Delta _{1}$ знову можна розбити середніми лініями на чотири трикутника і, як і вище, серед них є хоча б один $\Delta _{2}$ такий, що

$\left|\int _{\partial \Delta _{2}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4^{2}}.$

За індукцією побудуємо послідовність вкладених один в одного трикутників таких, що для інтеграла по границі $n$-го трикутника виконується нерівність:

$\left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4^{n}}.$

Послідовність вкладених трикутників $\Delta _{n}$ має спільну точку $z_{0}.$ Очевидно $z_{0}\in \Delta \subset D$ і функція f є голоморфною в точці $z_{0}.$ Тому з означення комплексної похідної для будь-якого $\varepsilon >0$ знайдеться $\delta >0$ таке, що для всіх точок околу $V=\{|z-z_{0}|<\delta \}$ у рівності

$f(z)-f(z_{0})=f'(z_{0})(z-z_{0})+g(z)(z-z_{0})$

для функції g виконується нерівність $|g(z)|<\varepsilon .$

Усі трикутники побудованої послідовності починаючи з деякого $\Delta _{n}$ належать околу V. Тому

$\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz=\int _{\partial \Delta _{n}}f(z_{0})dz+\int _{\partial \Delta _{n}}f'(z_{0})(z-z_{0})dz+\int _{\partial \Delta _{n}}g(z)(z-z_{0})dz.$

Але перші два інтеграли справа є рівними нулю оскільки множники $f(z_{0})$ і $f'(z_{0})$ можна винести за знак інтеграла, а інтеграли від 1 і $z-z_{0}$ по замкнутому контуру $\partial \Delta _{n}$ є рівними 0.

Оскільки $|g(z)|<\varepsilon$ для всіх $z\in \partial \Delta _{n}$ і також для всіх $z\in \partial \Delta _{n}$ величина $z-z_{0}$ не перевищує периметра $P(\Delta _{n})$ трикутника $\Delta _{n},$ то

$\left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|=\left|\int _{\partial \Delta _{n}}g(z)(z-z_{0})dz\right|<\varepsilon (P(\Delta _{n}))^{2}.$

Але за побудовою $P(\Delta _{n})={P(\Delta ) \over 2^{n}},$ де $P(\Delta )$ позначає периметр трикутника $\Delta ,$ тож також

$\left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|<\varepsilon {(P(\Delta ))^{2} \over 4^{n}}$

і враховуючи, що $\left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4^{n}}$ остаточно

$M<\varepsilon (P(\Delta ))^{2}.$

Із довільності числа $\varepsilon$ випливає, що M = 0 всупереч припущенню.

Узагальнення для довільних ламаних ліній

Нехай тепер $a_{0},\ldots a_{m}\in D$ є точками у області $D\subset \mathbb {C}$ на якій функція є голоморфною і замкнута опукла оболонка цих точок є підмножиною $D.$ Позначимо $L_{a_{0},\ldots ,a_{m}}$ орієнтовану замкнуту ламану лінію (можливо із самоперетинами) одержану із відрізків, що сполучають точки $a_{i}$ і $a_{i+1}$ (із відповідним напрямком) і відрізку із точки $a_{m}$ до точки $a_{0}.$ Тоді:

$\int _{L_{a_{0},\ldots ,a_{m}}}f(z)dz=0.$

Для $m=0$ (коли ламана лінія є точкою) і $m=1$ (коли ламана лінія є відрізком, який проходиться спершу в одному напрямку, а потім в протилежному) твердження є очевидним. Випадок $m=2$ є випадком трикутників, який доведений вище. Нехай тепер $m>2$ і припустимо за індукцією, що твердження доведено для всіх ламаних ліній для $m-1.$ Тоді можна записати:

$\int _{L_{a_{0},\ldots ,a_{m}}}f(z)dz=\int _{L_{a_{0},\ldots ,a_{m-1}}}f(z)+\int _{L_{a_{m-1},a_{m},a_{0}}}f(z)$

оскільки відрізок, що з'єднує точки $a_{0}$ і $a_{m-1}$ у двох інтегралах з правої сторони проходять у різних напрямках і відповідні значення інтегралів скорочуються, а всі інші відрізки у лівій і правій стороні є однаковими із врахуванням напрямку. Але згідно припущення індукції обидва інтеграли з правої сторони є рівними нулю, що й доводить твердження.

Первісна і теорема Коші — Гурса у крузі

Якщо $D(z_{0},r)$ є відкритим кругом із центром у точці $z_{0}$ і радіусом $r$ і функція f є голоморфною в цьому крузі, то можна ввести функцію $F(z)=\int _{[z_{0},z]}f(\xi )d\xi .$ Із теореми Коші — Гурса для трикутників легко можна довести, що $F(z)$ є первісною для $f(z),$ тобто $F'(z)=f(z).$

Також із твердження теореми для ламаних ліній випливає, що для будь-яких точок $z_{1},z_{2}\in D(z_{0},r)$ і спрямлюваної кривої $\gamma :[0,1]\to D(z_{0},r)$ для якої $\gamma (0)=z_{1},\ \gamma (1)=z_{2}$ виконується рівність $\int _{\gamma }f(z)dz=F(z_{2})-F(z_{1})$.

Зокрема, якщо $\gamma _{1}:[0,1]\to D(z_{0},r)$ і $\gamma _{2}:[0,1]\to D(z_{0},r)$ є спрямлюваними кривими із однаковими початковими і кінцевими точками то:

$\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{2}}f(z)\ dz.$

Це твердження є варіантом загальної теореми Коші — Гурса для круга.

Теорема Коші — Гурса для гомотопних шляхів і контурів

Нехай функція f є голоморфною у області U і $\gamma _{0}:[a,b]\rightarrow U$ і $\gamma _{1}:[a,b]\rightarrow U$ є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і спрямлюваними у U. Тоді:

$\int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.$

Доведення

Нехай $\gamma :[0,1]\times [a,b]\rightarrow U$ є гомотопією із $\gamma _{0}$ у $\gamma _{1}$. Для будь-яких $s\in [0,1]$ і $t\in [a,b]$ точка $\gamma (s,t)$ належить $U$. Із компактності випливає існування радіуса $r>0$ для якого $D(\gamma (s,t),r)\subset U$ для всіх $s\in [0,1]$ і $t\in [a,b]$. Оскільки відображення $\gamma$ є неперервним на компактній множині то воно є рівномірно неперервним. Зокрема існує $\delta >0$ для якого

$|\gamma (s',t')-\gamma (s,t)|\leqslant {\frac {r}{4}}$

для всіх $s,s'\in [0,1]$ і $t,t'\in [a,b]$ для яких $|s-s'|\leqslant \delta$ і $|t-t'|\leqslant \delta$. Нехай $0=s_{0}<\dots <s_{n}=1$ і $a=t_{0}<\dots <t_{m}=b$ є розбиттями відповідних відрізків для яких ${|s_{i}-s_{i-1}|\leqslant \delta }$ і ${|t_{j}-t_{j-1}|\leqslant \delta }$ для всіх $1\leqslant i\leqslant n$ і $1\leqslant j\leqslant m$. Для кожного $i$ і $j$ позначимо $C_{i,j}$ замкнутий контур із точок

$C_{i,j}:=\gamma _{\gamma (s_{i},t_{j-1})\rightarrow \gamma (s_{i},t_{j})\rightarrow \gamma (s_{i-1},t_{j})\rightarrow \gamma (s_{i-1},t_{j-1})\rightarrow \gamma (s_{i},t_{j-1})}.$

За побудовою довжина цього контура є меншою, ніж ${\frac {r}{4}}+{\frac {r}{4}}+{\frac {r}{4}}+{\frac {r}{4}}=r,$ тож контур цілком міститься у крузі $D(\gamma (s_{i},t_{i}),r).$

Тому із попереднього

$\int _{C_{i,j}}f(z)\ dz=0$

для всіх $1\leqslant i\leqslant n$ і $1\leqslant j\leqslant m$. Просумувавши ці рівності для всіх $i$ і $j$, враховуючи фіксацію кінцевих точок при гомотопії і здійснивши всі скорочення одержуємо, що

$\int _{\gamma _{\gamma (0,t_{0})\rightarrow \gamma (0,t_{1})\rightarrow \dots \rightarrow \gamma (0,t_{n})}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{\gamma (1,t_{0})\rightarrow \gamma (1,t_{1})\rightarrow \dots \rightarrow \gamma (1,t_{n})}}f(z)\ dz$

Далі можна записати рівність

$\int _{\gamma _{\gamma (0,t_{i-1})\rightarrow \gamma (0,t_{i})}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{0,[t_{i-1},t_{i}]}}f(z)\ dz$

для $i=1,\dots ,n$, де $\gamma _{0,[t_{i-1},t_{i}]}:[t_{i-1},t_{i}]\rightarrow U$ є обмеженням $\gamma _{0}:[a,b]\rightarrow U$ на $[t_{i-1},t_{i}]$ і так само для $\gamma _{1}$. Дана рівність випливає із теореми Коші — Гурса для кругів, оскільки і відрізок, що сполучає точки $\gamma (0,t_{i-1})$ і $\gamma (0,t_{i})$ і крива $\gamma _{0,[t_{i-1},t_{i}]}$ за побудовою належать кругу $D(\gamma (s_{0},t_{i}),r).$

Разом із цього отримуємо

$\int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.$

Твердження для гомотопних контурів

Із попереднього твердження випливає, зокрема, що якщо $\gamma$ є стягуваним замкнутим спрямлюваним контуром у U то

$\int _{\gamma }f(z)\ dz=0.$

Дане твердження є наслідком того факту, що гомотопія із замкнутого контура $\gamma =\gamma _{0}:[a,b]\rightarrow U$ на точку може завжди бути вибрана так, що вказаною точкою є точка $z_{0}=\gamma (a)=\gamma (b)$ і гомотопія є гомотопією, що фіксує кінцеві точки, тобто $\gamma _{t}(a)=\gamma _{t}(b)=z_{0}$ і $\gamma _{1}(s)=z_{0}$ для всіх $t\in [a,b]$ і всіх $s\in [a,b].$ Тоді оскільки інтеграл по контуру виродженому у точку $z_{0}$ є рівним нулю, то і інтеграл по контуру кінцевими точками якого є $z_{0}$ і який є стягуваним до $z_{0}$ за допомогою гомотопії, що фіксує кінцеві точки є рівним нулю.

Більш загально, якщо $\gamma _{0},\gamma _{1}:[a,b]\rightarrow U$ є замкнутими спрямлюваними контурами, що є гомотопними, як замкнуті контури (тобто при гомотопії усі проміжні криві $\gamma _{t}$ теж є замкнутими контурами), то також

$\int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.$

Узагальнення для довільних неперервних шляхів

Подані вище варіанти теореми дозволяють ввести поняття комплексного інтегралу для довільних неперервних шляхів $\gamma :[a,b]\rightarrow U$ (не обов'язково спрямлюваних). Для такого шляху із його компактності випливає існування такого розбиття $a=t_{0}<\dots <t_{m}=b$, що всі відрізки виду $[\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i+1})]$ належать $U$. Тоді можна розглянути ${\bar {\gamma }}:[a,b]\rightarrow U$ — ламану лінію із цих відрізків із необхідною параметризацією. Очевидно ${\bar {\gamma }}$ є спрямлюваною кривою.

Тоді можна взяти за означенням $\int _{\gamma }f(z)\ dz:=\int _{\bar {\gamma }}f(z)\ dz.$ Із теореми Коші — Гурса випливає незалежність значення інтегралу від вибору ламаної лінії ${\bar {\gamma }}$.

Якщо тепер $\gamma _{0}:[a,b]\rightarrow U$ і $\gamma _{1}:[a,b]\rightarrow U$ є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і неперервними, то із таким означенням інтегралу:

$\int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.$

Гомологічне формулювання теореми

Нехай $U$ є областю і $\gamma _{i}$ є замкнутими контурами, що належать $U$. Циклом називається формальна лінійна комбінація:

$\Gamma =n_{1}\gamma _{1}+n_{2}\gamma _{2}+\ldots +n_{r}\gamma _{r}$

коефіцієнти якої $n_{i}$ є цілими числами. Множина усіх таких лінійних комбінацій для всіх можливих замкнутих контурів у $U$ із очевидною операцією додавання утворює абелеву групу.

На множині циклів можна ввести операцію інтегрування. А саме, якщо функція $f$ є визначена на всіх контурах $\gamma _{i}$, що входять у цикл $\Gamma =n_{1}\gamma _{1}+n_{2}\gamma _{2}+\ldots +n_{r}\gamma _{r}$ то за означенням:

$\int _{\Gamma }f(z)\ dz=n_{1}\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz+\ldots +n_{r}\int _{\gamma _{r}}f(z)\ dz.$

Для довільної точки $z_{0},$ що не лежить на контурі $\gamma$ можна ввести індекс контуру відносно точки, як

$I(\gamma ,z_{0})={1 \over 2\pi i}\int _{\gamma }{1 \over z-z_{0}}dz.$

Цей індекс завжди є цілим числом. Аналогічно як для інтеграла можна ввести індекс цикла відносно точки, що не належить жодному із контурів, що входять у цикл:

$I(\Gamma ,z_{0})={1 \over 2\pi i}\sum _{i=1}^{r}\int _{\gamma _{i}}{1 \over z-z_{0}}dz.$

Нехай функція $f$ є голоморфною на області $U$. Згідно гомологічного варіанту теореми Коші, якщо для деякого цикла $\Gamma$ і кожної точки $z_{0},$ що не належить $U$ виконується рівність $I(\Gamma ,z_{0})=0,$ то також $\int _{\Gamma }f(z)\ dz=0.$

Наслідки

За допомогою теореми Коші доводиться справедливість інтегральної формули Коші та основної теореми про лишки.

Див. також

• Теорема Морери
• Теорема Монтеля
• Інтегральна формула Коші
• Лишок
• Список об'єктів, названих на честь Оґюстена-Луї Коші

Посилання

• Terry Tao. Math 246A, Notes 3: Cauchy’s theorem and its consequences [Архівовано 10 лютого 2021 у Wayback Machine.]

Джерела

• Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Москва: Наука, 1969. — 577 с.