Інтегральна теорема Коші

Інтегра́льна теоре́ма Коші́ (також теорема Коші — Гурса) — одна з основних теорем комплексного аналізу. Перші варіанти теореми сформулював та довів Оґюстен-Луї Коші у 1825 році, при слабших вимогах теорему довів французький математик Едуард Гурса у 1883 році.

Формулювання теореми у варіанті КошіРедагувати

Нехай   диференційовна в однозв’язній області   і її похідна неперервна в цій області (у будь-якій точці цієї області). Тоді інтеграл від   по будь-якій замкненій простій кривій  , яка лежить в області  , дорівнює нулю:

 

ДоведенняРедагувати

Згідно з властивістю інтегралу:

 

Оскільки   має неперервну похідну першого порядку в області  , то частинні похідні від U та V також є неперервними в області  

Згідно теореми Гріна тоді інтеграли по контуру можна замінити на інтеграли по області (позначимо її R), яку обмежує цей контур, а саме:

 

Оскільки   є голоморфною функцією, то виконуються умова Коші-Рімана:

  і
 

Із цих рівностей випливає рівність нулю двох інтегралів у правій частині інтегральної рівності, а тому також  

Варіант теореми Коші — Гурса для трикутниківРедагувати

Якщо функція f є голоморфною в області  , то інтеграл від f no орієнтованій границі будь-якого трикутника   є рівним 0:

 

У даному варіанті не вимагається неперервність похідної у області.

ДоведенняРедагувати

Нехай твердження теореми не виконується і існує трикутник   такий, що

 

Припустимо, що границя   яка є кусково гладкою кривою) є орієнтована проти годинникової стрілки.

Розіб'ємо трикутник   на чотири трикутники середніми лініями і введемо на границях цих трикутників орієнтацію проти годинникової стрілки.

Очевидно, що інтеграл від f по   дорівнює сумі інтегралів по границях малих трикутників, бо інтеграли по середніх лініях беруться двічі в протилежних напрямках і тому взаємно скорочуються, а інші границі утворюють   із відповідною орієнтацією. Тому знайдеться хоча б один малий трикутник   для якого

 

Трикутник   знову можна розбити середніми лініями на чотири трикутника і, як і вище, серед них є хоча б один   такий, що

 

За індукцією побудуємо послідовність вкладених один в одного трикутників таких, що для інтеграла по границі  -го трикутника виконується нерівність:

 

Послідовність вкладених трикутників   має спільну точку   Очевидно   і функція f є голоморфною в точці   Тому з означення комплексної похідної для будь-якого   знайдеться   таке, що для всіх точок околу   у рівності

 

для функції g виконується нерівність  

Усі трикутники побудованої послідовності починаючи з деякого   належать околу V. Тому

 

Але перші два інтеграли справа є рівними нулю оскільки множники   і   можна винести за знак інтеграла, а інтеграли від 1 і   по замкнутому контуру   є рівними 0.

Оскільки   для всіх   і також для всіх   величина   не перевищує периметра   трикутника   то

 

Але за побудовою   де   позначає периметр трикутника   тож також

 

і враховуючи, що   остаточно

 

Із довільності числа   випливає, що M = 0 всупереч припущенню.

Узагальнення для довільних ламаних лінійРедагувати

Нехай тепер   є точками у області   на якій функція є голоморфною і замкнута опукла оболонка цих точок є підмножиною   Позначимо   орієнтовану замкнуту ламану лінію (можливо із самоперетинами) одержану із відрізків, що сполучають точки   і   (із відповідним напрямком) і відрізку із точки   до точки   Тоді:

 

Для   (коли ламана лінія є точкою) і   (коли ламана лінія є відрізком, який проходиться спершу в одному напрямку, а потім в протилежному) твердження є очевидним. Випадок   є випадком трикутників, який доведений вище. Нехай тепер   і припустимо за індукцією, що твердження доведено для всіх ламаних ліній для   Тоді можна записати:

 

оскільки відрізок, що з'єднує точки   і   у двох інтегралах з правої сторони проходять у різних напрямках і відповідні значення інтегралів скорочуються, а всі інші відрізки у лівій і правій стороні є однаковими із врахуванням напрямку. Але згідно припущення індукції обидва інтеграли з правої сторони є рівними нулю, що й доводить твердження.

Первісна і теорема Коші — Гурса у крузіРедагувати

Якщо   є відкритим кругом із центром у точці   і радіусом   і функція f є голоморфною в цьому крузі, то можна ввести функцію   Із теореми Коші — Гурса для трикутників легко можна довести, що   є первісною для   тобто  

Також із твердження теореми для ламаних ліній випливає, що для будь-яких точок   і спрямлюваної кривої   для якої   виконується рівність  .

Зокрема, якщо   і   є спрямлюваними кривими із однаковими початковими і кінцевими точками то:

 

Це твердження є варіантом загальної теореми Коші — Гурса для круга.

Теорема Коші — Гурса для гомотопних шляхівРедагувати

Нехай функція f є голоморфною у області U і   і   є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і спрямлюваними у U. Тоді:

 

Звідси випливає, зокрема, що якщо   є стягуваним замкнутим спрямлюваним простим контуром у U то

 

ДоведенняРедагувати

Нехай   є гомотопією із   у  . Для будь-яких   і   точка   належить  . Із компактності випливає існування радіуса   для якого   для всіх   і  . Оскільки відображення   є неперервним на компактній множині то воно є рівномірно неперервним. Зокрема існує   для якого

 

для всіх   і   для яких   і  . Нехай   і   є розбиттями відповідних відрізків для яких   і   для всіх   і  . Для кожного   і   позначимо   замкнутий контур із точок

 

За побудовою довжина цього контура є меншою, ніж   тож контур цілком міститься у крузі  

Тому із попереднього

 

для всіх   і  . Просумувавши ці рівності для всіх   і  , враховуючи фіксацію кінцевих точок при гомотопії і здійснивши всі скорочення одержуємо, що

 

Далі можна записати рівність

 

для  , де   є обмеженням   на   і так само для  . Дана рівність випливає із теореми Коші — Гурса для кругів, оскільки і відрізок, що сполучає точки   і   і крива   за побудовою належать кругу  

Разом із цього отримуємо

 

Узагальнення для довільних неперервних шляхівРедагувати

Подані вище варіанти теореми дозволяють ввести поняття комплексного інтегралу для довільних неперервних шляхів   (не обов'язково спрямлюваних). Для такого шляху із його компактності випливає існування такого розбиття  , що всі відрізки виду   належать  . Тоді можна розглянути   — ламану лінію із цих відрізків із необхідною параметризацією. Очевидно   є спрямлюваною кривою.

Тоді можна взяти за означенням   Із теореми Коші — Гурса випливає незалежність значення інтегралу від вибору ламаної лінії  .

Якщо тепер   і   є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і неперервними, то із таким означенням інтегралу:

 

Гомологічне формулювання теоремиРедагувати

Нехай   є областю і   є замкнутими контурами, що належать  . Циклом називається формальна лінійна комбінація:

 

коефіцієнти якої   є цілими числами. Множина усіх таких лінійних комбінацій для всіх можливих замкнутих контурів у   із очевидною операцією додавання утворює абелеву групу.

На множині циклів можна ввести операцію інтегрування. А саме, якщо функція   є визначена на всіх контурах  , що входять у цикл   то за означенням:

 

Для довільної точки   що не лежить на контурі   можна ввести індекс контуру відносно точки, як

 

Цей індекс завжди є цілим числом. Аналогічно як для інтеграла можна ввести індекс цикла відносно точки, що не належить жодному із контурів, що входять у цикл:

 

Нехай функція   є голоморфною на області  . Згідно гомологічного варіанту теореми Коші, якщо для деякого цикла   і кожної точки   що не належить   виконується рівність   то також  

НаслідкиРедагувати

За допомогою теореми Коші доводиться справедливість інтегральної формули Коші та основної теореми про лишки.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Москва: Наука, 1969. — 577 с.