Відкрити головне меню
Випадок жорданової кривої γ у області U і особливих точок an.

Основна теорема про лишки — результат в комплексному аналізі, що має важливе застосування для обчислення криволінійних інтегралів голоморфних функцій, а також для обчислення деяких дійсних інтегралів і суми рядів певного типу. Є узагальненням інтегральної формули Коші і інтегральної теореми Коші.

ТвердженняРедагувати

Нехай Uвідкрита, однозв'язна підмножина комплексної площини  , z1,...,zn множина особливих точок у U і fфункція що є голоморфною у множині U - {z1,...,zn}. Якщо γ — деяка замкнута спрямлювана крива у U, якій не належать zk. Тоді :

 

В даній рівності, Res(f,zk) позначає лишок функції f в точці zk, а   індекс контура γ відносно точки zk.

Дане число може бути визначене за формулою:

 

Замітка. У найпоширенішому випадку крива вважається жордановою, тобто вона ніде не перетинається сама з собою. В такому випадку крива розбиває область U на дві частини внутрішню та зовнішню. Для внутрішніх особливих точок (як на малюнку) в таких випадках  , для зовнішніх   і їх можна не враховувати. Тоді рівність із твердження теореми перепишеться:

 
де сума береться по всіх внутрішніх особливих точках.

ДоведенняРедагувати

Нехай F — множина особливих точок функції f, і для  , функція допускає розклад у ряд Лорана в деякому проколотому диску   радіуса   з центром у точці   :

 

Нехай   ряд, визначений із сингулярної частини ряду Лорана :

 

Він є нормально збіжним на компактних підмножинах   .

Визначимо функцію g у всій множині U як:

 

Дана функція є голоморфною в усій області U і тому згідно з інтегральною теоремою Коші:

 

згідно з визначенням функції g :

 

Зважаючи на нормальну збіжність   можна записати :

 

Обчислюючи інтеграли одержуємо :

 

Об'єднавши дві попередні формули можна одержати:

 

і згадавши визначення лишка одержуємо необхідний результат:

 

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М. Мир, 1964
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
  • Mitronivić, Dragoslav; Kečkić, Jovan (1984), The Cauchy method of residues: Theory and applications, D. Reidel Publishing Company, ISBN 90-277-1623-4
  • Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
  • Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372