Квадратна ґратка

вид ґратки в двовимірному евклідовому просторі
Квадратні ґратки
Вертикальна Діагональна

Квадратна ґратка — це вид ґратки в двовимірному евклідовому просторі. Ґратка є двовимірною версією цілочисельної ґратки і позначається Z2[1]. Ґратка є однією з п'яти типів двовимірних ґраток, класифікованих за групами симетрії[2]. Група симетрії ґратки в позначеннях IUC — p4m [3], в нотації Коксетера[en] — [4,4][4], а в орбіфолдній нотації[en] — *442[5].

Вертикальна квадратна мозаїка. Вершини всіх квадратів утворюють квадратну ґратку. Центри квадратів одного кольору утворюють діагональну ґратку, яка в √2 разів більша від вертикальної квадратної ґратки.

Дві орієнтації ґратки найпопулярніші. Зазвичай квадрати решітки розміщуються так, що сторони квадрата вертикальні і горизонтальні (будемо називати це вертикальною ґраткою), або сторони квадратів розташовані під кутом 45° до осей. В останньому випадку ґратку іноді називають центрованою квадратною ґраткою[6].

Симетрія

ред.

Симетрія квадратної решітки — це група орнаменту p4m. Орнамент з цієї ґраткою симетрії перенесення не може мати вищого степеня симетрії, ніж сама ґратка, але може мати менший степінь. Вертикальну квадратну ґратку можна розглядати як діагональну ґратку з розміром сітки в √2 рази більшим, центри якої містяться в центрах квадратів. Відповідно, після додавання центрів квадратів у квадрати вертикальної ґратки отримуємо ґратку в √2 рази меншу від початкової ґратки. Орнамент з 4-кратною обертовою симетрією має квадратну ґратку 4-кратних центрів обертання, яка √2 рази дрібніша і розташована діагонально відносно початкової ґратки симетрії перенесення.

Стосовно осей відображення існує три можливих ситуації:

  • Відсутність симетрії. Це група шпалер p4.
  • В чотирьох напрямках. Це група шпалер p4m.
  • У двох перпендикулярних напрямках. Це група шпалер p4g. Точки перетину осей відображення утворюють квадратну ґратку, яка за розмірами та за напрямами збігається з квадратною ґраткою центрів обертання.
p4, [4,4]+, (442) p4g, [4,4+], (4*2) p4m, [4,4], (*442)
     
Група шпалер p4, з розташуванням усередині примітивної комірки 2 — і 4-кратних центрів обертання (істинне і для p4g і p4m). Фундаментальну область показано жовтим кольором. Група шпалер p4g. Є осі відображення в двох напрямках, які не проходять через 4-кратні центри обертання. Група шпалер p4m. Є осі відображення в чотирьох напрямках, що проходять через 4-кратні центри обертання. У двох напрямках осі відображення орієнтовані так само і з тією ж щільністю, що й для p4g, але зсунуті. У двох напрямах вони в √2 рази щільніші.

Див. також

ред.

Примітки

ред.
  1. Conway, Sloane, 1999, с. 106.
  2. Golubitsky, Stewart, 2003, с. 129.
  3. Field, Golubitsky, 2009, с. 47.
  4. Johnson, Weiss, 1999, с. 1307–1336, см. стр 1320.
  5. Schattschneider, Senechal, 2004, с. 53–72.
  6. Johnston, Richman, 1997, с. 159.

Література

ред.