Центроване квадратне число

Не плутати з квадратним числом.

Центроване квадратне число — це центроване багатокутне число, яке подає квадрат з точкою в центрі і всі інші навколишні точки, розташовані на квадратних шарах.

Таким чином, кожне центроване квадратне число дорівнює числу точок всередині даної відстані в кварталах від центральної точки на квадратній решітці. Центровані квадратні числа, як і інші фігурні числа, мають мало практичних застосувань, якщо взагалі мають, але вони вивчаються в цікавій математиці за елегантні геометричні та арифметичні властивості.

Фігури для перших чотирьох центрованих квадратних чисел показано нижче:


$C_{4,1}=1$		$C_{4,2}=5$		$C_{4,3}=13$		$C_{4,4}=25$

Зв'язок з іншими фігурними числами

n-не центроване квадратне число задається формулою

C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.

Іншими словами, центроване квадратне число — це сума двох послідовних квадратів. Такі діаграми демонструють формулу:


$C_{4,1}=1$		$C_{4,2}=1+4$		$C_{4,3}=4+9$		$C_{4,4}=9+16$

Формулу можна подати так

C_{4,n}={(2n-1)^{2}+1 \over 2};

таким чином, n-не центроване квадратне число дорівнює половині n-го непарного квадрата + 1/2, що проілюстровано нижче:


$C_{4,1}=(1+1)/2$		$C_{4,2}=(9+1)/2$		$C_{4,3}=(25+1)/2$		$C_{4,4}=(49+1)/2$

Як і інші центровані полігональні числа, центровані квадратні числа можна виразити через трикутні числа:

C_{4,n}=1+4\,T_{n-1},

де

T_{n}={n(n+1) \over 2}={n^{2}+n \over 2}={n+1 \choose 2}

є n-не трикутне число. Це легко побачити, якщо просто видалити центральну точку і розділити решту на чотири трикутники:


$C_{4,1}=1$		$C_{4,2}=1+4\times 1$		$C_{4,3}=1+4\times 3$		$C_{4,4}=1+4\times 6.$

Різницею між двома послідовними восьмикутними числами є центроване квадратне число (Conway and Guy, p. 50).

Властивості

Перші кілька центрованих квадратних чисел:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, …

Всі центровані квадратні числа непарні, а остання цифра в десятковому поданні дає послідовність 1-5-3-5-1.

Всі центровані квадратні числа та їхні дільники дають остачу 1 при діленні на 4. Тому всі центровані квадратні числа та їх дільники порівнянні з 1 або 5 за модулем 6, 8 або 12.

Кожне центроване квадратне число за винятком 1 є гіпотенузою в одній з піфагорових трійок (наприклад, 3-4-5, 5-12-13).

Центровані квадратні прості

Центровані квадратні прості — це центровані квадратні числа, які є також простими. На відміну від звичайних квадратних чисел, які ніколи не є простими, кілька центрованих квадратних чисел прості.

Кілька перших центрованих квадратних простих:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, …

Чудовий приклад можна побачити в магічному квадраті 10-го століття ал-Антаакії.

Див. також

Число клітинок в околі фон Неймана порядку r збігається з центрованим квадратним числом з номером r
Теорема про подання простих чисел у вигляді суми двох квадратів

Примітки

Література

Alfred, U. (1962), $n$ and $n + 1$ consecutive integers with equal sums of squares, Mathematics Magazine, 35 (3): 155—164, JSTOR 2688938, MR 1571197
Beiler, A. H. (1964), Recreations in the Theory of Numbers, New York: Dover, с. 125
Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, с. 41—42, ISBN 0-387-97993-X, MR 1411676

Посилання

(n2 + 1) / 2 as a special case of M(i, j) = (i2 + j) / 2