Центровані багатокутні числа

клас фігурних чисел

Центровані багатокутні числа — це клас плоских -кутних фігурних чисел (), одержуваних такою геометричною побудовою. Спочатку на площині фіксується певна центральна точка. Потім навколо неї будується правильний -кутник з точками вершин, кожна сторона містить дві точки (див. малюнок). Далі зовні будуються нові шари -кутників, причому кожна їхня сторона на новому шарі містить на одну точку більше, ніж у попередньому шарі, тобто, починаючи з другого шару, кожен наступний шар містить на більше точок, ніж попередній. Загальне число точок усередині кожного шару і приймається за центроване багатокутне число (точка в центрі вважається початковим шаром)[1].

Приклади побудови центрованих багатокутних чисел:

Трикутні Квадратні П'ятикутні Шестикутні
Centered triangular number 19.svg Centered square number 25.svg Centered pentagonal number 31.svg Hex number 37.svg

З побудови видно, що центровані багатокутні числа виходять як часткові суми такого ряду: (наприклад, центровані квадратні числа, для яких утворюють послідовність: ) Цей ряд можна записати як , звідки видно, що в дужках — породжувальний ряд класичних трикутних чисел. Отже, кожну послідовність центрованих -кутних чисел, починаючи з 2-го елементу, можна подати як де  — послідовність трикутних чисел. Наприклад, центровані квадратні числа — це помножені на 4 трикутні числа плюс 1, породжувальний ряд для них має вигляд: [2]

Загальна формула для -го центрованого -кутного числа :

 

 

 

 

({{{3}}})

Зведена таблицяРедагувати

Число кутів k Тип числа Початок послідовності Посилання на OEIS
3 Центровані трикутні числа 1, 4, 10, 19, 31, … A005448
4 Центровані квадратні числа 1, 5, 13, 25, 41, … A001844
5 Центровані п'ятикутні числа 1, 6, 16, 31, 51, … A005891
6 Центровані шестикутні числа 1, 7, 19, 37, 61, … A003215
7 Центровані семикутні числа 1, 8, 22, 43, 71, … A069099
8 Центровані восьмикутні числа 1, 9, 25, 49, 81, … A016754
9 Центровані дев'ятикутні числа 1, 10, 28, 55, 91, … A060544
10 Центровані десятикутні числа 1, 11, 31, 61, 101, … A062786

і так далі.

ПриміткиРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М. : Просвещение, 1996. — С. 30. — ISBN 5-09-006575-6.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. — М. : Просвещение, 1964. — 376 с.
  • Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М. : МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

ПосиланняРедагувати