Лемніската Бернуллі

Лемніската Бернуллігеометричне місце точок, добуток відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) незмінна і дорівнює квадрату половини відстані між фокусами.

Лемніската і її фокуси

Назва походить з античного Риму, де «лемніскатою» називали бантик, з допомогою якого прикріпляли вінок до голови переможця на спортивних іграх. Цю лемніскату називають в честь швейцарського математика Якоба Бернуллі, який поклав початок її вивченню.

РівнянняРедагувати

Розглянемо простий випадок: якщо відстань між фокусами  , розташовані вони на осі  , і початок координат ділить відрізок між ними навпіл, то наступні рівняння задають лемніскату:

 
Зробивши нескладні перетворення, можна отримати рівняння у явному вигляді:
 
 
  • Параметричне рівняння в прямокутній системі:
 , де  

Щоб задати лемніскату по двох довільних точках, можна не виводити рівняння заново, а визначити перетворення координат, при якому старий (даний) фокусний відрізок переходить в новий, і подіяти на представлені рівняння цим перетворенням.

ВластивостіРедагувати

  • Лемніската — крива четвертого порядку.
  • Вона має дві осі симетрії: пряма, на якій лежить  , і серединний перпендикуляр цього відрізка, в простішому (даному) випадку — вісь  .
  • Точка, де лемниската перетинає саму себе, називається вузловою чи подвійною точкою.
  • Крива має 2 максимуми і 2 мінімуми. Їх координати:
     
  • Відстань від максимуму до мінімуму, що знаходяться по одну сторону від серединного перпендикуляра (осі   в даному випадку) дорівнює відстані від максимуму (чи від мінімуму) до подвійної точки.
  • Дотичні в подвійній точці складають з відрізком   кути  .
  • Лемніскату описує поверхня радіуса  , тому деколи в рівняннях проводять цю заміну.
  • Інверсія відносно поверхні з центром в подвійній точці, переводить леминіскату Бернуллі в рівнобічну гіперболу.
  • В полярних координатах  , вірне наступне
    • Площа полярного сектора  , при  :
       
      • Площа кожної петлі  .
    • Радіус кривини лемніскати є  

ПобудоваРедагувати

 
Побудова лемніскати з допомогою трьох відрізків

З допомогою трьох відрізківРедагувати

Це один із найбільш простих і швидких способів, однак потребує наявності додаткових пристосувань.

На площині вибираються дві точки —   і   — наступні фокуси лемніскати. Складається спеціальна конструкція із трьох скріплених в ряд на шарнірах відрізках, щоб отримана лінія могла вільно вигинатися в двох містах (точки вигину —   и  ). При цьому необхідно зберігати пропорції відрізків:  . Краї лінії закріплюються до фокусів. При непараллельному повертанні відрізків навколо фокусів середина центрального відрізка описує лемніскату Бернуллі.

За допомогою січних (спосіб Маклорена)Редагувати

Будується поверхня радіуса   з центром в одному із фокусів. Із середини   фокусного відрізка будується довільна січна   (  i   — точки перетину з поверхнею), і на ній в обидві сторони відкладуються відрізки   і  , рівні хорді  . Точки  ,   лежать на різних петлях лемніскати.

Див. такожРедагувати