Відкрити головне меню

Овал Кассіні

геометричне місце точок, добуток відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) сталий і дорівнює квадрату деякого числа a
Овали Кассіні (a=0.6c, 0.8c, c, 1.2c, 1.4c, 1.6c)

Ова́л Кассі́ні — геометричне місце точок, добуток відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) сталий і дорівнює квадрату деякого числа .

Окремим випадком овалу Кассіні при фокусній відстані рівній є Лемніската Бернуллі. Сам овал є лемніскатою з двома фокусами.

Крива була запропонована французьким астрономом італійського походження Джованні Кассіні. Він помилково вважав, що вона точніше описує орбіту Землі, ніж еліпс[1]. Хоча цю лінію називають овалом Кассіні, вона не завжди овальна.

РівнянняРедагувати

 
Випадок зміни параметру  
 
Випадок зміни параметру  

Позначимо відстань між фокусами  .

 .
  • У явному вигляді рівняння в прямокутних координатах:
 .
 .

Особливості формиРедагувати

У рівнянні кривої містяться два незалежних параметри:   — половина відстані між фокусами і   — добуток відстаней від фокусів до будь-якої точки кривої. З точки зору форми найсуттєвішим є відношення параметрів, а не їх величини, які при сталому відношенні визначають лише розмір фігури. Можна виділити шість різновидів форми залежно від величини відношення  :

  •  , тобто   при  .
Крива вироджується до двох точок, що збігаються з фокусами. При   форма кривої прямує до двох точок.
  •  , тобто  
Крива розпадається на два окремих овали, кожний з яких витягнений у напрямі іншого і за формою нагадує яйце.
  •  , тобто  
Права частина рівняння в прямокутних координатах (див. вище) перетворюється в нуль, і крива стає лемніскатою Бернуллі.
  •  , тобто  
У кривої з'являються чотири симетричні точки перегину (по одній у кожній координатній чверті). Кривина в точках перетину з віссю   прямує до нуля, коли   прямує до   і до нескінченності, коли   прямує до  .
  •  , тобто  
Крива стає овалом, тобто опуклою замкнутою кривою.
  •  , тобто   при  
Із збільшенням   (коли відношення   прямує до нуля) крива прямує до кола радіусом  . Якщо  , то відношення   досягає нуля, і в цьому випадку крива вироджується у коло.

ВластивостіРедагувати

 
Чорне коло — множина максимумів і мінімумів; синя лемніската — множина точок перегину
  • Овал Кассіні — алгебрична крива четвертого порядку.
  • Вона є симетричною відносно середини відрізка між фокусами.
  • При   має два абсолютних максимуми і два мінімуми:
 
Геометричне місце точок абсолютних максимумів і мінімумів — коло радіусом   з центром посередині відрізка між фокусами.
  • При   крива має чотири точки перегину. Їх полярні координати:
 
Геометричне місце точок перегину — лемніската з вершинами  .
 

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

ПосиланняРедагувати