Модулярна лямбда-функція

У математиці модулярна лямбда-функція$\lambda (\tau )$ є сильно симетричною голоморфною функцією у верхній півплощині комплексної площини. Вона інваріантна відносно дробово-лінійної дії групи конгруенцій $\Gamma (2)$ і породжує поле функцій часткового упорядкування, тобто є головною модулярною функцією для модулярної кривої $X(2)$.

Модулярна лямбда-функція на комплексній площині.

У будь-якій точці $\tau$ її значення можна описати як подвійне відношення точок галуження розгалуженого подвійного накриття проективної лінії за допомогою еліптичної кривої $\mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle$, де відображення визначається як відношення за інволюцією [−1].

$q$-розклад, де $q={\rm {e}}^{\pi {\rm {i}}\tau }$ це ном, визначається наступним чином:

${\begin{aligned}\lambda (\tau )=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\cdots .\end{aligned}}$  A115977

Симетризуючи лямбда-функцію відносно канонічної дії симетричної групи $\operatorname {S} _{3}$на $X(2)$, а потім відповідним чином нормалізуючи, можна отримати функцію у верхній півплощині, яка інваріантна відносно повної модулярної групи $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$, і це фактично модулярний $j$-інваріант Клейна.

A plot of x→ λ(ix)

Модулярні властивості

Функція $\lambda (\tau )$ є інваріантною відносно групи, породженої перетвореннями

${\begin{aligned}\tau \mapsto \tau +2,\quad \tau \mapsto {\frac {\tau }{1-2\tau }}.\end{aligned}}$

Генератори модулярної групи діють за правилом

${\begin{aligned}\tau \mapsto \tau +1\colon \ \lambda \mapsto {\frac {\lambda }{\lambda -1}},\\\tau \mapsto -{\frac {1}{\tau }}\colon \ \lambda \mapsto 1-\lambda .\end{aligned}}$

Отже, дія модулярної групи на функцію $\lambda (\tau )$ є дією ангармонічної групи, що визначає шість значень подвійного відношення:

${\begin{aligned}\left\lbrace \lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda \right\rbrace \end{aligned}}$

Зв'язок із іншими функціями

Модулярна лямбда-функція є квадратом еліптичного модуля, тобто $\lambda (\tau )=k^{2}(\tau )$. У термінах ета функції Дедекінда $\eta$ і тета-функції модулярну лямбда-функцію можна представити як

${\begin{aligned}\lambda (\tau )=\left({\frac {{\sqrt {2}}\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}\right)^{8}={\frac {16}{\left({\frac {\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+16}}={\frac {\theta _{2}^{4}(\tau )}{\theta _{3}^{4}(\tau )}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {1}{{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}}}-{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{4}}{\big )}}{\eta (\tau )}}\right)^{4}=2{\frac {\theta _{4}^{2}{\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\theta _{2}^{2}{\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}}\end{aligned}}$

де

${\begin{aligned}\theta _{2}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\rm {e}}^{\pi {\rm {i}}\tau (n+1/2)^{2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\theta _{3}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\rm {e}}^{\pi {\rm {i}}\tau n^{2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\theta _{4}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}{\rm {e}}^{\pi {\rm {i}}\tau n^{2}}\end{aligned}}$

Модулярну лямбда-функцію можна записати у термінах півперіодів еліптичних функцій Вейєрштрасса. Нехай $[\omega _{1},\omega _{2}]$ - фундаментальна пара періодів з $\tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}$,

${\begin{aligned}e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right),\quad e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),\quad e_{3}=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)\end{aligned}}$

тоді

${\begin{aligned}\lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}\end{aligned}}$

Оскільки три значення півперіодів різні, то $\lambda$ не набуває значень 0 або 1.

Модулярна лямбда-функція пов'язана з $j$-інваріантом наступним чином:

${\begin{aligned}j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\end{aligned}}$,

яка є $j$-інваріантом еліптичної кривої у формі Лежандра $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$.

Модулярні рівняння

Модулярне рівняння степеня $p$ (де $p$ - просте число) - алгебраїчне рівняння на функції $\lambda (p\tau )$ і $\lambda (\tau )$. Якщо $\lambda (p\tau )=u^{8}$ і $\lambda (\tau )=v^{8}$, то модулярні рівняння степенів $p=2,3,5,7$ відповідно мають вигляд

${\begin{aligned}{\big (}1+u^{4}{\big )}^{2}v^{8}-4u^{4}=0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}u^{4}-v^{4}+2uv{\big (}1-u^{2}v^{2}{\big )}=0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}{\big (}u^{2}-v^{2}{\big )}+4uv{\big (}1-u^{4}v^{4}{\big )}=0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\big (}1-u^{8}{\big )}{\big (}1-v^{8}{\big )}-(1-uv)^{8}=0\end{aligned}}$

Змінну $v$ (і, отже, $u$) можна розглядати як голоморфну функцію у верхній півплощині $\operatorname {Im} \tau >0$:

${\begin{aligned}v&=\prod _{k=1}^{\infty }\tanh {\frac {(k-1/2)\pi i}{\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{(2k^{2}+k)\pi i\tau }}{\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{k^{2}\pi i\tau }}}\\&={\cfrac {{\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}}{1+{\cfrac {e^{\pi i\tau }}{1+e^{\pi i\tau }+{\cfrac {e^{2\pi i\tau }}{1+e^{2\pi i\tau }+{\cfrac {e^{3\pi i\tau }}{1+e^{3\pi i\tau }+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}$

Оскільки $\lambda ({\rm {i}})=1/2$, то модулярні рівняння можна використовувати для отримання алгебраїчних значень для $\lambda (p{\rm {i}})$ для будь-якого простого числа $p$.

Алгебраїчні значення для $\lambda (n{\rm {i}})$ також визначаються за допомогою формул

${\begin{aligned}\lambda (n{\rm {i}})=\prod _{k=1}^{n/2}\operatorname {sl} ^{8}{\frac {(2k-1)\varpi }{2n}},\quad {\text{якщо}}\ n\ {\text{парне}}\end{aligned}}$,

${\begin{aligned}\lambda (n{\rm {i}})={\frac {1}{2^{n}}}\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-\operatorname {sl} ^{2}{\frac {k\varpi }{n}}\right)^{2},\quad {\text{якщо}}\ n\ {\text{непарне}}\end{aligned}}$,

де $\operatorname {sl}$ - лемніскатний синус і $\varpi$ - лемніскатна стала.

Лямбда-зірка

Означення та обчислення лямбда-зірки

Функція $\lambda ^{*}(x)$ (де $x\in \mathbb {R} ^{+}$) дає значення еліптичного модуля $k$, для якого повний еліптичний інтеграл першого роду $K(k)$ і його доповняльний аналог $K{\big (}{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}$ пов'язані за допомогою наступного співвідношення:

${\begin{aligned}{\frac {K\left[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}\end{aligned}}$

Значення $\lambda ^{*}(x)$ можна обчислити наступним чином:

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)={\frac {\theta _{2}^{2}{\big (}{\rm {i}}{\sqrt {x}}{\big )}}{\theta _{3}^{2}{\big (}{\rm {i}}{\sqrt {x}}{\big )}}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp {\big [}{-}(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}{\big ]}\right]^{2}\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp {\big (}{-}a^{2}\pi {\sqrt {x}}{\big )}\right]^{-2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} {\big [}(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}{\big ]}\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} {\big (}a\pi {\sqrt {x}}{\big )}\right]^{-1}\end{aligned}}$

Функції $\lambda ^{*}$ і $\lambda$ пов'язані одна з одною за допомогою співвідношення:

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda {\big (}{\rm {i}}{\sqrt {x}}{\big )}}}\end{aligned}}$.

Властивості лямбда-зірки

Будь-яке $\lambda ^{*}$ значення додатного раціонального числа є додатним алгебраїчним числом:

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}\end{aligned}}$

Як довели Селберг і Чоула в 1949 році, $K(\lambda ^{*}(x))$ і $E(\lambda ^{*}(x))$(повний еліптичний інтеграл другого роду можна представити в замкненій формі в термінах гамма-функції для будь-якого $x\in \mathbb {Q} ^{+}$.

Наступне співвідношення справедливе для всіх $n\in \mathbb {N}$:

${\begin{aligned}{\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K\left[\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right];\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right]\end{aligned}}$

де $\operatorname {dn}$ - еліптична функція Якобі дельта амплітуди з модулем $k$.

Знаючи одне $\lambda ^{*}$ значення, цю формулу можна використовувати для обчислення пов'язаних $\lambda ^{*}$ значень:

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}\end{aligned}}$,

де $n\in \mathbb {N}$, $\operatorname {sn}$ - еліптична функція Якобі синус амплітуди з модулем $k$.

Подальші співвідношення:

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}[\lambda ^{*}(x)+1][\lambda ^{*}(4/x)+1]=2\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\right\}^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{1/4}-2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{3/4}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/2}-\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/2}==2\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/12}+2\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{5/12}\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{5/12}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}a^{8}+b^{8}-7a^{4}b^{4}=2{\sqrt {2}}ab+2{\sqrt {2}}a^{7}b^{7}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12},\quad b=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(49x)}{1-\lambda ^{*}(49x)^{2}}}\right]^{1/12}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}a^{12}-c^{12}=2{\sqrt {2}}{\big (}ac+a^{3}c^{3}{\big )}{\big (}1+3a^{2}c^{2}+a^{4}c^{4}{\big )}{\big (}2+3a^{2}c^{2}+2a^{4}c^{4}{\big )}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12},\quad c=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(121x)}{1-\lambda ^{*}(121x)^{2}}}\right]^{1/12}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\big (}a^{2}-d^{2}{\big )}{\big (}a^{4}+d^{4}-7a^{2}d^{2}{\big )}{\big [}{\big (}a^{2}-d^{2}{\big )}^{4}-a^{2}d^{2}{\big (}a^{2}+d^{2}{\big )}^{2}{\big ]}=8ad+8a^{13}d^{13},\quad a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12},\ d=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(169x)}{1-\lambda ^{*}(169x)^{2}}}\right]^{1/12}\end{aligned}}$

Частинні значення

Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду $4n-3$:

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(1)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(5)=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin {\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}\right]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(9)={\frac {1}{2}}{\big (}{\sqrt {3}}-1{\big )}{\big (}{\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}}{\big )}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(13)=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin {\big (}5{\sqrt {13}}-18{\big )}\right]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(17)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{64}}\left(5+{\sqrt {17}}-{\sqrt {10{\sqrt {17}}+26}}\right)^{3}\right]\right\}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(21)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}8-3{\sqrt {7}}{\big )}{\big (}2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}}{\big )}{\big ]}\right\}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(25)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}{\big (}3-2{\sqrt[{4}]{5}}{\big )}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(33)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}10-3{\sqrt {11}}{\big )}{\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}^{3}{\big ]}\right\}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(37)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}{\sqrt {37}}-6{\big )}^{3}{\big ]}\right\}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(45)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}4-{\sqrt {15}}{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}^{3}{\big ]}\right\}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(49)={\frac {1}{4}}{\big (}8+3{\sqrt {7}}{\big )}{\big (}5-{\sqrt {7}}-{\sqrt[{4}]{28}}{\big )}\left({\sqrt {14}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {5-{\sqrt {7}}}}\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(57)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}170-39{\sqrt {19}}{\big )}{\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}^{3}{\big ]}\right\}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(73)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{64}}\left(45+5{\sqrt {73}}-3{\sqrt {50{\sqrt {73}}+426}}\right)^{3}\right]\right\}\end{aligned}}$

Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду $4n-2$:

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(2)={\sqrt {2}}-1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(6)={\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}{\big (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\big )}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(10)={\big (}{\sqrt {10}}-3{\big )}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(14)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{8}}\left(2{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}}\right)^{3}\right]\right\}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(14)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{8}}\left(2{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}}\right)^{3}\right]\right\}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(18)={\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{3}{\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(22)={\big (}10-3{\sqrt {11}}{\big )}{\big (}3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}}{\big )}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(30)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\big [}{\big (}{\sqrt {10}}-3{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}^{2}{\big ]}\right\}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(34)=\tan \left\{{\frac {1}{4}}\arcsin \left[{\frac {1}{9}}{\big (}{\sqrt {17}}-4{\big )}^{2}\right]\right\}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(42)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\big [}{\big (}2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}}{\big )}^{2}{\big (}2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}}{\big )}^{2}{\big ]}\right\}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(46)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{64}}\left(3+{\sqrt {2}}-{\sqrt {6{\sqrt {2}}+7}}\right)^{6}\right]\right\}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(58)={\big (}13{\sqrt {58}}-99{\big )}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{6}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(70)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\big [}{\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}^{4}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{6}{\big ]}\right\}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(78)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\big [}{\big (}5{\sqrt {13}}-18{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt {26}}-5{\big )}^{2}{\big ]}\right\}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(82)=\tan \left\{{\frac {1}{4}}\arcsin \left[{\frac {1}{4761}}{\big (}8{\sqrt {41}}-51{\big )}^{2}\right]\right\}\end{aligned}}$

Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду $4n-1$:

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(3)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\big (}{\sqrt {3}}-1{\big )}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(7)={\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}{\big (}3-{\sqrt {7}}{\big )}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(11)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}({\sqrt {11}}+3)\left({\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1\right)^{4}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(15)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}{\big (}3-{\sqrt {5}}{\big )}{\big (}{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}{\big )}{\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(19)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}(3{\sqrt {19}}+13)\left[{\frac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2+{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {19}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2-{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {19}}}}-{\frac {1}{3}}(5-{\sqrt {19}})\right]^{4}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(23)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}})\left[{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}+{\frac {2}{3}}\right]^{4}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(27)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}{\big (}{\sqrt {3}}-1{\big )}^{3}\left[{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}{\big (}{\sqrt[{3}]{4}}-{\sqrt[{3}]{2}}+1{\big )}-{\sqrt[{3}]{2}}+1\right]^{4}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(39)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{16}}\left(6-{\sqrt {13}}-3{\sqrt {6{\sqrt {13}}-21}}\right)\right]\right\}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(55)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{512}}\left(3{\sqrt {5}}-3-{\sqrt {6{\sqrt {5}}-2}}\right)^{3}\right]\right\}\end{aligned}}$

Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду $4n$:

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(4)={\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(8)=\left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}}\right)^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(12)={\big (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(16)={\big (}{\sqrt {2}}+1{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt[{4}]{2}}-1{\big )}^{4}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(20)=\tan \left[{\frac {1}{4}}\arcsin {\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}\right]^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(24)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}{\big (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\big )}{\big ]}\right\}^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(28)={\big (}2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}}{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{4}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(32)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[\left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}}\right)^{2}\right]\right\}^{2}\end{aligned}}$

Значення лямбда-зірки для раціональних дробів:

${\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\big (}{\sqrt {3}}+1{\big )}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {2}{3}}\right)={\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}{\big (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\big )}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {1}{4}}\right)=2{\sqrt[{4}]{2}}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {3}{4}}\right)={\sqrt[{4}]{8}}{\big (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\big )}{\big (}{\sqrt {2}}+1{\big )}{\sqrt {{\big (}{\sqrt {3}}-1{\big )}^{3}}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {1}{5}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left({\sqrt {2{\sqrt {5}}-2}}+{\sqrt {5}}-1\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {2}{5}}\right)={\big (}{\sqrt {10}}-3{\big )}{\big (}{\sqrt {2}}+1{\big )}^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {3}{5}}\right)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}{\big (}3+{\sqrt {5}}{\big )}{\big (}{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}{\big )}{\big (}2+{\sqrt {3}}{\big )}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {4}{5}}\right)=\tan \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arcsin {\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}\right]^{2}\end{aligned}}$

Інваріанти класу Рамануджана

Інваріанти класу Рамануджана $G_{n}$ і $g_{n}$ визначаються як

${\begin{aligned}G_{n}=2^{-1/4}{\rm {e}}^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\rm {e}}^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}g_{n}=2^{-1/4}{\rm {e}}^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\rm {e}}^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right)\end{aligned}}$

де $n\in \mathbb {Q} ^{+}$. Для таких $n$ інваріанти класу є алгебраїчними числами.

${\begin{aligned}g_{58}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}},\quad g_{190}={\sqrt {{\big (}{\sqrt {5}}+2{\big )}{\big (}{\sqrt {10}}+3{\big )}}}\end{aligned}}$

Тотожності з інваріантами класу включають

${\begin{aligned}G_{n}=G_{1/n},\quad g_{n}={\frac {1}{g_{4/n}}},\quad g_{4n}=2^{1/4}g_{n}G_{n}\end{aligned}}$

Інваріанти класів дуже тісно пов'язані з модульними функціями Вебера ${\mathfrak {f}}$ і ${\mathfrak {f}}_{1}$. Справедливі наступні співвідношення між лямбда-зіркою та інваріантами класу:

${\begin{aligned}G_{n}=\sin\{2\arcsin[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}=1{\Big /}\left[{\sqrt[{12}]{2\lambda ^{*}(n)}}{\sqrt[{24}]{1-\lambda ^{*}(n)^{2}}}\right]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}g_{n}=\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}={\sqrt[{12}]{[1-\lambda ^{*}(n)^{2}]/[2\lambda ^{*}(n)]}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lambda ^{*}(n)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\big [}g_{n}^{-12}{\big ]}\right\}={\sqrt {g_{n}^{24}+1}}-g_{n}^{12}\end{aligned}}$

Інші застосування

Мала теорема Пікара

Лямбда-функція використовується в оригінальному доведенні малої теореми Пікара, що ціла нестала функція на комплексній площині не може пропускати більше одного значення. Ця теорема була доведена Пікаром у 1879р. Припустимо, якщо можливо, що функція $f$ є цілою і не приймає значень 0 і 1. Оскільки функція $\lambda$ голоморфна, то вона має локальну голоморфну обернену функцію $\omega$, що визначена поза 0, 1, $\infty$. Розглянемо функцію $z\mapsto f(z)$. За {{нп|Теорема про монодромію|теоремою про монодромію||Monodromy theorem} функція голоморфна і відображає комплексну площину $\mathbb {C}$ у верхню півплощину. Звідси можна легко побудувати голоморфну функцію з $\mathbb {C}$ в одиничний круг, яка за теоремою Ліувіля має бути сталою.

Гіпотеза нісенітниці

Функція $\tau \mapsto 16/\lambda (2\tau )-8$ є нормалізованою головною модулярною функцією для групи $\Gamma _{0}(4)$, а її $q$-розклад $q^{-1}+20q-62q^{3}+\cdots$,  A007248, де $q={\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\tau }$, є градуйованим характером будь-якого елемента в класі суміжності 4C групи-монстра, що діє на вершинній алгебрі монстра.

Література

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Ma\-the\-ma\-ti\-cal Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0, Zbl 0543.33001
• Chandrasekharan, K. (1985), Elliptic Functions, Grundlehren der ma\-the\-ma\-ti\-schen Wissenschaften, vol. 281, Springer-Verlag, pp. 108-121, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001
• Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), ``Monstrous moonshine, Bulletin of the London Mathematical Society, 11 (3): 308-339,\\ doi:10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399, Zbl 0424.20010
• Rankin, Robert A. (1977), Modular Forms and Functions, Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020
• Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), ``Elliptic Modular Function, in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi \& the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987.
• Conway, J. H. and Norton, S. P. ``Monstrous Moonshine. Bull. London Math. Soc. 11, 308-339, 1979.
• Selberg, A. and Chowla, S. ``On Epstein's Zeta-Function. J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.

Зовнішні лінки

• Modular lambda function at Fungrim