У математиці бета-функцією (-функцією, бета-функцією Ейлера чи інтегралом Ейлера I роду) називається наступна спеціальна функція від двох змінних:

Графік бета-функції при дійсних аргументах
,

визначена при , .

Бета-функція була досліджена Ейлером і Лежандром, а назву їй дав Жак Біне.

Властивості

ред.

Бета-функція симетрична відносно перестановки змінних, тобто

 .

Бета-функцію можна виразити через інші функції:

 ,

де  Гамма-функція;

 ;
 ;
 ,

де  нижній факторіал, рівний  .

Подібно тому як гама-функція для цілих чисел є узагальненням факторіала, бета-функція є узагальненням біноміальних коефіцієнтів зі зміненими параметрами:

 .

Похідні

ред.

Частинні похідні у бета-функції наступні:

 .

Неповна бета-функція

ред.

Неповна бета-функція — це узагальненням бета-функції,що заміняє визначений інтеграл невизначеним:

 .

При   неповна бета-функція збігається з повною.

Регуляризована неповна бета-функція визначається через повну і неповну бета-функції:

 .

Властивості  

ред.
 ;
 ;
 .

Див. також

ред.

Джерела

ред.
  • Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN 966-7893-26-Х. {{cite book}}: Перевірте значення |isbn=: недійсний символ (довідка)
  • Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)