SL(2,R)

У математиці, спеціальна лінійна група $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ або $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ — це група дійсних $:2\times 2$ матриць, з детермінантом $1$:

$\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )=\left\{\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)\colon a,b,c,d\in \mathbb {R} \ {\text{і}}\ ad-bc=1\right\}.$

Це зв'язна некомпактна проста дійсна група Лі, яка має застосування у геометрії, топології, теорії представлень і фізиці.

$\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ діє на комплексній верхній півплощині шляхом дробово-лінійних  перетворень. Дія групи виражається через факторгрупу $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ ($2\times 2$ спеціальна проєктивна група над $\mathbb {R}$). Більш конкретно,

$\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )/\{\pm I\}$,

де $I$ — $2\times 2$ одинична матриця. Вона містить модулярну групу $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$.

Також тісно пов'язаною структурою є 2-кратна покривна група $\operatorname {Mp} (2,\mathbb {R} )$, або метаплектична група (вважаючи $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ симплектичною групою).

Інша пов'язана група це $\operatorname {SL} ^{\pm }(2,\mathbb {R} )$, група дійсних $2\times 2$ матриць з детермінантом $\pm 1$; вона є більш загальновживаною у контексті модулярних груп.

Опис

$\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ це група всіх лінійних перетворень у $\mathbb {R^{2}}$, яка зберігає орієнтацію. Вона ізоморфна  симплектичній групі $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {R} )$і спеціальній унітарній групі $\operatorname {SU} (1,1)$.Також вона є ізоморфною групі одиничних кватерніонів. Група $\operatorname {SL} ^{\pm }(2,\mathbb {R} )$ не зберігає орієнтацію, оскільки у деяких випадках вона може бути змінена на протилежну.

Факторгрупа $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ допускає декілька цікавих означень:

• Це група проєктивних перетворень на дійсній проєктивній прямій $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$, що зберігає орієнтацію.
• Це група конформних автоморфізмів одиничного круга.
• Це група ізометрій гіперболічної площини, що зберігає орієнтацію.
• Це обмежена група Лоренца тривимірного простору Мінковского. Еквівалентно, це група, яка ізоморфна невизначеній ортогональній групі $\operatorname {SO} ^{+}(1,2)$. З цього випливає, що $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ ізоморфна спінорній групі $\operatorname {Spin} (2,1)^{+}$.

Елементи модулярної групи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ мають додаткові інтерпретації, так само, як і елементи групи $\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$ (як лінійні перетворення тора), на ці інтерпретації можна дивитися з точки зору загальної теорії групи $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$.

Проєктивні перетворення

Елементи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ є проєктивними перетвореннями на дійсній проєктивній прямій $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$:

$[x,1]\longmapsto [x,1]\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)=[ax+b,cx+d]=\left[{\frac {ax+b}{cx+d}},1\right].$

Ці проєктивні перетворення утворюють підгрупу групи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )$, яка діє на сферу Рімана шряхом перетворень Мебіуса.

Якщо дійсна пряма розглядається границею гіперболічної площини, то $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ описує гіперболічні рухи.

Перетворення Мебіуса

Елементи групи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ діють на комплексній площині шляхом перетвореннь Мебіуса:

$z\longmapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\ ({\text{де}}\ a,b,c,d\in \mathbb {R} )$.

Це в точності множина перетворень Мебіуса, яка зберігає верхню півплощину. З цього випливає, що $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ є групою конформних автоморфізмів верхньої півплощини. Відповідно до теореми Рімана про відображення, вона також є групою конформних автоморфізмів одиничного круга.

Дані перетворення Мебіуса діють як ізометрії моделі верхньої півплощини гіперболічного простору, а відповідні перетворення Мебіуса на крузі є гіперболічними ізометріями моделі Пуанкаре.

Формула вище також може бути використана для визначення перетворень Мебіуса для дуальних і подвійних чисел. Відповідні геометрії мають нетривіальні зв'язки з геометрією Лобачевського.

Приєднане представлення

Група $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ діє на свою алгебру Лі ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ шляхом спряженості (важливо пам'ятати, що елементи алгебри Лі також є $2\times 2$ матрицями), утворюючи при цьому точне тривимірне лінійне представлення групи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$. Це також можна описати як дію групи на простір квадратичних форм у $\mathbb {R^{2}}$. Як результат матимемо наступне представлення:

$\left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]\longmapsto \left[{\begin{matrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{matrix}}\right]$.

Форма Кіллінга алгебри ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ має сигнатуру $(2,1)$ і встановлює ізоморфізм між групою $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ і групою Лоренца $\operatorname {SO} ^{+}(2,1)$. Така дія групи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ на простір Мінковського обмежується до ізометричної дії групи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ на гіперболоїдну модель гіперболічної площини.

Класифікація елементів

Власні значення елемента $A\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ задовольняють характеристичний многочлен

$\lambda ^{2}-\operatorname {tr} (A)\lambda +1=0$,

звідси

$\lambda ={\frac {\operatorname {tr} (A)\pm {\sqrt {\operatorname {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}$.

Це приводить до наступної класифікації елементів, з відповідною дією на Евклідову площину:

• Якщо $|\operatorname {tr} (A)|<2$, то $A$ називається еліптичним і є спряженим до поворотів.
• Якщо $|\operatorname {tr} (A)|=2$, то $A$ називається параболічним і є відображенням зсуву.
• Якщо $|\operatorname {tr} (A)|>2$, то $A$ називається гіперболічним і є відображенням стискання.

Назви відповідають класифікації конічних перетинів ексцентриситетом: якщо визначати ексцентриситет як половину абсолютного значення сліду ($\epsilon ={\frac {1}{2}}\operatorname {tr}$; ділення на 2 корегує ефект розмірності, у той час як абсолютне значення ігнорує коефіцієнти $\pm 1$, як і при роботі з групою $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$), тоді це приводить до наступних випадків: $\epsilon <1$, еліптичний; $\epsilon =1$, параболічний; $\epsilon >1$, гіперболічний.

Одиничний елемент $1$ і від'ємний одиничний елемент $-1$ (у випадку групи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ вони співпадають) мають слід $\pm 2$, і відповідно до класифікації, є параболічними елементами, хоча їх часто розглядають окремо.

Та сама класифікація використовується для груп $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ і $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$(дійсне перетворення Мебіуса), з додатковими ``локсодромними'' перетвореннями, що відповідають комплексним слідам; аналогічні класифікації використовуються і щодо інших об'єктів.

Підгрупа, яка пов'язана з еліптичними (відповідно, параболічними або гіперболічними) елементами, а також ідентичністю і від'ємною ідентичністю називається еліптичною підгрупою (відповідно, параболічною підгрупою, гіперболічною підгрупою).

Це класифікація на підмножини, а не на підгрупи: множини не замкнені відносно множення (добуток двох параболічних елементів неповинен бути параболічним і т.п.). Тим не менше, всі елементи розподіляються до однієї з трьох стандартних однопараметричних підгруп} (можливо домножені на $\pm 1$), як зазначено нижче.

З точки зору топології, оскільки слід є неперервним відображенням, еліптичні елементи (виключаючи $\pm 1$) є відкритими множинами, так само, як гіперболічні елементи (виключаючи $\pm 1$), у той час як параболічні елементи (включаючи $\pm 1$) є замкнутими множинами.

Еліптичні елементи

Власні значення еліптичного елемента є комплексними, а також комплексно спряженими значеннями на одиничному колі. Такий елемент є спряженим до повороту евклідового простору — вони можуть бути проінтерпретовані як повороти у можливому неортгональному базисі — а відповідний елемент групи $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ діє як (спряжений до) повороту гіперболічної площини і простору Мінковського.

Еліптичні елементи модулярної групи повинні мати власні значення $\{\omega ,\omega ^{-}\}$, де $\omega$ це простий корінь з одиниці третього, четвертого або шостого степеня. Вони всі є елементами модулярної групи скінченного порядку, і на торі вони діють як періодичні дифеоморфізми.

Елементи із нульовим слідом інколи називають ``циркулярними елементами'' (за аналогією з ексцентриситетом), але це відбувається нечасто. Вони відповідають елементам з власними значеннями $\pm i$ і є спряженими до поворотів на $90^{\circ }$, а також є квадратами до $-I$: вони є нетотожними інволюціями у групі $\operatorname {PSL(2)}$.

Еліптичні елементи включаються у підгрупу поворотів евклідової площини, спеціальну ортогональну групу $\operatorname {SO(2)}$; кут повороту є арккосинусом половини сліду, зі знаком, що визначається орієнтацією. (Поворот і його обернений є спряженими у групі $\operatorname {GL(2)}$, але не у групі $\operatorname {SL(2)}$.)

Див. також

• Лінійна група
• Спеціальна лінійна група
• Проєктивна лінійна група
• Модулярна група
• $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ (Перетворення Мебіуса)
• Проєктивне перетворення
• Група Фукса
• Таблиця груп Лі
• Дифеоморфізм Аносова

Література

• Valentine Bargmann. Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group // Annals of Mathematics. — 1947. — Т. 48, вип. 3. — С. 568–640. — DOI:10.2307/1969129. — JSTOR 1969129.
• Гельфанд И.М., Наймарк М.А. Унитарные представления группы Лоренца // Изв. АН СССР. Сер. Матем.. — 1947. — Т. 11, вип. 5. — С. 411–504.
• Harish-Chandra. Plancherel formula for the $2\times 2$ real unimodular group // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.. — 1952. — Т. 38. — С. 337–342. — DOI:10.1073/pnas.38.4.337. — PMID 16589101.
• Ленг С. $\operatorname {SL_{2}(R)}$ / Перевод с английского В.И. Васюнина и М.А. Семёнова-Тян-Шанского; Под редакцией А.А. Кириллова. — Москва, 1977.