Гіпергеометрична функція

(Перенаправлено з Гіпергеометричні ряди)

У математиці функція Гауса або звичайна гіпергеометрична функція — це спеціальна функція, представлена гіпергеометричним рядом, що включає багато інших спеціальних функцій як часткові або граничні[en] випадки, позначається . Це розв'язок лінійного звичайного диференціального рівняння (ЗДР) другого порядку. Будь-яке лінійне ЗДР другого порядку з трьома регулярними особливими точками[en] може бути зведене до такого рівняння.

Щодо упорядкованих списків деяких із багатьох тисяч опублікованих тотожностей, що стосуються гіпергеометричної функції, див. оглядові роботи Ерделі зі співавторами (1953)[1] та Ольде Даалхуїса (2010)[2]. На сьогодні невідома система організації всіх цих тотожностей; дійсно, не існує відомого алгоритму, який може породжувати всі тотожності; відома лише низка різних алгоритмів, які породжують різні серії тотожностей. Теорія алгоритмічного виявлення тотожностей залишається актуальною темою дослідження.

ІсторіяРедагувати

Термін "гіпергеометричний ряд" вперше був використаний Джоном Валлісом у його книзі "Arithmetica Infinitorum" в 1655 році.

Гіпергеометричні ряди вивчав Леонард Ейлер, але перше повне та систематичне трактування було проведено Карлом Фрідріхом Гаусом (1813) [3].

Дослідження у дев'ятнатнадцятому столітті включали роботу Ернеста Куммера (1836)[4] та фундаментальну характеристику Бернграда Рімана (1857)[5] гіпергеометричної функції за допомогою диференціального рівняння, яке вона задовольняє.

Ріман показав, що диференціальне рівняння другого порядку для функції , що розглядається на комплексній площині, може бути охарактеризовано (на сфері Рімана) за допомогою трьох регулярних особливих точок[en].

Випадки, коли розв'язки є алгебраїчними функціями, було знайдено Германом Шварцом (список Шварца[en]).

Гіпергеометричний рядРедагувати

Гіпергеометрична функція — спеціальна функція, що є розв'язком гіпергеометричного рівняння

 

Гіпергеометрична функція може бути визначена з допомогою ряду Гауса:

 

де  ,  ,   — параметри, що приймають будь-які дійсні або комплексні значення, а   — комплексна змінна.

Функція   називається гіпергеометричною функцією першого роду.

Гіпергеометрична функція визначається при   за допомогою степеневого ряду

 

Цей ряд буде невизначеним (або нескінченним), якщо   дорівнює цілому недодатному числу. Тут   — (зростаючий) символ Похаммера[en], який визначається наступним чином:

 

Ряд збігається абсолютно і рівномірно при  ; збіжність розповсюджується і на одиничне коло, якщо  ; при   збігається в усіх точках одиничного кола, окрім  . Проте існує аналітичне продовження гіпергеометричної функції у зовнішність одиничного кола   з розрізом  . Функція   — однозначна аналітична в комплексній площині   з розрізом  . Якщо   або   — нуль або ціле від'ємне число, то ряд обривається на скінченному числі членів і гіпергеометрична функція зводиться до полінома:

 

Якщо  , де   — ціле невід'ємне число, то  . Якщо функцію поділити на значення гамма-функції  , то отримаємо границю:

 

  — найпоширеніший тип узагальнених гіпергеометричних рядів[en]   і його часто позначають просто як  .

Формули диференціюванняРедагувати

Використовуючи тотожність  , можна показати, що

 

і у загальному випадку

 

У частинному випадку, при  , отримаємо

 

Частинні випадкиРедагувати

Багато загальновідомих математичних функцій можна виразити через гіпергеометричну функцію або через її граничні випадки. Деякі типові приклади:

 ;
 ;
 ;
 .

Вироджена гіпергеометрична функція[en] (або функція Куммера) може бути представлена як границя гіпергеометричної функції

 

Тому всі функції, які є частинними випадками функції Куммера, такі як функції Бесселя, також можуть бути представлені як границі гіпергеометричних функцій. Це стосується більшості загальновживаних функцій математичної фізики.

Функції Лежандра — розв'язок диференціального рівняння другого порядку з   регулярними особливими точками, тому їх можна виразити через гіпергеометричну функцію різними способами, наприклад,

 

Деякі ортогональні многочлени, зокрема, поліноми Якобі   і їх частинні випадки: поліноми Лежандра, поліноми Чебишова, поліноми Ґеґенбауера, можна записати у термінах гіпергеометричних функцій за допомогою формули

 

А також інші поліноми, які є частинними випадками: поліноми Кравчука, поліноми Мейкснера[en], поліноми Мейкснера–Поллачека[en].

Еліптичні модулярні функції іноді можна представити як обернені функції відношень гіпергеометричних функцій, аргументи яких  ,  ,   дорівнюють 1, 1/2, 1/3, … або 0. Наприклад, якщо

 

то

 

— еліптична модулярна функція змінної  .

Неповні бета-функції   пов'язані з гіпергеометричними функціями наступним чином:

 

Повні еліптичні інтеграли   та   можна представити як

 
 

Гіпергеометричне диференціальне рівнянняРедагувати

Гіпергеометрична функція є розв'язком гіпергеометричного диференціального рівняння Ейлера

 

яке має три регулярні особливі точки[en]: 0, 1 і  . Узагальнення цього рівняння на три довільні регулярні особливі точки задається диференціальним рівнянням Рімана[en]. Будь-яке диференціальне рівняння другого порядку з трьома регулярними особливими точками може бути зведене до гіпергеометричного диференціального рівняння шляхом заміни змінних.

Розв'язки в особливих точкахРедагувати

Розв'язки гіпергеометричного диференціального рівняння будуються за допомогою гіпергеометричного ряду  . Рівняння має два лінійно незалежних розв'язки. У кожній з трьох особливих точок 0, 1,  , зазвичай є два спеціальні розв'язки вигляду  , помножені на голоморфну функцію змінної  , де   — один з двох коренів визначального рівняння (однорідного лінійного диференціального рівняння в особливій точці), а   — локальна змінна, що зануляється в регулярній особливій точці. Це дає   спеціальних розв'язків, як показано нижче.

Якщо   не є цілим недодатним числом, то в околі точки   є два незалежні розв'язки:

 

і, за умови, що   не є цілим числом,

 

Якщо   не є додатним цілим числом  , тоді перший з цих розв'язків не існує, і його слід замінити на  . Другий розв'язок не існує, якщо   є цілим числом, більшим за 1, і дорівнює першому розв'язку або його заміні, якщо   є будь-яким іншим цілим числом. Отже, якщо   є цілим числом, то для другого розв'язку необхідно використовувати більш складніше співвідношення, що дорівнюють першому розв'язку помноженому на   плюс інший ряд за степенями   та включає дигамма-функцію. Детальніше див. Ольде Даалхуїс (2010)[2].

Якщо   не є цілим числом, то в околі   є два незалежних розв'язки:

 

і

 

Якщо   не є цілим числом, то в околі   є два незалежних розв'язки:

 

і

 

Знову ж таки, якщо умови нецілості не виконуються, то існують інші розв'язки, які є більш складними.

Будь-які 3 із вищезазначених 6 розв'язків задовольняють лінійне співвідношення, оскільки простір розв'язків є двовимірним, що дає   лінійних співвідношень між ними, які називаються формулами зв'язку.

24 розв'язки КуммераРедагувати

Рівняння Фукса[en] другого порядку з   особливими точками має групу симетрій, що діє (проєктивно) на його розв'язках, і яка ізоморфна групі Коксетера[en]   порядку  . Отже, для гіпергеометричного рівняння   така група має порядок 24 та ізоморфна симетричній групі на 4 точках, і була вперше описана Куммером. Ізоморфізм з симетричною групою є несподіваним і не має аналога для більш ніж 3 особливих точок, і іноді краще думати про цю групу як про продовження симетричної групи на 3 точки (яка діє як перестановки 3-х особливих точок) за допомогою 4-групи Клейна (елементи якої змінюють знаки різниць експонент у парній кількості особливих точок). Група Куммера з 24 перетворень породжується трьома перетвореннями, що перетворють розв'язок   до одного з виглядів:

 
 
 

які відповідають транспозиціям (12), (23) та (34) при ізоморфізмі з симетричною групою на 4 точках 1, 2, 3, 4. (Перший та третій розв'язок з них насправді дорівнюють  , тоді як другий є незалежним розв'язком диференціального рівняння.)

Застосування   перетворень Куммера до гіпергеометричної функції дає   розв'язків, що відповідають кожному з 2 можливих експонент у кожній з 3 особливих точок, кожний з яких з'являється 4 рази з огляду на тотожності

  (перетворення Ейлера);
  (перетворення Пфаффа);
  (перетворення Пфаффа).

Q-формаРедагувати

Гіпергеометричне диференціальне рівняння можна звести до  -форми

 

за допомогою заміни   та виключенням першої похідної. Отримуємо

 

а   визначається як розв'язок диференціального рівняння

 

тобто

 

 -форма є важливою через її зв'язок з похідною Шварца[en] (Hille 1976[6], с. 307-401).

Трикутні відображення ШварцаРедагувати

Трикутні відображення Шварца або  -функції Шварца є відношеннями пар розв'язків:

 

де   — одна з точок 0, 1,  . Іноді також використовується позначення

 

Зауважимо, що коефіцієнти зв'язку стають перетвореннями Мебіуса при трикутних відображеннях.

Кожне трикутне відображення є регулярним[en] при   відповідно до

 
 

і

 

У частинному випадку з дійсними  ,   та  , причому  ,  -відображення є конформними відображеннями верхньої півплощини[en]   у трикутники на сфері Рімана, що обмежені дугами кіл. Це відображення є узагальненням[en] відображення Шварца–Крістоффеля[en] у трикутники з круговими дугами. Особливі точки 0, 1 і   відображаються у вершини трикутника. Кути трикутника дорівнюють  ,   та   відповідно.

Крім того, у випадку, якщо  ,   та   для цілих чисел  ,  ,  , то трикутники замощують сферу, комплексну площину або верхню напівплощину відповідно, якщо  ,   або  ; а  -відображення — обернені функції автоморфних функцій[en] для групи трикутника[en]  .

Група монодроміїРедагувати

Монодромія гіпергеометричного рівняння описує як змінюються фундаментальні розв'язки, якщо їх аналітично продовжувати у  –площині навколо траєкторій, що повертаються до тієї самої точки. Тобто, коли траєкторія обертається навколо сингулярної точки гіпергеометричної функції  , то значення розв'язків у кінцевій точці буде відрізнятися від значення у початковій точці.

Два фундаментальних розв'язки гіпергеометричного рівняння пов'язані між собою лінійним перетворенням; таким чином, монодромія є відображенням (груповий гомоморфізм):

 

де  фундаментальна група. Іншими словами, монодромія — це двовимірне лінійне представлення фундаментальної групи. Група монодромії рівняння є образом цього відображення, тобто групою, породженою матрицями монодромії. Представлення монодромії фундаментальної групи можна обчислити явно у термінах експонент в особливих точках[7]. Якщо  ,   та   є експонентами в 0, 1 та  , то, вибираючи   в околі 0, петлі навколо 0 та 1 мають матриці монодромії наступного вигляду:

  та  

де

 

Якщо  ,  ,   — не цілі раціональні числа зі знаменниками  ,  ,  , то група монодромії є скінченною тоді й лише тоді, коли  , див. список Шварца[en] або алгоритм Ковачича[en].

Інтегральні формулиРедагувати

Тип ЕйлераРедагувати

Якщо   — це бета-функція, то має місце формула Ейлера:

 

за умови, що   не є дійсним числом, таке що воно більше або дорівнює 1 (при   чи   за умови визначеності обох сторін. Розкладаючи   у біноміальний ряд і застосовуючи контурні інтеграли для функції бети, можна одержати інші інтегральні представлення. Якщо   є дійсним числом, більшим або рівним  , то слід використовувати аналітичне продовження, оскільки   дорівнює нулю в певній точці визначення інтеграла, тому значення інтегралу може бути погано визначеним. Цей результат було отримано Ейлером в 1748 р. з використанням гіпергеометричних перетворень Ейлера та Пфаффа.

Інші представлення, що відповідають іншим головним гілкам[en], даються для того ж самого підінтегрального виразу, але як шлях інтегрування обирається замкнений цикл Похаммера[en], що обходить особливості в різних порядках. Такі шляхи відповідають дії монодромії.

Інтеграл БарнсаРедагувати

Барнс використовував теорію лишків для оцінки інтеграла Барнса[en]:

 

як

 

де контур обрано так, щоб відокремити полюси   від полюсів  . Це справедливо до тих пір, поки   не є невід'ємним дійсним числом.

Перетворення ДжонаРедагувати

Гіпергеометричну функцію Гауса можна записати у вигляді перетворення Джона[en] (Gelfand, Gindikin & Graev 2003[8], 2.1.2).

Суміжні співвідношення ГаусаРедагувати

Шість функцій

 

називаються суміжними з гіпергеометричною функцією  . Ця функція визначається як сума степеневого ряду

 

де   параметри з   Якщо   та   то справедлива формула Ейлера

 

З цієї формули випливає (див. Гамма-функція)

 

за умови  

Функція   є лінійною комбінацією будь-яких двох суміжних з нею функцій. 15 формул такого типа вперше були знайдені Гаусом. Вони одержуються при порівнянні правих частин:

 

У рівностях використано позначення  ,   і т. д.

Асоційовані функції  , де  ,  ,   — цілі числа, можуть бути одержані повторними застосуваннями співвідношень Гауса. Мають місце формули диференціювання

 

Гіпергеометричне рівняння має 24 розв'язки виду

 

де  лінійні функції  , а   і   зв'язані дробово-лінійним перетворенням. Будь-які три розв'язки лінійно залежні. Існують квадратичні, кубічні і перетворення вищого порядку.

Неперервний (ланцюговий) дріб ГаусаРедагувати

Гаус використовував суміжні співвідношення, щоб дати декілька способів запису частки двох гіпергеометричних функцій у вигляді неперервного дробу, наприклад,

 

Формули перетворенняРедагувати

Формули перетворення пов'язують дві гіпергеометричні функції при різних значеннях аргументу  .

Дробові лінійні перетворенняРедагувати

Перетворення Ейлера

 

є комбінацією двох перетворень Пфаффа:

 
 

які в свою чергу випливають з інтегрального представлення Ейлера. Про узагальнення першого та другого перетворень Ейлера див. Раті й Паріс (2007)[9] та Раха і Раті (2011)[10]. Також гіпергеометричну функцію можна записати як лінійну комбінацію:

 

Квадратичні перетворенняРедагувати

Якщо два з чисел  ,  ,  ,  ,  ,   рівні або один з них дорівнює 1/2, то існує квадратичне перетворення гіпергеометричної функції, що з'єднує її з іншим значенням  , пов'язаним квадратним рівнянням. Перші приклади отримано Куммером (1836)[4], а повний перелік — Гурсом (1881)[11]. Типовим прикладом є

 

Перетворення вищого порядкуРедагувати

Якщо  ,  ,   відрізняються за знаком, або два з них дорівнюють   або  , то існує кубічне перетворення гіпергеометричної функції, що з'єднує її з іншим значенням  , пов'язаним кубічним рівнянням. Перші приклади отримано Гурсом (1881)[11]. Типовим прикладом є

 

Існують також деякі перетворення 4 та 6 степенів. Перетворення інших степенів існують лише в тому випадку, якщо  ,   та   є певними раціональними числами (Відунас 2005[12]). Наприклад,

 

Значення в спеціальних точках zРедагувати

Перелік формул підсумовування в спеціальних точках див. в монографії Слейтер (1966, додаток ІІІ)[13], більшість з яких вперше з'являються в роботі Бейлі (1935)[14]. Гессель та Стентон (1982)[15] дають подальші оцінки в більшій кількості точок. Коепф (1995)[16] показав як більшість із цих тотожностей можна перевірити за допомогою комп'ютерних алгоритмів.

Спеціальні значення при z=1Редагувати

Теорема про підсумовування Гауса, названа на честь Карла Фрідріха Гауса, є тотожністю

 

яка випливає з інтегральної формули Ейлера, якщо взяти  . Вона включає тотожність Вандермонда[en] як частинний випадок.

Для частинного випадку, де  ,

 

Формула Дугалла[en] узагальнює це співвідношення до двостороннього гіпергеометричного ряду[en] при  .

Теорема Куммера (z=-1)Редагувати

Є багато випадків, коли гіпергеометричні функції можна обчислити при  , використовуючи квадратичне перетворення для заміни   на  , а потім використовуючи теорему Гауса для обчислення результату. Типовим прикладом є теорема Куммера, яка була названа на честь Ернеста Куммера:

 

яка випливає з квадратичних перетворень Куммера

 

і теореми Гауса, якщо покласти   в першій тотожності. Про узагальнення підсумовування Куммера див. Лавуа, Грондін та Раті (1996)[17].

Значення при z=1/2Редагувати

Друга теорема Гауса про підсумовування:

 

Теорема Бейлі:

 

Щодо узагальнення другої теореми Гауса про підсумовування та теореми Бейлі про підсумовування див. Лавуа, Грондін та Раті (1996)[17].

Інші точкиРедагувати

Існує багато інших формул, що представляють гіпергеометричну функцію у вигляді алгебраїчного числа для спеціальних раціональних значень параметрів, деякі з яких наведені в роботах Гесселя і Стентона (1982)[15] та Коепфа (1995)[16]. Деякі типові приклади:

 

які можна представити як

 

де  , а   — (узагальнений) поліном Чебишова.

Асимптотична поведінка гіпергеометричної функціїРедагувати

При великих значеннях   гіпергеометрична функція повністю описується з допомогою формул, що дають аналітичне продовження в околі точки  . Якщо   — фіксовані числа і   достатньо велике  ,  , то при  :

 

При   є аналогічний вираз.

Представлення функцій через гіпергеометричну функціюРедагувати

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  • Повний еліптичний інтеграл першого роду:
     
  • Повний еліптичний інтеграл другого роду:
     
  • Многочлени Лежандра:
     
  • Приєднана функція Лежандра:
     
  • Функції Бесселя:
     

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Кузнецов Д. С.: Специальные функции — М.:«Высшая школа», 1962
  • Бейтмен Г., Эрдейи А.:Высшие трансцендентные функции, том 1, 2-е изд. — М.:«Наука», 1973
  • Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999). Special functions. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 71. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6. MR 168895
  • Beukers, Frits (2002), Gauss' hypergeometric function. (lecture notes reviewing basics, as well as triangle maps and monodromy)
  • Gasper, George & Rahman, Mizan (2004). Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4
  • Heckman, Gerrit & Schlichtkrull, Henrik (1994). Harmonic Analysis and Special Functions on Symmetric Spaces. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-336170-2. (part 1 treats hypergeometric functions on Lie groups)
  • Ince, E. L. (1944). Ordinary Differential Equations. Dover Publications
  • Klein, Felix (1981). Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (in German). 39. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN978-3-540-10455-1. MR0668700
  • Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. & Flannery, B.P. (2007). "Section 6.13. Hypergeometric Functions". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8
  • Slater, Lucy Joan (1966). Generalized hypergeometric functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. MR 0201688. (there is a 2008 paperback with ISBN 978-0-521-09061-2)
  • Wall, H.S. (1948). Analytic Theory of Continued Fractions. D. Van Nostrand Company, Inc.
  • Whittaker, E.T. & Watson, G.N. (1927). A Course of Modern Analysis. Cambridge, UK: Cambridge University Press
  • Yoshida, Masaaki (1997). Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces. Braunschweig – Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. ISBN 3-528-06925-2. MR 1453580

ПриміткиРедагувати

  1. Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz and Tricomi, Francesco G. (1953). Higher transcendental functions. Vol. I. New York - Toronto - London: McGraw-Hill Book Company, Inc. ISBN 978-0-89874-206-0. MR 0058756
  2. а б Olde Daalhuis, Adri B. (2010), "Hypergeometric function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
  3. Gauss, Carl Friederich (1813). "Disquisitiones generales circa seriem infinitam  ". Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores (in Latin). Göttingen. 2.
  4. а б Kummer, Ernst Eduard (1836). "Über die hypergeometrische Reihe  ". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German). 15: 39-83, 127-172. ISSN 0075-4102.
  5. Riemann, Bernhard (1857). "Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe   darstellbaren Functionen". Abhandlungen der Wissenschaften zu Göttingen (in German). Göttingen: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung. 7: 3-22.
  6. Hille, Einar (1976). Ordinary differential equations in the complex domain.Dover. ISBN 0-486-69620-0.
  7. Ince 1944, pp. 393–393
  8. Gelfand, I. M.; Gindikin, S.G. & Graev, M.I. (2003) [2000]. Selected topics in integral geometry. Translations of Mathematical Monographs. 220. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2932-5. MR 2000133.
  9. Rathie, Arjun K.; Paris, R.B. (2007). "An extension of the Euler's-type transformation for the 3F2 series". Far East J. Math. Sci. 27 (1): 43–48.
  10. Rakha, M.A.; Rathie, Arjun K. (2011). "Extensions of Euler's type-II transformation and Saalschutz's theorem". Bull. Korean Math. Soc. 48 (1): 151–156.
  11. а б Goursat, Édouard (1881). "Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique". Annales Scientifiques de l'école Normale Supérieure (in French). 10: 3–142. Retrieved 2008-10-16.
  12. Vidunas, Raimundas (2005). "Transformations of some Gauss hypergeometric functions". Journal of Symbolic Computation. 178: 473–487.
  13. Slater, Lucy Joan (1966). Generalized hypergeometric functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. MR 0201688.
  14. Bailey, W.N. (1935). Generalized Hypergeometric Series. Cambridge University Press. Archived from the original on 2017-06-24. Retrieved 2016-07-23.
  15. а б Gessel, Ira & Stanton, Dennis (1982). "Strange evaluations of hypergeometric series". SIAM Journal on Mathematical Analysis. 13 (2): 295–308. ISSN 0036-1410. MR 0647127.
  16. а б Koepf, Wolfram (1995). "Algorithms for m-fold hypergeometric summation". Journal of Symbolic Computation. 20 (4): 399–417. ISSN 0747-7171. MR 1384455.
  17. а б Lavoie, J. L.; Grondin, F.; Rathie, A.K. (1996). "Generalizations of Whipple's theorem on the sum of a  ". J. Comput. Appl. Math. 72: 293-300.

Зовнішні лінкиРедагувати