Відкрити головне меню
Ортогональні поліноми
Якобі
Відкриті Карла Густава Якоба Якобі в 1859 році
Формула
Диференціальне рівняння
Визначені на
Вага
Норма
Примітки

Поліноми Якобі — це клас ортогональних поліномів. Вони названі на честь Карла Густава Якоба Якобі.

ВизначенняРедагувати

Вони походять з гіпергеометричних функцій у тих випадках, коли наступні ряди кінцеві:

 

де   є символом Похгаммера (для зростаючого факторіалу), (Абрамович і Стегун стор.561) і, таким чином, явний вираз

 

Звідки одне з кінцевих значень наступне.

 

Для цілих  

 

де   — звичайна Гамма-функція, і

 

Ці поліноми задовольняють умові ортогональності.

 

для   і  .

Існує відношення сіметрії для поліномів Якобі.

 

а тому інше значення поліномів:

 

Для дійсного   поліном Якобі може бути записаний наступним чином.

 

де   і  . У спеціальному випадку, коли  ,  ,   і   — невід'ємні цілі, поліном Якобі може приймати наступний вигляд

 

Сума береться по всім цілим значенням  , для яких множники є невід'ємними.

Ця формула дозволяє виразити d-матрицю Вігнера   ( ) у термінах поліномів Якобі[1]

 

ПохідніРедагувати

k-та похідна явного виразу призводить до

 

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

ПосиланняРедагувати

  • Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special functions. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 71. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6; 978-0-521-78988-2 Перевірте значення |isbn= (довідка). MR1688958. 
  • Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. Orthogonal Polynomials. NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge University Press. ISBN 978-0521192255.