В математиці, G-функція що була введена Корнелісом Мейєром в 1936 році — дуже загальна функція, введена для того, що включити в себе більшість відомих спеціальних функцій як частковий випадок. Це не єдина спроба ввести таку функцію: the узагальнена гіпергеометрична функція та E-функція МакРоберта мають таку ж ціль, однак G-функція Мейєра включає і їх в себе як частковий випадок. Перше означення було зроблене Мейєром з допомогою рядів; сьогодні прийняте більш загальне означення з допомогою інтегралу вздовж траєекторії в комплексній множині, введене в своїй повній загальності by Arthur Erdélyi в 1953 році.

За сучасним означенням, більшість встановлених спеціальних функцій може бути виражено через G-функцію Мейєра. Чудовою властивістю також є те, що множина всіх G-функцій є замкнутою не лише відносно диференціювання але й відносно інтегрування. Разом з фактом що функціональне рівняння дозволяє вивільнити з G-функції G(z) будь-який фактор zρ з постійним степеним аргумента z, таке замикання приводить до того, що для будь-якої функції, що може бути виражена через G-функцію від добутку аргументів постійних степенів, f(x) = G(cxγ), похідна та первісна цієї функції f(x) теж виражається через G-функцію.

Ще більш загальною функцією, яка вводить додаткові параметри в G-функцію Мейєра є H-функція Фокса.

Означення G-функції МейєраРедагувати

Загальне означення G-фунеції Мейєра дається наступним криволінійним інтегралом в комплексній площині[1]:

 

де Γ позначає гамма-функцію. Цей інтеграл є інтегралом Мелліна-Барнса, і може розглядатись як зворотне перетворення Мелліна. Означення зроблене при наступних припущення:

  • 0 ≤ mq і 0 ≤ np, де m, n, p і q є цілими числами;
  • akbj ≠ 1, 2, 3, … для k = 1, 2, …, n і j = 1, 2, …, m, в результаті чого жоден з полюсів Γ(bjs), j = 1, 2, …, m, не матиме збігу з жодним з полюсів Γ(1 − ak + s), k = 1, 2, …, n
  • z ≠ 0

Представлення інших функцій через G-функціюРедагувати

Елементарні функціїРедагувати

Наступний список показує як елементарні функції виражаються через часткові випадки G-функції

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Тут, H це Функція Хевісайда.

ПриміткиРедагувати

  1. Bateman, H.; Erdélyi, A. (1953). Higher Transcendental Functions, Vol. I (PDF). New York: McGraw-Hill. (see § 5.3, «Definition of the G-Function», p. 206)