Перетворення Мелліна

Перетворення Мелліна — інтегральне перетворення, яке можна розглядати як мультиплікативну версію двостороннього перетворення Лапласа. Це інтегральне перетворення тісно пов'язане з теорією рядів Діріхле і часто використовується в теорії чисел і в теорії асимптотичних розкладів. Перетворення Мелліна тісно пов'язане з перетворенням Лапласа і перетворенням Фур'є, а також теорією гамма-функцій і теорією суміжних спеціальних функцій.

Перетворення названо на честь фінського математика Ялмара Мелліна.

Визначення

Пряме перетворення Мелліна задається формулою:

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx$.

Обернене перетворення — формулою:

$\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds$.

Передбачається, що інтегрування відбувається в комплексній площині. Умови, при яких можна робити перетворення, збігаються з умовами теореми оберненого перетворення Мелліна.

Зв'язок з іншими перетвореннями

Двосторонній інтеграл Лапласа може бути виражений через перетворення Мелліна:

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)$.

І навпаки: перетворення Мелліна виражається через двостороннє перетворення Лапласа формулою:

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s).$

Перетворення Фур'є може бути виражено через перетворення Мелліна формулою:

$\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)$.

Навпаки:

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(is)$.

Перетворення Мелліна також пов'язує інтерполяційні формули Ньютона або біноміальні перетворення з твірною функцією послідовності за допомогою циклу Пуассона — Мелліна — Ньютона.

Приклади

Інтеграл Каена — Мелліна

Якщо:

• $c>0,$
• $\Re (y)>0,$
• $y^{-s}$ де функція визначена за допомогою головної гілки логарифму,

то

$e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{ci\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds$,

де

$\Gamma (s)$ — гамма-функція.

Названий на честь Ялмара Мелліна і французького математика Ежена Каена.

Перетворення Мелліна для просторів Лебега

В гільбертовому просторі перетворення Мелліна можна задати трохи інакше. Для простору $L^{2}(0,\infty )$ будь-яка фундаментальна смуга включає в себе ${\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R}$. У зв'язку з цим можна задати лінійний оператор ${\tilde {\mathcal {M}}}$ як:

${\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx$.

Тобто:

$\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}-is)$.

Зазвичай цей оператор позначається ${\mathcal {M}}$ і називається перетворенням Мелліна, але тут і надалі ми будемо використовувати позначення ${\tilde {\mathcal {M}}}$.

Теорема про обернене перетворення Мелліна показує, що

${\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.$

Крім того, цей оператор є ізометричним, тобто

$\|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}$ для $\forall f\in L^{2}(0,\infty )$.

Це пояснює коефіцієнт ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$

Зв'язок з теорією ймовірностей

У теорії ймовірностей перетворення Мелліна є важливим інструментом для вивчення розподілу випадкових величин

Якщо:

• $D=\{s:a\leqslant \Re (s)\leqslant b\},$
• $a\leqslant 0\leqslant b,$
• $X$ — випадкова величина,
• $X^{+}=\max\{X,0\},$
• $X^{-}=\max\{-X,0\},$

то перетворення Мелліна задається як:

${\mathcal {M}}_{X}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+i\int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),$

де $i$ — уявна одиниця.

Перетворення Мелліна ${\mathcal {M}}_{X}(it)$ випадкової величини $X$ однозначно визначає її функцію розподілу $F_{x}$.

Застосування

Перетворення Мелліна є важливим для інформаційних технологій, особливо для розпізнавання образів.

Таблиця перетворень Мелліна

$f(t)\qquad |\;t\;>\;0$	$F(s)$	$S(s)$
$e^{-at}$	$a^{-s}\cdot \Gamma (s)$	$\Re \{s\}\;>\;0$
$u(t\;-\;a)\cdot t^{b}$	$-\;{\frac {a^{s+b}}{s\;+\;b}}$	$\Re \{s\}\;<\;-\;\Re \{b\}$
$u(a\;-\;t)\cdot t^{b}$	${\frac {a^{s+b}}{s\;+\;b}}$	$\Re \{s\}\;<\;-\;\Re \{b\}$
$\left[{\frac {}{}}u(t\;-\;a)\;-\;u(t)\right]\cdot t^{b}$	$-\;{\frac {a^{s+b}}{s\;+\;b}}$	$\Re \{-s\}\;>\;-\;\Re \{b\}$
${\frac {1}{1\;+\;t}}$	${\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}$	$0\;<\;\Re \{s\}\;<\;1$
${\frac {1}{(1\;+\;t)^{b}}}$	${\frac {\Gamma (s)\cdot \Gamma (b\;-\;s)}{\Gamma (b)}}$	$0\;<\;\Re \{s\}\;<\;\Re \{b\}$
${\frac {1}{1\;-\;t}}$	$\pi \;\cot(\pi s)$	$0\;<\;\Re \{s\}\;<\;1$
${\frac {1}{1\;+\;t^{2}}}$	${\frac {\pi }{2\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)}}$	${\displaystyle }$
$u(1\;-\;t)\cdot (1\;-\;t)^{z-1}$	${\frac {\Gamma (s)\cdot \Gamma (z)}{\Gamma (s\;+\;z)}}$	$\Re \{s\}\;>\;0$
$u(t\;-\;1)\cdot (t\;-\;1)^{-w}$	${\frac {\Gamma (w\;-\;s)\cdot \Gamma (1\;-\;w)}{\Gamma (1\;-\;s)}}$	$\Re \{s\}\;<\;\Re \{w\}$
$\sin(t)$	$\Gamma (s)\cdot \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)$	$-1\;<\;\Re \{s\}\;<\;1$
$\cos(t)$	$\Gamma (s)\cdot \cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)$	$0\;<\;\Re \{s\}\;<\;1$
$u(t\;-\;1)\cdot \sin \left({\frac {}{}}z\;\ln(t)\right)$	${\frac {z}{s^{2}\;+\;z^{2}}}$	$\Re \{s\}\;<\;-\left|{\frac {}{}}\Im \{z\}\right|$
$u(1\;-\;t)\cdot \sin \left({\frac {}{}}-\;z\;\ln(t)\right)$	${\frac {z}{s^{2}\;+\;z^{2}}}$	$\Re \{s\}\;>\;\left|{\frac {}{}}\Im \{z\}\right|$
$\left[u(t)\;-\;u(t\;-\;a)\right]\cdot \ln \left({\frac {a}{t}}\right)$	${\frac {a^{s}}{s^{2}}}$	$\Re \{s\}\;>\;0$
$\ln(t\;+\;1)$	${\frac {\pi }{s\cdot \sin(\pi s)}}$	$-1\;<\;\Re \{s\}\;<\;0$
$u(b\;-\;t)\cdot \ln(b\;-\;t)$	$-\;{\frac {b^{s}}{s}}\cdot \left[\Psi (s\;+\;1)\;+\;{\frac {\ln \gamma }{b}}\right]$	$\Re \{s\}\;>\;0$
${\frac {\ln(t\;+\;1)}{t}}$	${\frac {\pi }{(1\;-\;s)\cdot \sin(\pi s)}}$	$-1\;<\;\Re \{s\}\;<\;0$
$\ln \left|{\frac {1\;+\;t}{1\;-\;t}}\right|$	${\frac {\pi }{s}}\cdot \tan(\pi s)$	$-1\;<\;\Re \{s\}\;<\;1$
${\frac {1}{e^{t}\;-\;1}}$	$\Gamma (s)\cdot \zeta (s)$	$\Re \{s\}\;>\;1$
${\frac {1}{t}}\cdot e^{-{\frac {1}{t}}}$	$\Gamma (1\;-\;s)$	$-\infty \;<\;\Re \{s\}\;<\;1$
$e^{-x^{2}}$	${\frac {1}{2}}\;\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)$	$0\;<\;\Re \{s\}\;<\;1$
$e^{ibt}$	$b^{-s}\cdot \Gamma (s)\cdot e^{\frac {i\pi s}{2}}$	$0\;<\;\Re \{s\}\;<\;1$
$\delta (t\;-\;a)$	$a^{s-1}$	${\mathcal {C}}$
$\sum _{n=1}^{\infty }\delta (t\;-\;an)$	$a^{s-1}\cdot \zeta (1\;-\;s)$	$\Re \{s\}\;<\;0$
$t^{b}$	$\delta (b\;+\;s)$	$\emptyset$
де: $u(t)\,$ є функцією Гевісайда $\delta (x)\,$ є є дельта-функцією Дірака $\Psi (x)\,$ є Дигамма-функція $\zeta (x)\,$ — дзета-функція Рімана $a,b\in \mathbb {R} \;|\;a\;>\;0$ $z,w\in \mathbb {C} \;|\;\Re \{z\}\;>\;0\;\land \;\Re \{w\}\;<\;1$ $\gamma \,$ — константа Ейлера $S(s)$ — область визначення функції $F(s).$

Література

• R. B. Paris, Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001
• A. D. Polyanin, Handbook of Integral Equations, CRC Press, 2008 ISBN 978-0-2038-8105-7