Перетворення Мелліна

Перетворення Меллінаінтегральне перетворення, яке можна розглядати як мультиплікативну версію двостороннього перетворення Лапласа. Це інтегральне перетворення тісно пов'язане з теорією рядів Діріхле і часто використовується в теорії чисел і в теорії асимптотичних розкладів. Перетворення Мелліна тісно пов'язане з перетворенням Лапласа і перетворенням Фур'є, а також теорією гамма-функцій і теорією суміжних спеціальних функцій.

Перетворення названо на честь фінського математика Ялмара Мелліна.

ВизначенняРедагувати

Пряме перетворення Мелліна задається формулою:

 .

Обернене перетворення — формулою:

 .

Передбачається, що інтегрування відбувається в комплексній площині. Умови, при яких можна робити перетворення, збігаються з умовами теореми оберненого перетворення Мелліна.

Зв'язок з іншими перетвореннямиРедагувати

Двосторонній інтеграл Лапласа може бути виражений через перетворення Мелліна:

 .

І навпаки: перетворення Мелліна виражається через двостороннє перетворення Лапласа формулою:

 

Перетворення Фур'є може бути виражено через перетворення Мелліна формулою:

 .

Навпаки:

 .

Перетворення Мелліна також пов'язує інтерполяційні формули Ньютона або біноміальні перетворення з твірною функцією послідовності за допомогою циклу Пуассона — Мелліна — Ньютона.

ПрикладиРедагувати

Інтеграл Каена — МеллінаРедагувати

Якщо:

  •  
  •  
  •   де функція визначена за допомогою головної гілки логарифму,

то [1]

 ,
де
 гамма-функція.

Названий на честь Ялмара Мелліна і французького математика Ежена Каена.

Перетворення Мелліна для просторів ЛебегаРедагувати

В гільбертовому просторі перетворення Мелліна можна задати трохи інакше. Для простору   будь-яка фундаментальна смуга включає в себе  . У зв'язку з цим можна задати лінійний оператор   як:

 .

Тобто:

 .

Зазвичай цей оператор позначається   і називається перетворенням Мелліна, але тут і надалі ми будемо використовувати позначення  .

Теорема про обернене перетворення Мелліна показує, що

 

Крім того, цей оператор є ізометричним, тобто

  для  .

Це пояснює коефіцієнт  

Зв'язок з теорією ймовірностейРедагувати

У теорії ймовірностей перетворення Мелліна є важливим інструментом для вивчення розподілу випадкових величин

Якщо:

  •  
  •  
  •   — випадкова величина,
  •  
  •  

то перетворення Мелліна задається як:

 
де  уявна одиниця.

Перетворення Мелліна   випадкової величини   однозначно визначає її функцію розподілу  .

ЗастосуванняРедагувати

Перетворення Мелліна є важливим для інформаційних технологій, особливо для розпізнавання образів.

Таблиця перетворень МеллінаРедагувати

     
     
     
     
     
     
     
     
   
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
де:

ПриміткиРедагувати

  1. Hardy, GH; Littlewood, J. E.  // Acta Mathematica : journal. — 1916. — No. 1. — P. 119-196. — DOI:10.1007 / BF02422942. (See notes therein for further references to Cahen's and Mellin's work, including Cahen's thesis.)

ЛітератураРедагувати