Криволінійний інтеграл

Узагальненням визначеного інтеграла на випадок, коли областю інтегрування є деяка крива, буде так званий криволіні́йний інтегра́л.

Криволінійний інтеграл I роду

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини l. Роздивимось неперервну функцію f(x;y), задану в точках дуги AB. Розіб'ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,…, M_n=B на n довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму

$\sum _{i=1}^{n}f(x_{i};y_{i})\Delta l_{i}$.

Її називають інтегральною сумою для функції f(x;y) по кривій AB.

Нехай $\lambda =\max \Delta l_{i},1\leq i\leq n$ — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо $\lambda \rightarrow 0$ ($n\rightarrow \infty$) існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої AB, або криволінійним інтегралом I роду від функції f(x;y) по кривій AB і позначають

$\int _{AB}f(x;y)\,dl$ або $\int _{L}f(x;y)\,dl$.

Таким чином, за означенням

$\int _{AB}f(x;y)\,dl=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i};y_{i})\Delta l_{i}$.

Теорема про існування криволінійного інтеграла I роду

Якщо функція $f(x;y)$ неперервна в кожній точці гладкої кривої (в кожній точці $(x;y)\in L$ існує дотична до даної кривої і її положення неперервно змінюється при переміщенні точки по кривій), то криволінійний інтеграл I роду існує і його величина не залежить ні від способу розбиття кривої на частини, ні від вибору точок на них.

Властивості криволінійного інтеграла I роду

$1$. $\int _{AB}f(x;y)\,dl=\int _{BA}f(x;y)\,dl$, тобто криволінійний інтеграл I роду не залежить від напрямку інтегрування.

$2$. $\int _{L}c\cdot f(x;y)\,dl=c\cdot \int _{L}f(x;y)\,dl,c=const$, тобто сталий множник можна виносити за знак інтеграла.

$3$. $\int _{L}(f_{1}(x;y)\pm f_{2}(x;y))\,dl=\int _{L}f_{1}(x;y)\,dl\pm \int _{L}f_{2}(x;y)\,dl$, тобто інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів.

$4$. $\int _{L}f(x;y)\,dl=\int _{L_{1}}f(x;y)\,dl+\int _{L_{2}}f(x;y)\,dl$, якщо шлях інтегрування $L$ розбито на частини $L_{1}$ і $L_{2}$ такі, що $L=L_{1}\bigcup L_{2}$ і $L_{1}$ та $L_{2}$ мають єдину спільну точку.

$5$. Якщо для точок кривої $L$ виконується нерівність $f_{1}(x;y)\leq f_{2}(x;y)$, то $\int _{L}f_{1}(x;y)\,dl\leq \int _{L}f_{2}(x;y)\,dl$

$6$. $\int _{AB}\,dl=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\Delta l_{i}=l$, де $l$ - довжина кривої $AB$.

$7$. Якщо функція $f(x;y)$ неперервна на кривій $AB$, то на цій кривій знайдеться точка $(x_{c};y_{c})$ така, що $\int _{AB}f(x;y)\,dl=f(x_{c};y_{c})\cdot l$ (теорема про середнє).

Обчислення криволінійного інтеграла I роду

Параметричне задання кривої інтегрування

Нехай в тривимірному просторі задана гладка дуга $AB$ в параметричному вигляді:
$L={\breve {AB}}={\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}\alpha \ \leq \ t\leq \ \beta \$,
тобто $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ є неперервними на $[\alpha ;\beta ]$. То криволінійний інтеграл 1 роду по даній кривій: $\int _{L}^{}f(x,y,z)\,dl=\int _{\alpha \ }^{\beta \ }f(x(t),y(t),z(t)){\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}}\,dt$
Для двовимірного випадку:
$\int _{L}^{}f(x,y)\,dl=\int _{\alpha \ }^{\beta \ }f(x(t),y(t)){\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\,dt$

Явне задання кривої інтегрування

Явне задання кривої: $y=y(x)$, $x\in [a,b]$: f x y dl f x y x y x dx

Полярне задання кривої інтегрування

Нехай в полярній системі координат крива задана функцією
$\rho \ =\rho \ (\phi \ ),\phi _{1}\ \leq \ \phi \ \leq \ \phi _{2}\$

То криволінійний інтеграл 1-го роду по даній кривій:
$\int _{L}^{}f(x,y)\,dl=\int _{\phi _{1}\ }^{\phi _{2}\ }f(\rho \ (\phi \ )cos\phi \ ,\rho \ (\phi \ )sin\phi \ ){\sqrt {\rho ^{2}\ +(\rho \ '(\phi \ ))^{2}}}\,d\phi \$

Криволінійний інтеграл II роду

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини і функція P(x;y), визначена в кожній точці кривої. Розіб'ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,…, M_n=B в напрямі від точки A до точки B на n довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній елементарній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму

$\sum _{i=1}^{n}P(x_{i};y_{i})\Delta x_{i}$,

де $\Delta x_{i}-x_{i-1}$ — проєкція дуги M_i-1M_i на вісь Ox. Таку суму називають інтегральною сумою для функції P(x;y) по змінній x.

Нехай $\lambda =\max \Delta l_{i},1\leq i\leq n$ — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо $\lambda \rightarrow 0$ ($n\rightarrow \infty$) і існує скінченна границя інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття кривої AB і вибору точок (x_i;y_i), то її називають криволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P(x;y) по кривій AB і позначають

$\int _{AB}P(x;y)\,dl$ або $\int _{L}P(x;y)\,dl$.

Таким чином, за означенням

$\int _{AB}P(x;y)\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}P(x_{i};y_{i})\Delta x_{i}$.

Аналогічно виводиться інтеграл від функції Q(x;y) по координаті y:

$\int _{AB}Q(x;y)\,dy=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}Q(x_{i};y_{i})\Delta y_{i}$,

де $\Delta y_{i}$ — проєкція дуги M_i-1M_i на вісь Oy.

Криволінійний інтеграл II роду в загальному вигляді на площині:

$\int _{AB}P(x;y)\,dx+Q(x;y)\,dy=\int _{AB}P(x;y)\,dx+\int _{AB}Q(x;y)\,dy$

Криволінійний інтеграл II роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно:

$\int _{AB}P(x;y;z)\,dx+Q(x;y;z)\,dy+R(x;y;z)\,dz$

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)