Біноміальний ряд це ряд Маклорена для функції
f
(
x
)
=
(
1
+
x
)
α
{\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}
, де
α
∈
C
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }
і
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
. Біноміальний ряд є узагальненням полінома, який отримується зі співвідношення для біноміальної формули , наприклад,
(
1
+
x
)
n
{\displaystyle (1+x)^{n}}
для цілого невід'ємного числа
n
{\displaystyle n}
.
У явній формі записується так:
(
1
+
x
)
α
=
∑
k
=
0
∞
(
α
k
)
x
k
=
1
+
α
x
+
α
(
α
−
1
)
2
!
x
2
+
α
(
α
−
1
)
(
α
−
2
)
3
!
x
3
+
⋯
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\binom {\alpha }{k}}\;x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots .\end{aligned}}}
(1 )
де коефіцієнти степеневого ряду у правій частині виражаються через (узагальнені) біноміальні коефіцієнти
(
α
k
)
:=
α
(
α
−
1
)
(
α
−
2
)
⋯
(
α
−
k
+
1
)
k
!
.
{\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.}
Збіжність
ред.
Збіжність залежить від значень комплексних чисел
α
{\displaystyle \alpha }
і
x
{\displaystyle x}
. Точніше:
Якщо
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
, то ряд збігається абсолютно для будь-якого комплексного числа
α
{\displaystyle \alpha }
.
Якщо
|
x
|
=
1
{\displaystyle |x|=1}
, то ряд збігається абсолютно тоді й лише тоді , коли або
Re
(
α
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0}
, або
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
, де
Re
(
α
)
{\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )}
— дійсна частина числа~
α
{\displaystyle \alpha }
.
Якщо
|
x
|
=
1
{\displaystyle |x|=1}
і
x
≠
−
1
{\displaystyle x\neq -1}
, то ряд збігається тоді й лише тоді, коли
Re
(
α
)
>
−
1
{\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>-1}
.
Якщо
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
, то ряд збігається тоді й лише тоді, коли
Re
(
α
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0}
або
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
.
Якщо
|
x
|
>
1
{\displaystyle |x|>1}
, то ряд розбігається [en] , окрім випадків, коли
α
{\displaystyle \alpha }
є невід'ємним цілим числом, у цьому випадку ряд є скінченною сумою.
Зокрема, якщо
α
{\displaystyle \alpha }
не є цілим невід'ємним числом, ситуація на межі кругу збіжності ,
|
x
|
=
1
{\displaystyle |x|=1}
, визначається наступним чином:
Якщо
Re
(
α
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0}
, то ряд збігається абсолютно.
Якщо
−
1
<
Re
(
α
)
≤
0
{\displaystyle -1<\operatorname {Re} (\alpha )\leq 0}
, то ряд умовно збігається, якщо
x
≠
−
1
{\displaystyle x\neq -1}
, і розбігається, якщо
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
.
Якщо
Re
(
α
)
≤
−
1
{\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )\leq -1}
, то ряд розбігається.
Тотожності, які будуть використані в доведенні
ред.
Для будь-якого комплексного числа
α
{\displaystyle \alpha }
виконується наступне:
(
α
0
)
=
1
,
{\displaystyle {\alpha \choose 0}=1,}
(
α
k
+
1
)
=
(
α
k
)
α
−
k
k
+
1
,
{\displaystyle {\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}{\frac {\alpha -k}{k+1}},}
(2 )
(
α
k
−
1
)
+
(
α
k
)
=
(
α
+
1
k
)
.
{\displaystyle {\alpha \choose k-1}+{\alpha \choose k}={\alpha +1 \choose k}.}
(3 )
За умови, що
α
{\displaystyle \alpha }
є невід'ємним цілим числом (у цьому випадку біноміальні коефіцієнти перетворюються у нуль, якщо
k
{\displaystyle k}
більше ніж
α
{\displaystyle \alpha }
), корисне є наступне асимптотичне співвідношення для біноміальних коефіцієнтів у нотації Ландау :
(
α
k
)
=
(
−
1
)
k
Γ
(
−
α
)
k
1
+
α
(
1
+
o
(
1
)
)
,
при
k
→
∞
.
{\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-\alpha )k^{1+\alpha }}}(1+o(1)),\quad {\text{при }}k\to \infty .}
(4 )
Це, по суті, еквівалентно означенню Ейлера для гамма-функції :
Γ
(
z
)
=
lim
k
→
∞
k
!
k
z
z
(
z
+
1
)
⋯
(
z
+
k
)
,
{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)}},}
і відразу передбачає більш грубі оцінки:
m
k
1
+
Re
α
≤
|
(
α
k
)
|
≤
M
k
1
+
Re
α
,
{\displaystyle {\frac {m}{k^{1+\operatorname {Re} \alpha }}}\leq \left|{\alpha \choose k}\right|\leq {\frac {M}{k^{1+\operatorname {Re} \alpha }}},}
(5 )
для деяких додатних констант
m
{\displaystyle m}
і
M
{\displaystyle M}
.
Формулу (2 ) для узагальненого біноміального коефіцієнта можна переписати у вигляді
(
α
k
)
=
∏
j
=
1
k
(
α
+
1
j
−
1
)
.
{\displaystyle {\alpha \choose k}=\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {\alpha +1}{j}}-1\right).}
(6 )
Доведення
ред.
Щоб довести властивості (1) і (5), будемо застосовувати ознаку Даламбера та використовувати формулу (2 ), щоб показати, що завжди, якщо
α
{\displaystyle \alpha }
не є цілим невід'ємним числом, радіус збіжності дорівнює рівно 1. Властивість (2) випливає з формули (5 ) з використанням ознаки порівняння із p-рядомp-рядом
∑
k
=
1
∞
1
k
p
,
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{p}}},}
де
p
=
1
+
Re
α
{\displaystyle p=1+\operatorname {Re} \alpha }
. Щоб довести властивість (3), спочатку використаємо формулу (3 ), щоб отримати
(
1
+
x
)
∑
k
=
0
n
(
α
k
)
x
k
=
∑
k
=
0
n
(
α
+
1
k
)
x
k
+
(
α
n
)
x
n
+
1
,
{\displaystyle (1+x)\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1},}
(7 )
а потім знову використаємо властивість (2) і формулу (5 ), щоб довести збіжність правої частини, коли
Re
α
>
−
1
{\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >-1}
. З іншого боку, знову за формулою (5 ), ряд не збігається, якщо
|
x
|
=
1
{\displaystyle |x|=1}
і
Re
α
≤
−
1
{\displaystyle \operatorname {Re} \alpha \leq -1}
. Крім того, можна помітити, що для всіх
j
{\displaystyle j}
,
|
α
+
1
j
−
1
|
≥
1
−
Re
α
+
1
j
≥
1
{\textstyle \left|{\frac {\alpha +1}{j}}-1\right|\geq 1-{\frac {\operatorname {Re} \alpha +1}{j}}\geq 1}
. Таким чином, за формулою (6 ), для всіх
k
,
|
(
α
k
)
|
≥
1
{\textstyle k,\left|{\alpha \choose k}\right|\geq 1}
. Це завершує доведення властивості (3). Для доведення властивості (4) використовуємо тотожність (7 ), яка була описана вище, для
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
і
α
−
1
{\displaystyle \alpha -1}
замість
α
{\displaystyle \alpha }
, разом із формулою~(4 ), щоб отримати
∑
k
=
0
n
(
α
k
)
(
−
1
)
k
=
(
α
−
1
n
)
(
−
1
)
n
=
1
Γ
(
−
α
+
1
)
n
α
(
1
+
o
(
1
)
)
,
якщо
n
→
∞
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\alpha \choose k}(-1)^{k}={\alpha -1 \choose n}(-1)^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1)),\quad {\text{якщо }}n\to \infty .}
Властивість (4) тепер випливає з асимптотичної поведінки послідовності
n
−
α
=
e
−
α
log
(
n
)
{\displaystyle n^{-\alpha }=\mathrm {e} ^{-\alpha \log(n)}}
(Звичайно
|
e
−
α
log
n
|
=
e
−
Re
α
log
n
{\displaystyle \left|\mathrm {e} ^{-\alpha \log n}\right|=\mathrm {e} ^{-\operatorname {Re} \alpha \log n}}
збігається до
0
{\displaystyle 0}
, якщо
Re
α
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >0}
та розбігається до
+
∞
{\displaystyle +\infty }
, якщо
Re
α
<
0
{\displaystyle \operatorname {Re} \alpha <0}
. Якщо
Re
α
=
0
{\displaystyle \operatorname {Re} \alpha =0}
, тоді
n
−
α
=
e
−
i
Im
α
log
n
{\displaystyle n^{-\alpha }=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \operatorname {Im} \alpha \log n}}
збігається тоді й лише тоді, коли послідовність
Im
α
log
n
{\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \log n}
збігається
mod
2
π
{\displaystyle \operatorname {mod} 2\pi }
, що, звичайно, вірно, якщо
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
, але невірно, якщо
Im
α
≠
0
{\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \neq 0}
: в останньому випадку послідовність збігається
mod
2
π
{\displaystyle \operatorname {mod} 2\pi }
, з огляду на те, що
log
n
{\displaystyle \log n}
розбігається і
log
(
n
+
1
)
−
log
n
{\displaystyle \log(n+1)-\log n}
збігається до нуля).
Підсумовування біноміального ряду
ред.
Звичайний спосіб обчислення суми біноміального ряду полягає в наступному. Почленно продиференціювавши біноміальний ряд в межах радіуса збіжності
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
і використавши формули (1 ), отримаємо, що сума ряду є аналітичною функцією , яка є розв'язком звичайного диференціального рівняння
(
1
+
x
)
u
′
(
x
)
−
α
u
(
x
)
=
0
{\displaystyle (1+x)u'(x)-\alpha u(x)=0}
з початковою умовою [en]
u
(
0
)
=
1
{\displaystyle u(0)=1}
. Єдиним розв'язком цієї задачі є функція
u
(
x
)
=
(
1
+
x
)
α
{\displaystyle u(x)=(1+x)^{\alpha }}
. Дійсно, використавши інтегрувальний множник
(
1
+
x
)
−
α
−
1
{\displaystyle (1+x)^{-\alpha -1}}
, отримаємо
0
=
(
1
+
x
)
−
α
u
′
(
x
)
−
α
(
1
+
x
)
−
α
−
1
u
(
x
)
=
[
(
1
+
x
)
−
α
u
(
x
)
]
′
.
{\displaystyle 0=(1+x)^{-\alpha }u'(x)-\alpha (1+x)^{-\alpha -1}u(x)={\big [}(1+x)^{-\alpha }u(x){\big ]}'.}
Отже, функція
(
1
+
x
)
−
α
u
(
x
)
{\displaystyle (1+x)^{-\alpha }u(x)}
є константою, яка, згідно з початковою умовою, дорівнює~1. Тобто
u
(
x
)
=
(
1
+
x
)
α
{\displaystyle u(x)=(1+x)^{\alpha }}
є сумою біноміального ряду для
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
. Рівність поширюється на
|
x
|
=
1
{\displaystyle |x|=1}
завжди, коли ряд збігається, як наслідок теореми Абеля та неперервності функції
(
1
+
x
)
α
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }}
.
Від'ємний біноміальний ряд
ред.
Із біноміальним рядом тісно пов'язаний від'ємний біноміальний ряд , визначений рядом Маклорена для функції
g
(
x
)
=
(
1
−
x
)
−
α
{\displaystyle g(x)=(1-x)^{-\alpha }}
, де
α
∈
C
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }
і
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
.
Формулу ряда можна записати як:
1
(
1
−
x
)
α
=
∑
k
=
0
∞
g
(
k
)
(
0
)
k
!
x
k
=
1
+
α
x
+
α
(
α
+
1
)
2
!
x
2
+
α
(
α
+
1
)
(
α
+
2
)
3
!
x
3
+
⋯
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{(1-x)^{\alpha }}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\frac {g^{(k)}(0)}{k!}}x^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha +1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)}{3!}}x^{3}+\cdots ,\end{aligned}}}
Де мультимножинний коефіцієнт :
(
(
α
k
)
)
:=
(
α
+
k
−
1
k
)
=
α
(
α
+
1
)
(
α
+
2
)
⋯
(
α
+
k
−
1
)
k
!
.
{\displaystyle \left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right):={\alpha +k-1 \choose k}={\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +k-1)}{k!}}.}
Спеціальні випадки
ред.
Якщо
α
{\displaystyle \alpha }
- невід'ємне ціле число
n
{\displaystyle n}
, то член
x
n
+
1
{\displaystyle x^{n+1}}
і всі наступні члени ряду дорівнюють
0
{\displaystyle 0}
, оскільки кожен добуток містить множник
(
n
−
n
)
{\displaystyle (n-n)}
.
В такому випадку, у цьому випадку ряд скінченний, а коефіцієнти представлляють собою алгебраїчну біноміальну формулу коефіцієнтів.
(
n
k
)
=
C
n
k
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle {n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}}}
Якщо
α
{\displaystyle \alpha }
є натуральним числом, то очевидними є кілька спеціальних послідовностей.
У випадку, якщо
α
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
, то отримаємо ряд
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
{\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots }
, де коефіцієнт кожного члена ряду дорівнює 1.
У випадку
α
=
2
{\displaystyle \alpha =2}
отримаємо ряд
1
+
2
x
+
3
x
2
+
4
x
3
+
⋯
{\displaystyle 1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots }
, який має натуральні числа як коефіцієнти.
У випадку
α
=
3
{\displaystyle \alpha =3}
отримаємо ряд
1
+
3
x
+
6
x
2
+
10
x
3
+
⋯
{\displaystyle 1+3x+6x^{2}+10x^{3}+\cdots }
, який має трикутні числа як коефіцієнти.
У випадку
α
=
4
{\displaystyle \alpha =4}
отримаємо ряд
1
+
4
x
+
10
x
2
+
20
x
3
+
⋯
{\displaystyle 1+4x+10x^{2}+20x^{3}+\cdots }
, який має тетраедричні числа як коефіцієнти, і аналогічно для вищих наткральних значень
α
{\displaystyle \alpha }
.
Від'ємний біноміальний ряд включає випадок геометричного ряду , тобто степеневого ряду [1]
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}
(це від'ємний біноміальний ряд, якщо
α
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
, що збігається у крузі
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
), та в більш загальному випадку, ряди, отримані диференціюванням геометричних степеневих рядів:
1
(
1
−
x
)
n
=
1
(
n
−
1
)
!
d
n
−
1
d
x
n
−
1
1
1
−
x
,
{\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{n}}}={\frac {1}{(n-1)!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} x^{n-1}}}{\frac {1}{1-x}},}
де
α
=
n
{\displaystyle \alpha =n}
— натуральне число.[2]
Перші результати щодо біноміальних рядів для показників, відмінних від натуральних чисел, були дані Ісааком Ньютоном під час дослідження площ , утворених під певними кривими. Джон Уолліс спирався на цю роботу, розглядаючи вирази у формі
y
=
(
1
−
x
2
)
m
{\displaystyle y=(1-x^{2})^{m}}
, де
m
{\displaystyle m}
— дріб. Він показав, що послідовні коефіцієнти
c
k
{\displaystyle c_{k}}
від
(
−
x
2
)
k
{\displaystyle (-x^{2})^{k}}
можна знайти шляхом множення попереднього коефіцієнта на
m
−
(
k
−
1
)
k
{\displaystyle {\frac {m-(k-1)}{k}}}
(як у випадку цілих степенів), тим самим неявно даючи формулу для цих коефіцієнтів. Він явно представив наступні випадки[a]
(
1
−
x
2
)
1
/
2
=
1
−
x
2
2
−
x
4
8
−
x
6
16
−
⋯
,
{\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}-\cdots ,}
(
1
−
x
2
)
3
/
2
=
1
−
3
x
2
2
+
3
x
4
8
+
x
6
16
+
⋯
,
{\displaystyle (1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}+\cdots ,}
(
1
−
x
2
)
1
/
3
=
1
−
x
2
3
−
x
4
9
−
5
x
6
81
−
⋯
.
{\displaystyle (1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}-\cdots .}
Тому біноміальний ряд іноді називають біноміальною теоремою Ньютона . Ньютон не наводив жодних доведень і не говорив чітко про природу цього ряду. Пізніше, у 1826 році, Нільс Хенрік Абель обговорював цю тему в статті, опублікованій у Журналі Крелла [en] , зокрема розглядаючи питання збіжності.
Див. також
ред.
Примітки
ред.
↑ Насправді цей підхід дає всі непостійні члени з від'ємним знаком, що не є правильним для другого рівняння; треба припустити, що це помилка транскрипції.
Література
ред.
Abel, Niels (1826), Recherches sur la série 1 + (m /1)x + (m (m − 1)/1.2)x2 + (m (m − 1)(m − 2)/1.2.3)x 3 + … , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1 : 311—339
Coolidge, J. L. (1949), The Story of the Binomial Theorem, The American Mathematical Monthly , 56 (3): 147—157, doi :10.2307/2305028 , JSTOR 2305028
Посилання
ред.