Відкрити головне меню

Теорема Абеля — результат теорії степеневих рядів, названий на честь норвезького математика Нільса Абеля.

ТвердженняРедагувати

Нехай   — степеневий ряд з комплексними коефіцієнтами і радіусом збіжності  .

Якщо ряд   є збіжним, тоді :

 .

ДоведенняРедагувати

Заміною змінних  , можна вважати  . Також (необхідним підбором  ) можна припустити  . Позначимо   часткові суми ряду  . Згідно з припущенням   і потрібно довести, що  .

Розглянемо  . Тоді (прийнявши  ) :

 

Звідси одержується  .

Для довільного   існує натуральне число  , що   для всіх  , тому :

 

Права частина прямує до   коли   прямує до 1, зокрема вона є меншою   при прямуванні   до 1.

ПрикладиРедагувати

Приклад 1Редагувати

Візьмемо  . Оскільки ряд   збігається, маємо:

 

Приклад 2Редагувати

Візьмемо  . Ряд   збігається, тому :

 

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати