Теорема Абеля (аналіз)

Теорема Абеля — результат теорії степеневих рядів, названий на честь норвезького математика Нільса Абеля.

Твердження

Нехай $\textstyle f(x)=\sum _{n\geqslant 0}a_{n}x^{n}$ — степеневий ряд з комплексними коефіцієнтами і радіусом збіжності $R$.

Якщо ряд $\textstyle \sum _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}$ є збіжним, тоді :

$\lim _{x\to R^{-}}f(x)=\sum _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}$.

Доведення

Заміною змінних $u=x/R$, можна вважати $R=1$. Також (необхідним підбором $a_{0}$) можна припустити $\textstyle \sum a_{n}=0$. Позначимо $S_{n}$ часткові суми ряду $\textstyle \sum a_{n}$. Згідно з припущенням $\lim _{n\to \infty }S_{n}=0$ і потрібно довести, що $\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=0$.

Розглянемо $x\in [0,1]$. Тоді (прийнявши $S_{-1}=0$) :

$\sum _{n=0}^{N}(S_{n}-S_{n-1})x^{n}=\sum _{n=0}^{N}S_{n}(x^{n}-x^{n+1})+S_{N}x^{N+1}.$

Звідси одержується $\textstyle f(x)=(1-x)\sum _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n}$.

Для довільного $\varepsilon >0$ існує натуральне число $N_{0}$, що $|S_{n}|\leq \varepsilon$ для всіх $n>N_{0}$, тому :

$\vert f(x)\vert \leqslant (1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +(1-x)\ \varepsilon \sum _{n=N_{0}+1}^{\infty }x^{n}=(1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +\varepsilon x^{N_{0}+1}.$

Права частина прямує до $\varepsilon$ коли $x$ прямує до 1, зокрема вона є меншою $2\varepsilon$ при прямуванні $x$ до 1.

Приклади

Приклад 1

Візьмемо $\textstyle f(x)=\sum _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\ln(1+x)$. Оскільки ряд $\textstyle \sum _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$ збігається, маємо:

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\ln 2=\sum _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

Приклад 2

Візьмемо $\textstyle g(x)=\sum _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan(x)$. Ряд $\textstyle \sum _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$ збігається, тому :

$\lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Нільса Генріка Абеля

Посилання

• Абеля теореми. Вебсайт Великої української енциклопедії (укр.).
• Abel summability на PlanetMath.(англ.) (a more general look at Abelian theorems of this type)
• Weisstein, Eric W. Abel's Convergence Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.