Ознаки збіжності

Ознаки збіжності рядів — ознаки, що доводять або спростовують збіжність числового ряду. Нехай дано ряд

$U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}+\dots +U_{n}+\cdots .\qquad (1)$

Частковими сумами цього ряду будуть:

$S_{1}=U_{1},\qquad S_{2}=U_{1}+U_{2},\qquad S_{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3},\qquad \dots ,\qquad S_{n}=U_{1}+U_{2}+\dots +U_{n}.$

Ряд (1) є збіжним, якщо існує скінченна границя послідовності його часткових сум, тобто

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=S.$

Число $S$ є сумою ряду, отже:

$U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}+\dots +U_{n}+\dots =\sum _{n=1}^{\infty }U_{n}=S.$

Коли ж границя часткових сум не існує або дорівнює нескінченності, то ряд є розбіжним.

Класифікація ознак збіжності

Ознаки збіжності рядів поділяються на необхідні й достатні.

Необхідна умова збіжності означає:

• якщо вона виконується, то ряд може бути або збіжним або розбіжним,
• якщо вона не виконується, то ряд є розбіжним.

Можна сказати, що необхідна умова збіжності ряду є достатньою умовою його розбіжності.

Достатня умова збіжності означає:

• якщо вона виконується, то ряд є збіжним,
• якщо вона не виконується, то ряд може бути або збіжним або розбіжним.

У залежності від того, збіжність яких рядів доводиться, ознаки поділяються на ознаки збіжності для знакододатних рядів, знакопереміжних рядів, функціональних рядів, рядів Фур'є.

Список ознак

Необхідна умова збіжності

Якщо границя послідовності утвореної членами ряду є невизначеною або відмінною від нуля, так що $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$, то ряд є розбіжним. У цьому сенсі, часткові суми ряду утворюють фундаментальну послідовність лише тоді , коли ця границя існує та рівна нулю. Ця ознака не є достатньою: про збіжність або розбіжність ряду не можна стверджувати на основі цієї ознаки, якщо граничне значення члену ряду рівне нулю.

Критерій збіжності

Додатній ряд $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ збігається тоді й лише тоді, коли послідовність його часткових сум $S(n)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ обмежена зверху.

Ознаки порівняння

Якщо ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n}$ є абсолютно збіжним та $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ для достатньо великих $n$, то ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}$ є абсолютно збіжним.

Якщо $\{a_{n}\},\{b_{n}\}>0$ (тобто всі елементи обох послідовностей додатні) та границя $\lim \limits _{t\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ існує, є скінченною та відмінною від нуля, тоді ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}$ є розбіжним тоді й лише тоді, коли ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n}$ є розбіжним.

Ознака д'Аламбера

Припустимо, що існує таке $r$, що $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

Якщо $r<1$, то ряд є абсолютно збіжним. Якщо $r>1$, то ряд є розбіжним. Якщо $r=1$, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

Радикальна ознака Коші

Нехай $r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$ де $\limsup$ позначає верхню границю послідовності (можливо $\infty$; якщо границя існує, то вона має таке ж значення).

Якщо $r<1$, то ряд є збіжним. Якщо $r>1$, то ряд є розбіжним. Якщо $r=1$, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Радикальна ознака є більш сильною ніж ознака д'Аламбера: якщо збіжність (розбіжність) доведена на основі ознаки д'Аламбера то вона завжди може бути доведена і на основі радикальної ознаки Коші , але не навпаки. Наприклад, ряд $1+1+0{,}5+0{,}5+0{,}25+0{,}25+0{,}125+0{,}125+\cdots =4$ є збіжним за радикальною ознакою, але за ознакою д'Аламбера про збіжність (розбіжність) цього ряду стверджувати не можна.

Інтегральна ознака Маклорена — Коші

Ряд можна порівнювати із інтегралом, для того, щоб визначити збіжність або розбіжність. Нехай $f\colon [1,\infty )\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ невід'ємна та монотонно-спадна функція, така що $f(n)=a_{n}$. Якщо $\int _{1}^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,{\rm {d}}x<\infty ,$ то ряд є збіжним. Але якщо інтеграл є розбіжним, то ряд також є розбіжним. Іншими словами, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}$ є збіжним тоді і лише тоді, коли відповідний невласний інтеграл є збіжним.

Ознака збіжності узагальнених гармонічних рядів

Загальновживаним наслідком інтегральної ознаки є ознака збіжності для узагальненого гармонічного ряду. Нехай $k>0$. Тоді $\sum _{n=k}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{p}}}\right)$ збігається, якщо $p>1$. При $p=1$, $k=1$ отримуємо гармонічний ряд, який є розбіжним. При $p=2$, $k=1$ отримуємо ряд обернених квадратів (задача Базеля) і цей ряд є збіжним до ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$. У загальному випадку, для $p>1$, $k=1$ ряд співпадає з дзета-функцією Рімана від $p$, тобто $\zeta (p)$.

Ознака стиснення Коші

Нехай $\{a_{n}\}$ є незростаючою послідовністю. Тоді сума $A=\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}$ збігається тоді і лише тоді, коли сума $A^{*}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$ збігається. Більше того, якщо вони збігаються, то справедлива нерівність $A\leq A^{*}\leq 2A$.

Ознака Абеля

Нехай справедливі наступні твердження:

• $\sum a_{n}$ – збіжний ряд,
• $\{b_{n}\}$ є монотонною послідовністю та
• $\{b_{n}\}$ є обмеженою.

Тоді ряд $\sum a_{n}b_{n}$ також є збіжним.

Ознака абсолютної збіжності

Будь-який абсолютно збіжний ряд є збіжним.

Ознака Лейбніца

Припустимо, що справедливі наступні твердження:

• $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0$ та
• для будь-якого $n$, $a_{n+1}\leq a_{n}$.

Тоді ряди $\sum \limits _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$ та $\sum \limits _{n=k}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}$ є збіжними.

Ознака Діріхле

Якщо $\{a_{n}\}$ послідовність дійсних чисел та $\{b_{n}\}$ послідовність комплексних чисел, які задовольняють такі умови:

• $a_{n}\geq a_{n+1}$,
• $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0$,
• ${\bigg |}\sum \limits _{n=1}^{N}b_{n}{\bigg |}\leq M$, для всякого натурального $N$,

де $M$ – деяка стала, тоді ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ є збіжним.

Ознака Раабе–Дюамеля

Нехай $a_{n}>0$. Визначимо $b_{n}$ як $b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}-1}}\right),$ якщо $L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ існує, то можливі такі варіанти:

• $L>1$ — ряд є збіжним,
• $L<1$ — ряд є розбіжним,
• $L=1$ — за ознакою не можна стверджувати про збіжність (розбіжність) ряду.

Існує альтернативне формулювання цієї ознаки. Нехай $\{a_{n}\}$ - послідовність дійсних чисел. Тоді, якщо існують такі $b>1$ та $K$ (натуральне число), що

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}$, для всіх $n>K,$

то ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}$ є збіжним.

Ознака Бертрана

Нехай $\{a_{n}\}$ послідовність додатних чисел. Визначимо $b_{n}$ як

$b_{n}=\ln {n}\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right).$

Якщо

$L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

існує, то можливі такі випадки:

• $L>1$ — ряд є збіжним,
• $L<1$ — ряд є розбіжним,
• $L=1$ — за ознакою не можна стверджувати про збіжність (розбіжність) ряду.

Ознака Гауса

Нехай $\{a_{n}\}$ послідовність додатних чисел. Якщо ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n^{\beta }}}\right),$ для певного $\beta >1$, то ряд $\sum a_{n}$ є збіжним, якщо $\alpha >1$, і є розбіжним, якщо $\alpha \leq 1$.

Ознака Куммера

Нехай { a_n } - послідовність додатніх чисел. Тоді:

(1) $\sum a_{n}$ є збіжним тоді і тільки тоді коли існує послідовність $b_{n}$ додатніх чисел і дійсне число c > 0 таке що $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\geq c$.

(2) $\sum a_{n}$ є розбіжним тоді і тільки тоді коли існує послідовність $b_{n}$ додатніх чисел таких що $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0$

і $\sum 1/b_{n}$ розбігається.

Примітки

• Для деяких особливих типів рядів є більш спеціалізовані ознаки. Наприклад, для рядів Фур'є існує ознака Діні.

Приклади

Розглянемо ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.$

(i)

З ознаки стиснення Коші випливає, що (i) є скінченно збіжним, якщо

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }$

(ii)

є скінченно збіжним. Оскільки

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-na}=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-a)n},$

то (ii) є геометричним рядом зі знаменником $2^{(1-\alpha )}$. (ii) є скінченно збіжним, коли знаменник геометричного ряду менший від одиниці (а саме, коли $\alpha >1$). Отже, (i) є скінченно збіжним тоді і лише тоді, коли $\alpha >1$.

Збіжність добутків

Хоча більшість ознак визначають збіжність (розбіжність) нескінченних рядів, вони також можуть бути застосовані для визначення збіжності чи розбіжності нескінченних добутків. Цього можна досягти шляхом застосування наступної теореми: нехай $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ послідовність додатних чисел. Тоді нескінченний добуток

$\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ є збіжним тоді і лише тоді, коли ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\quad {\text{є збіжним.}}$ Аналогічно, якщо виконується умова $0<a_{n}<1$, то $\prod \limits _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})$ прямує до відмінної від нуля границі тоді і лише тоді, коли ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}$ є збіжним. Це може бути доведено за допомогою логарифмування добутку та застосування ознаки граничного порівняння.

Див. також

• Числовий ряд
• Абсолютна збіжність
• Правило Лопіталя
• Правило зсуву

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)
• Wachsmuth, Bert G. «MathCS.org — Real Analysis: Ratio Test»[1]. www.mathcs.org.
• František Ďuriš, Infinite series: Convergence tests, pp. 24–9. Bachelor's thesis
• Weisstein, Eric W. Ознаки збіжності(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• «Gauss criterion»[2], «Encyclopedia of Mathematics», «EMS Press», 2001 [1994]
• Belk, Jim (26 January 2008)."Convergence of Infinite Products"[3]
• The Calculus, with Analytic Geometry (вид. 2nd). New York: Harper & Row. 1972. с. 655–737. ISBN 0-06-043959-9.

Посилання

• Вища математика, О. І. Оглобліна, Л. І. Брацихіна
• Flowchart for choosing convergence test