Ознака Діні

У математиці ознаки Діні та Діні–Ліпшіца є високоточними, вони використовуються для доведення збіжності ряду Фур’є в заданій точці. Ознаки названі на честь Уліса Діні та Рудольфа Ліпшіца.

Означення ред.

Нехай $f$ — функція, що задана на відрізку $[0,2\pi ]$ , $t$ — деяка точка та $\delta$ — додатне число. Визначимо локальний модуль неперервності в точці $t$ як

\left.\right.\omega _{f}(\delta ;t)=\max _{|\varepsilon |\leq \delta }|f(t)-f(t+\varepsilon )|.

Зауважимо, що $f$ розглядається як періодична функція; наприклад, якщо $t=0$ i $\varepsilon <0$ , тоді вважаємо, що $f(\varepsilon )=f(2\pi +\varepsilon )$ .

Глобальний модуль неперервності (або просто модуль неперервності^[en]) визначається як

\omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t).

За допомогою цих визначень можемо сформулювати основний результат:

Теорема (ознака Діні): Нехай у точці $t$ функція $f$ задовольняє умову

\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\omega _{f}(\delta ;t)\,\mathrm {d} \delta <\infty .

Тоді ряд Фур’є функції $f$ у точці $t$ збігається до функції $f(t)$

Наприклад, теорема справедлива при $\omega _{f}=\log ^{-2}\left({\frac {1}{\delta }}\right)$ , але несправедлива при $\omega _{f}=\log ^{-1}\left({\frac {1}{\delta }}\right)$ .

Теорема (ознака Діні–Ліпшіца): Нехай функція $f$ задовольняє умову

\omega _{f}(\delta )=o\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.

Тоді ряд Фур’є функції $f$ рівномірно збігається до $f$ .

Зокрема, будь-яка функція з класу Гельдера задовольняє ознаку Діні–Ліпшіца.

Точність ред.

Обидві ознаки є найкращими у своєму роді. Для ознаки Діні–Ліпшіца можна побудувати функцію з модулем неперервності, що задовольняє ознаку з точністю асимптотичної оцінки $O$ замість $o$ , тобто

\omega _{f}(\delta )=O\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1},

i ряд Фур’є функції $f$ розходиться. Для ознаки Діні, твердження щодо точності є трошки довшим: для будь-якої функції $\delta$ такої, що

\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\Omega (\delta )\,\mathrm {d} \delta =\infty

існує така функція $f$ , що

\omega _{f}(\delta ;0)<\Omega (\delta ),

i ряд Фур’є функції $f$ розходиться у точці $0$ .

Модифікована ознака Діні ред.

Справедлива також модифікація ознаки Діні на випадок, коли функція $f$ має розрив у точці $t$ , але тим не менш, її звуження на проміжках $(t-\varepsilon ,t)$ та $(t,t+\varepsilon )$ можуть бути продовженими до функції, що задовольняють ознаку Діні.

Нехай $f_{+}$ , $f_{-}$ — деякі числа. Покладемо для $\delta >0$

\omega _{f,f_{+}}^{+}(t,\delta ):=\sup \limits _{s\in (t,t+\delta )}|f(s)-f_{+}|,

\omega _{f,f_{-}}^{-}(t,\delta ):=\sup \limits _{s\in (t-\delta ,t)}|f(s)-f_{-}|.

Якщо числа $f_{+}$ , $f_{-}$ та функція $f$ такі, що

{\begin{aligned}&\int \limits _{0+}\limits {\frac {\omega _{f,f_{+}}^{+}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty ,\\&\int \limits _{0+}\limits {\frac {\omega _{f,f_{-}}^{-}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty ,\end{aligned}}

то ряд Фур’є функції $f$ у точці $t$ збігається до ${\frac {f_{+}+f_{-}}{2}}$ .

Приклад застосування ознаки Діні: сума обернених квадратів ред.

Розглянемо періодичне продовження функції $x^{2}$ з проміжку $[-\pi ,\pi )$ :

f(x)=\left(\pi \left\{{\frac {x}{\pi }}\right\}\right)^{2},

де фігурні дужки позначають дробову частину числа. Нескладно знайти розклад цієї функції в ряд Фур’є:

f(x)\sim {\frac {\pi ^{2}}{3}}+4\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}\cos nx.

Підставляючи $x=0$ та $x=\pi$ , i користуючись для обґрунтування точкової збіжності відповідно звичайною та модифікованою ознакою Діні, отримаємо наступні рівності: