Ознака збіжності Коші

Ознака збіжності Коші — ознака збіжності числових рядів:

Ряд $\sum a_{k}$ збігається тоді і тільки тоді, коли

$\forall \,\epsilon >0,\exists \,\nu _{\epsilon },\forall n,\forall p,$

$n\geqslant \,\nu _{\epsilon }\rightarrow \left|\sum _{k=1}^{p}{a_{n+k}}\right|\leqslant \epsilon .(1)$

Доведення

Послідовність $(s_{n})$ часткових сум ряду $\sum a_{k}$ збігається тоді і тільки тоді коли вона є фундаментальною, тобто

$\forall \,\epsilon >0,\exists \,\nu _{\epsilon },\forall n,\forall p,$

$n\geqslant \,\nu _{\epsilon }\Rightarrow \left|s_{n+p}-s_{n}\right|\leqslant \epsilon ,$

що є рівним умові $(1),$ так як $s_{n+p}-s_{n}=a_{n+1}+...+a_{n+p}.$

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)