Ряд (математика)

Ряд — в математиці, це операція додавання нескінченної кількості величин, послідовно одна за одною, починаючи із заданої величини.

Для кожного ряду зазвичай розглядають послідовності часткових сум (ряду) та елементів (ряду).

Розглядаються числові ряди двох видів:

• Дробові числові ряди — вивчаються в математичному аналізі;
• Комплексні числові ряди — вивчаються в комплексному аналізі;

Важливіше питання дослідження числових рядів — це збіжність числових рядів. Числові ряди застосовуються як система наближень до чисел. Узагальненням поняття ряду є поняття подвійного ряду.

Тривалий час, думка про те, що така потенційно нескінченна сума може мати скінченний результат, математиками і філософами розглядалася як парадокс. Цей парадокс було вирішено з виникненням поняття границі під час 19-го століття. Парадокс Зенона про Ахілла та черепаху ілюструє цю контрінтуїтивну властивість скінченних рядів: Ахілл біжить услід за черепахою, але коли він наздоганяє черепаху на початку гонки, вона вже досягає другої позиції; коли він досягає другої позиції черепахи, вона буде вже на третій позиції, і так далі. Зенон розрахував, що Ахілл ніколи не зможе досягнути черепаху, і що таким робом такого моменту не існує. Зенон розділив цю гонку на нескінченно велику кількість частин гонки, кожна з яких займає скінченну частину часу, так, що загальний час, за який Ахілл добіжить до черепахи, заданий рядом. Вирішенням цього парадоксу є те, що, хоча ряд має нескінченно велику кількість елементів, він має скінченну суму, яка і є тим часом, за який Ахілл наздожене та впіймає черепаху.

У сучасній термінології, будь-яка (впорядкована) нескінченна послідовність $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ з термів (що можуть бути числами, функціями, або будь-чого, що може додаватися) визначає ряд, який є операцією додавання $a_{i}$ між собою. Аби підкреслити те, що існує нескінченна кількість термів, ряд може називатися нескінченним рядом. Такий ряд записується у вигляді такого математичного виразу:

$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Загалом поняття ряду виникло з поняття кільця, що часто є полем $\mathbb {R}$ дійсних чисел або полем $\mathbb {C}$ комплексних чисел. У такому разі множина всіх рядів сама собою є кільцем (або навіть асоціативною алгеброю), у якій операція додавання визначає додавання рядів поелементно, терм за термом, а множення є операцією добутку Коші.

Визначення

Нехай  $\{a_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ — послідовність; розглянемо також послідовність

$\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty },$ кожен елемент якої є n-тою частковою сумою членів початкової послідовності

$s_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.$

Рядом називається сукупність цих двох послідовностей. Позначається:

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.$

Тоді, за визначенням:

• Числовий ряд збігається, якщо збігається послідовність його часткових сум;
• Числовий ряд розбігається, якщо розбігається послідовність його часткових сум;
• Числовий ряд збігається абсолютно, якщо збігається ряд з модулів його членів.

Якщо числовий ряд збігається, то границя $S$ послідовності його часткових сум має назву суми ряду:

$S=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i},$

Ознаки збіжності

Необхідні умови збіжності

Теорема 01

Якщо числовий ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

збігається, то кінцевий член ряду

$a_{n}\rightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$

Доведення. $\vartriangleright$ Дійсно, оскільки $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$, $n\geqslant 2$ та $S_{n}\rightarrow S\in \mathbb {R}$, $n\rightarrow \infty$, то $a_{n}\rightarrow S-S=0$, $n\rightarrow \infty$. $\vartriangleleft$

Теорема 02

Якщо числовий ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

збігається, то залишок ряду

$a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n}\rightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$

Доведення. $\vartriangleright$ Розглянемо $a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n}=S_{2n}-S_{n}\rightarrow S-S=0$, $n\rightarrow \infty$. $\vartriangleleft$

Теореми 01 та 02 дають необхідні умови збіжності ряду (1).

Критерій Коші

Для того щоб ряд (1) збігався, необхідно і достатньо, щоб

$\forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} \;\forall n\geqslant N\;\forall p\in \mathbb {N} \colon \quad |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon$.

$\vartriangleright$ Цей критерій являє собою критерій Коші для числовой послідовності $\{S_{n}\colon n\geqslant 1\}$. $\vartriangleleft$

Критерій абсолютної збіжності

Ряд з дійсних чисел збігається абсолютно тоді й тільки тоді, коли збігаються обидва ряди: ряд з додатних його членів і ряд з від'ємних членів.

Операції над рядами

Нехай задано два збіжні ряди $a=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ та $b=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$. Тоді:

• Їхньою сумою називається ряд $\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})$ і його сама рівна $a+b$.
• Їхнім добутком за Коші називається ряд $\sum c_{n}$, де $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$

Якщо обидва ряди збігаються абсолютно, то добуток рядів збігається.

Приклади числових рядів

Приклад 01. Ряди

$1+1+1+\cdots +1+\cdots$

$1-1+1-\cdots +(-1)^{n+1}+\cdots$

є розбіжними згідно з теоремою 01. Дійсно, $a_{n}=1\nrightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$ у випадку ряду (1) та $a_{n}=(-1)^{n+1}\nrightarrow 0$ у випадку ряду (2).

Приклад 02. Доведемо, що

${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}+\cdots =1$

$\vartriangleright$ Дійсно, для $n\geqslant 1$

$S_{n}={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}=(1-{\frac {1}{2}})+({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}})+({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}})+\cdots +({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}})=1-{\frac {1}{n+1}}$.

Отже, $S_{n}\rightarrow 1$, $n\rightarrow \infty$. $\vartriangleleft$

• Геометричний ряд — це такий ряд, ц якому кожен наступний елемент утворений множенням попереднього на стале число (що зветься сталим відношенням ряду). Наприклад:

$1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.$

Загалом геометричний ряд

$\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}={\frac {1}{1-z}}$

збігається тоді й тільки тоді, коли ${\textstyle |z|<1}$.

• Арифметично-геометричний ряд — це узагальнення геометричного ряду, коефіцієнти сталого відношення якого дорівнюють елементам в арифметичній прогресії. Наприклад:

$3+{5 \over 2}+{7 \over 4}+{9 \over 8}+{11 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(3+2n) \over 2^{n}}.$

• Гармонічний ряд — це ряд виду

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.$

Гармонічні ряди є розбіжними, оскільки за теоремою 02 $S_{2n}-S_{n}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}\geqslant n{\frac {1}{2n}}={\frac {1}{2}}$.

• Знакозмінний ряд — це ряд, у якому елементи можуть змінювати свій знак. У таких рядах доданки є як додатні, так і від'ємні. Наприклад:

$1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2)\quad$ (знакозмінний гармонічний ряд)

і

$-1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}}$

• Узагальнений гармонічний ряд або p-ряд:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$

збігається, коли p > 1, і є розбіжним, коли p ≤ 1. Функція відносно p, що є сумою цього ряду є дзета-функцією Рімана.

• Телескопічний ряд:

$\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$

збігається, якщо послідовність b_n збігається до границі L, притому як n прямує до нескінченності. Значення ряду тоді дорівнюватиме b₁ − L.

π

Апроксимація числа π за допомогою ряду

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(4)}{2n-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi$

Натуральний логарифм 2

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)}}=2\ln(2)-1$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln(2)-1$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\ln 2$

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{n}}}+{\frac {1}{4^{n}}}\right){\frac {1}{n}}=\ln 2$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n(2n-1)}}=\ln 2$

Натуральний логарифм за основою e

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e$

Література

• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
• Ряди // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 496. — 594 с.
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)