Відкрити головне меню

Числовий ряд — ряд, елементами якого є числа.

Нехай  — деяка числова послідовність. Для кожного визначена скінченна сума

Дві числові послідовності та називаються числовим рядом і позначаються

Число називається n-тим членом, а число  — n-тою частковою сумою ряду.

Якщо послідовність часткових сум збігається до деякого числа (див. Границя числової послідовності), то числовий ряд називається збіжним, а число  — називається сумою цього ряду, і позначається

.

Якщо ж скінченної границі не існує, то числовий ряд називається розбіжним.

Зміст

ТеоремиРедагувати

Теорема 01. Якщо числовий ряд

 

збігається, то

 ,  

Доведення.   Дійсно, оскільки  ,   та  ,  , то  ,  .  

Теорема 02. Якщо числовий ряд

 

збігається, то

 ,  

Доведення.   Розглянемо  ,  .  

Теореми 01 та 02 дають необхідні умови збіжності ряду (1).

Приклад 01. Ряди

 ,    (2)
     (3)

є розбіжними згідно з теоремою 01. Дійсно,  ,   у випадку ряду (1) та   у випадку ряду (2).

Приклад 02. Геометричний ряд для   має вигляд

 .    (4)

Його часткова сума

 

для  .

  Якщо   то  ,  . Тобто, при   ряд (4) збігається до суми  :

 ,  .

При   послідовність   скінченної границі не має, отже при   ряд (4) розбігається.  

Приклад 03. Доведемо, що

 

  Дійсно, для  

 .

Отже,  ,  .  

Приклад 04. Гармонічний ряд має вигляд

 

  Доведемо, що цей ряд розбігається. Використовуючи теорему 02, при   матимемо

 .

Таким чином,  ,  . Оскільки послідовність   зростає та не має границі, то  ,  . Проте зростання   із зростанням   відбувається дуже повільно. Л. Ейлер підрахував, що  . Варто також звернути увагу, що члени гармонійного ряду прямують до нуля при  , тобто необхідна умова збіжності виконується.  

Властивості збіжних рядівРедагувати

1. Нехай ряд

 

збігається до суми  . Тоді для будь-якого   ряд

 

теж збігається і має суму  , тобто

 .

  Доведення випливає з означень.  

2. Нехай ряди

  та  

збігаються до сум   та   відповідно. Тоді ряд

 

збігається до суми  , тобто

 .

Означення. Для ряду

     (1)

та числа   ряд

     (2)

називається залишком вихідного ряду. Якщо ряд (2) збігається, то   — сума залишку.

3. Якщо ряд (1) збігається до суми  , то збігається будь-який його залишок, причому

 .

Якщо для деякого   збігається залишок (2), то ряд (1) збігається.

4. Критерій Коші збіжності числового ряду. Для того щоб ряд (1) збігався, необхідно і достатньо, щоб

   .

  Цей критерій являє собою критерій Коші для числовой послідовності  .  

Дивись такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Дороговцев А. Я. Математический анализ: Справочное пособие. К.: Вища шк. Головное изд-во, 1985.
  • Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 4. Советская энциклопедия, 1984.
  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.