Список рядів та сум

стаття-список у проєкті Вікімедіа

Цей список містить формули для рядів та сум.

Суми степенів

ред.
  •   — формула Фольхабера[en]

Значення при  

  •  
  •  
  •  
  •  
  •   — сума перших   кубів[en]
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Суми степенів непарних чисел:

  •  
  •  
  •  

Окремі значення дзета-функції Рімана[en]:

  •  

Значення при  

  •   — ряд обернених квадратів
  •  
  •  


  •  
  •  
  •  
  •  

Степеневі ряди

ред.

Полілогарифми

ред.

Скінченні суми:

  •   — геометрична прогресія
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Нескінченні суми, виконується при  :

  •  

Корисна властивість для рекурсивного обчислення полілогарифмів:

  •  

Полілогарифми малих по модулю цілих порядків:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Експоненціальні функції

ред.
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

де   — поліном Тушара[en].

Тригонометричні, обернені тригонометричні, гіперболічні та обернені гіперболічні функції

ред.
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •   — синус-верзус
  •  [1] — гаверсинус
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Інші ряди з факторіалами у знаменниках

ред.
  •  [2]
  •  [2]
  •  

Біноміальні коефіцієнти

ред.
  •  
  •  
  •   — генератриса чисел Каталана
  •   — генератриса центральних біноміальних коефіцієнтів
  •  

Гармонічні числа

ред.
Докладніше: Гармонічне число
  •  
  •  
  •  [2]
  •  [2]

Суми біноміальних коефіцієнтів

ред.
  •  
  •   де  
  •  
  •  
  •   — тотожність Вандермонда

Тригонометричні функції

ред.

Ряди Фур'є

ред.
Докладніше: Ряд Фур'є
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  ,[3]
  •  
  •  
  •  
  •  [4]

Скінченні суми

ред.
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  [5]
  •  
  •  

Ряди раціональних функцій

ред.

Ряд раціональних функцій від   можна звести до скінченної суми полігамма-функцій за допомогою розкладання на прості дроби.[6] Це також можна застосувати до обчислення скінченних сум раціональних функцій за сталий час, навіть якщо сума містить велику кількість членів.

  •  
  •  
  •  

Ряди експоненціальних функцій

ред.
  •   — співвідношення Ландсберга–Шара[en]
  •  

Числові ряди

ред.

Ці числові ряди можна знайти за допомогою рядів, наведених вище.

Чергування знаків в гармонійному ряді

ред.
  •  
  •  

Суми обернених факторіалів

ред.
  •  
  •  

Тригонометрія і π

ред.
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Обернені трикутні числа

ред.
  •  

де   —  -те трикутне число

Обернені тетраедричні числа

ред.
  •  

де   —  -те тетраедричне число

Логарифми

ред.
  •  
  •  
  •  
  •  

Див. також

ред.

Джерела

ред.

Примітки

ред.
  1. Weisstein, Eric W. Haversine. MathWorld. Wolfram Research, Inc. Архів оригіналу за 10 березня 2005.
  2. а б в г Wilf, Herbert R. (1994). generatingfunctionology (PDF). Academic Press, Inc.
  3. Знайдіть розклад в ряд Фур’є функції   на інтервалі  :
    •  
     
  4. Bernoulli polynomials: Series representations (subsection 06/02). Wolfram Research.
  5. Hofbauer, Josef. A simple proof of 1 + 1/22 + 1/32 + ··· = π2/6 and related identities (PDF).
  6. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene (1964). 6.4 Polygamma functions. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. с. 260. ISBN 0-486-61272-4.