Центральний біноміальний коефіцієнт

У математиці $n$-й центральний біноміальний коефіцієнт визначається таким виразом у термінах біноміальних коефіцієнтів

${2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}$ для всіх $n\geq 0$.

Вони отримали назву тому, що вони містяться точно посередині парних рядів у трикутнику Паскаля. Перші кілька центральних біноміальних коефіцієнтів, починаючи з $n=0$, виписано нижче:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … послідовність A000984 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Властивості

Твірна функція:

${\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .$

За формулою Стірлінґа отримуємо:

${2n \choose n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}$ при $n\rightarrow \infty$ .

Корисні обмеження:

${\frac {4^{n}}{\sqrt {4n}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{\sqrt {3n+1}}}$ для кожного $n\geq 1$

Якщо потрібна більша точність:

${2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)$ де ${\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}}$ для всіх $n\geq 1$.

З цим поняттям тісно пов'язані так звані числа Каталана, $C_{n}$_. Їх формула:

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}$ для кожного $n\geq 0$.

Узагальненням центральних біноміальних коефіцієнтів можна вважати числа ${\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\mathrm {B} (n+1,n)}}$, для всіх дійсних $n$, за яких вираз визначений, де $\Gamma (x)$ — гамма-функція, а $\mathrm {B} (x,y)$ — бета-функція.

Див. також

• Припущення Ердеша про безквадратність

Посилання

• Центральний біноміальний коефіцієнт на PlanetMath [Архівовано 24 квітня 2021 у Wayback Machine.] (англ.)
• Біноміальний коефіцієнт на PlanetMath [Архівовано 6 лютого 2021 у Wayback Machine.] (англ.)
• Трикутник Паскаля на PlanetMath [Архівовано 14 травня 2011 у Wayback Machine.] (англ.)
• Числа Каталана на PlanetMath [Архівовано 12 липня 2021 у Wayback Machine.] (англ.)