Поліга́мма-фу́нкція порядку m у математиці визначається як (m+1)-ша похідна натурального логарифма гамма-функції,

Дигамма-функція
Тригамма-функція
Тетрагамма-функція
Пентагамма-функція

де  — гамма-функція, а

дигамма-функція, яку також можна визначити через суму такого ряду:

де  — стала Ейлера — Маскероні. Це подання справедливе для будь-якого комплексного (у зазначених точках функція має сингулярності першого порядку)[1].

Полігамма-функцію також можна визначити через суму ряду

який виходить із подання для дигамма-функції диференціюванням за z[2]. Це подання також справедливе для будь-якого комплексного (у зазначених точках функція має сингулярності порядку (m+1)). Його можна записати через дзета-функцію Гурвіца[2],

У цьому сенсі дзета-функцію Гурвіца можна використати для узагальнення полігамма-функції на випадок довільного (нецілого) порядку m.

Зазначимо, що в літературі іноді позначають як або явно вказують штрихи для похідних за z. Функцію називають тригамма-функцією,  — тетрагамма-функцією,  — пентагамма-функцією,  — гексагамма-функцією, і т. д.

Інтегральне подання

ред.

Полігамма-функцію можна подати як

 

Це подання справедливе для Re z >0 і m > 0. При m=0 (для дигамма-функції) інтегральне подання можна записати у вигляді

 

де   — стала Ейлера — Маскероні.

Асимптотичні розклади

ред.

При   ( ) справедливий такий розклад із використанням чисел Бернуллі:

 

Розклад у ряд Тейлора поблизу аргументу, рівного одиниці, має вигляд

 

де ζ позначає дзета-функцію Рімана. Цей ряд збігається при |z| < 1, і його можна отримати з відповідного ряду для дзета-функції Гурвіца.

Часткові значення

ред.

Значення полігамма-функції при цілих і напівцілих значеннях аргументу виражаються через дзета-функцію Рімана,

 
 

а для дигамма-функції (при m=0) —

 
 

де   — стала Ейлера — Маскероні[2].

Щоб отримати значення полігамма-функції за інших цілих (додатних) і напівцілих значень аргументу, можна використати рекурентне співвідношення, наведене нижче.

Інші формули

ред.

Полігамма-функція задовольняє рекурентне співвідношення[2]

 

а також формулу доповнення[2]

 

Для полігамма-функції кратного аргументу існує така властивість[2]:

 

а для дигамма-функції ( ) до правої частини треба додати  [2],

 

Див. також

ред.

Примітки

ред.
  1. Eric W. Weisstein Дигамма-функція(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  2. а б в г д е ж Eric W. Weisstein Полігамма-функція(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Посилання

ред.