Арифметична прогресія

Арифмети́чна (аритмети́чна[1]) прогре́сія — це послідовність дійсних чисел, кожен член якої, починаючи з другого, утворюється додаванням до попереднього члена одного й того ж числа. Загальний вид арифметичної прогресії:

,

де  — це перший член прогресії,

Число називають різницею арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія є монотонною послідовністю. Якщо , то вона зростає, а при вона спадає. Якщо , то прогресія є сталою.

Знаходження n-го члена арифметичної прогресіїРедагувати

Для усіх членів прогресії, починаючи з другого, справедлива рівність:

 

За означенням арифметичної прогресії:

 
 
 
 

Простежується закономірність  . Доведемо правильність гіпотези для всіх   за допомогою методу математичної індукції.

Для  :

 

Припустимо, що  :

 

Доведемо, що формула правильна для  , тобто що правильне наступне:

 

Для цього використаємо припущення:

 

Отже формула  -го члена має вигляд:

 ,  

Властивість арифметичної прогресіїРедагувати

Виразимо члени   та   через   і  :

  і  

Знайдемо їхнє середнє арифметичне:

 

Тобто, будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх членів.

 ,  

Сума n перших членів арифметичної прогресіїРедагувати

Сума n послідовних членів починаючи з першого членаРедагувати

Запишемо суму послідовних членів арифметичної прогресії двома способами:

 
 

Додамо ці два вирази:

 
 

Поділимо обидві частини на 2:

 

Отже, сума   перших членів арифметичної прогресії може бути виражена такими формулами:

 

Сума n послідовних членів починаючи з k-го членаРедагувати

Із арифметичної прогресії   можна виділити підпослідовність  , що є арифметичною прогресією. Тоді сума   перших членів  :

 

Отже, сума   послідовних членів арифметичної прогресії починаючи з  -го члена:

 

Сума перших n натуральних чиселРедагувати

 
Анімоване доведення формули для знаходження суми перших n натуральних чисел

Суму перших   натуральних чисел можна записати як:

 

Отже, сума перших   натуральних чисел:

 .

Ця формула відома як трикутне число.

Існує історія[2] про те, як Карл Ґаусс відкрив цю формулу, коли навчався у третьому класі. Щоб подовше зайняти дітей, учитель попросив клас порахувати суму перших ста чисел —  . Ґаусс помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові:  ,   тощо, і тому зміг відразу відповісти, що сума дорівнює  . Дійсно, легко бачити, що рішення зводиться до формули  , тобто до формули суми перших   чисел натурального ряду.

Див. такожРедагувати

Посилання на сторонні джерелаРедагувати

ДжерелаРедагувати

  1. § 123. Буквосполучення th у словах грецького походження. Український правопис (українською). Українська національна комісія з питань правопису. 2019. Архів Український правопис оригіналу за 17 вересня 2019. Процитовано 29 січня 2021. 
  2. Gauss's Day of Reckoning. American Scientist (англ.). 6 лютого 2017. Процитовано 23 жовтня 2022.