Мультисекція ряду

Мультисе́кцією ря́ду називають ряд, складений із членів початкового ряду, індекси яких утворюють арифметичну прогресію.

Для ряду:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\cdot x^{n}$

мультисекцією є будь-який ряд вигляду:

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{sm+d}\cdot x^{sm+d},$

де s, d — цілі числа, 0 ⩽ d < s.

Мультисекція аналітичних функцій

Для мультисекції ряду аналітичної функції

$F(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\cdot x^{n}$

виконується формула:

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{sm+d}\cdot x^{sm+d}={\frac {1}{s}}\cdot \sum _{k=0}^{s-1}w^{-kd}\cdot F(w^{k}\cdot x),$

де $w=e^{\frac {2\pi i}{s}}$ — первісний корінь степеня s із одиниці.

Приклад

Мультисекцією бінома Ньютона

$(1+x)^{q}={q \choose 0}x^{0}+{q \choose 1}x+{q \choose 2}x^{2}+\dots$

при x = 1 є така тотожність для суми біноміальних коефіцієнтів із кроком s:

${q \choose d}+{q \choose d+s}+{q \choose d+2s}+\dots ={\frac {1}{s}}\cdot \sum _{k=0}^{s-1}\left(2\cos {\frac {\pi k}{s}}\right)^{q}\cdot \cos {\frac {\pi (q-2d)k}{s}}.$

Посилання

• Weisstein, Eric W. Мультисекція ряду(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Somos, M. A Multisection of q-Series [Архівовано 5 лютого 2022 у Wayback Machine.], 2006.
• Дж. Риордан. §4.3 Мультисекция рядов // Комбинаторные тождества = Combinatorial Identities. — М. : Наука, 1982. — С. 132—141.
• Ефремов Д. Решение задачи на премию № 3 // В.О.Ф.Э.М.. — 1911. — № 530 (26 червня). — С. 40—48. Архівовано з джерела 5 лютого 2022. Процитовано 5 лютого 2022.