Відкрити головне меню

В математиці, гармонічним рядом називається нескінченний розбіжний ряд:

ОбчисленняРедагувати

 -ною частковою сумою   гармонічного ряду називається  -не гармонічне число:

 

Деякі значення часткових сумРедагувати

   

Розбіжність рядуРедагувати

Гармонічний ряд розбіжний, щоправда розбіжність є дуже повільною (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно близько 1043 елементів ряду).

Доведення 1Редагувати

Розбіжність ряду можна довести погрупувавши доданки так:

 

Останній ряд, очевидно, розбіжний, що доводить твердження.

Доведення 2Редагувати

Припустимо, що гармонічний ряд збіжний і його сума рівна  :

 

Тоді перегрупувавши доданки одержимо:

 

Винесемо із других дужок  :

 

Замінимо вираз в других дужках на  :

 

Перенесемо   в ліву частину:

 

Замінивши   сумою ряду одержимо:

 

Ця рівність невірна оскільки одиниця більша однієї другої, одна третя більше однієї четвертої, і так далі. Таким чином припущення про збіжність ряду привело до суперечності.

Доведення 3Редагувати

На початок запишемо суму геометричної прогресії:

 

де |x|<1.

Візьмемо інтеграл з обох сторін, внаслідок чого одержимо:

 

Перейшовши до границі при   одержуємо рівність:

 .

Оскільки  , то також має місце  

Тобто гармонічний ряд є розбіжним.

ЛітератураРедагувати