В математиці, гармонічним рядом називається нескінченний розбіжний ряд:

ОбчисленняРедагувати

 -ною частковою сумою   гармонічного ряду називається  -не гармонічне число:

 

Деякі значення часткових сумРедагувати

   

Розбіжність рядуРедагувати

Гармонічний ряд розбіжний, щоправда розбіжність є дуже повільною (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно близько 1043 елементів ряду).

Доведення 1Редагувати

Розбіжність ряду можна довести погрупувавши доданки так:

 

Останній ряд, очевидно, розбіжний, що доводить твердження.

Доведення 2Редагувати

Припустимо, що гармонічний ряд збіжний і його сума рівна  :

 

Тоді перегрупувавши доданки одержимо:

 

Винесемо із других дужок  :

 

Замінимо вираз в других дужках на  :

 

Перенесемо   в ліву частину:

 

Замінивши   сумою ряду одержимо:

 

Ця рівність хибна, оскільки одиниця більша однієї другої, одна третя більше однієї четвертої, і так далі. Таким чином припущення про збіжність ряду привело до суперечності.

Доведення 3Редагувати

На початок запишемо суму геометричної прогресії:

 

де |x|<1.

Візьмемо інтеграл з обох сторін, внаслідок чого одержимо:

 

Перейшовши до границі при   одержуємо рівність:

 .

Оскільки  , то також має місце  

Тобто гармонічний ряд є розбіжним.

Пов'язані рядиРедагувати

Знакопереміжний гармонічний рядРедагувати

 
Перші 14 часткових сум знакопереміжного гармонійного ряду (чорні відрізки) збігаються до натурального логарифму 2 (червона пряма).

Ряд

 
називається знакопереміжним гармонічним рядом. Він умовно збіжний за теоремою Лейбніца, але не абсолютно збіжний. Його сума - логарифм від 2[en].[1]

Використання знаків що чергуються з лише непарними знаменниками дасть пов'язаний ряд Лейбніца для знаходження π[2]

 

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

ЗноскиРедагувати

  1. Freniche, Francisco J. (2010). On Riemann's rearrangement theorem for the alternating harmonic series. The American Mathematical Monthly 117 (5): 442–448. JSTOR 10.4169/000298910x485969. MR 2663251. doi:10.4169/000298910X485969. 
  2. Soddy, F. (1943). The three infinite harmonic series and their sums (with topical reference to the Newton and Leibniz series for  ). Proceedings of the Royal Society 182: 113–129. MR 9207. doi:10.1098/rspa.1943.0026.