Гармонічний ряд
В математиці, гармонічним рядом називається нескінченний розбіжний ряд:
ОбчисленняРедагувати
-ною частковою сумою гармонічного ряду називається -не гармонічне число:
Деякі значення часткових сумРедагувати
Розбіжність рядуРедагувати
Гармонічний ряд розбіжний, щоправда розбіжність є дуже повільною (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно близько 1043 елементів ряду).
Доведення 1Редагувати
Розбіжність ряду можна довести погрупувавши доданки так:
Останній ряд, очевидно, розбіжний, що доводить твердження.
Доведення 2Редагувати
Припустимо, що гармонічний ряд збіжний і його сума рівна :
Тоді перегрупувавши доданки одержимо:
Винесемо із других дужок :
Замінимо вираз в других дужках на :
Перенесемо в ліву частину:
Замінивши сумою ряду одержимо:
Ця рівність хибна, оскільки одиниця більша однієї другої, одна третя більше однієї четвертої, і так далі. Таким чином припущення про збіжність ряду привело до суперечності.
Доведення 3Редагувати
На початок запишемо суму геометричної прогресії:
де |x|<1.
Візьмемо інтеграл з обох сторін, внаслідок чого одержимо:
Перейшовши до границі при одержуємо рівність:
- .
Оскільки , то також має місце
Тобто гармонічний ряд є розбіжним.
Пов'язані рядиРедагувати
Цей розділ потребує доповнення. |
Знакопереміжний гармонічний рядРедагувати
Ряд
Використання знаків що чергуються з лише непарними знаменниками дасть пов'язаний ряд Лейбніца для знаходження π[2]
Див. такожРедагувати
ЛітератураРедагувати
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1964. — Т. 2. — 800 с.(рос.)
- Гармонічний ряд // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 497. — 594 с.
ЗноскиРедагувати
- ↑ Freniche, Francisco J. (2010). On Riemann's rearrangement theorem for the alternating harmonic series. The American Mathematical Monthly 117 (5): 442–448. JSTOR 10.4169/000298910x485969. MR 2663251. doi:10.4169/000298910X485969.
- ↑ Soddy, F. (1943). The three infinite harmonic series and their sums (with topical reference to the Newton and Leibniz series for ). Proceedings of the Royal Society 182: 113–129. MR 9207. doi:10.1098/rspa.1943.0026.