Ознака Веєрштраса

У математичному аналізі, ознака Веєрштраса є ознакою абсолютної і рівномірної збіжності функціональних рядів дійсної чи комплексної змінної.

Твердження

Нехай $\{f_{n}\}$ послідовність функцій дійсної чи комплексної змінної визначених на множині $A$ і існують такі невід'ємні дійсні числа $M_{n}$ що

$|f_{n}(x)|\leq M_{n}$

для всіх $n$≥$1$ і всіх $x\in A$. Якщо ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$

є збіжним, то функціональний ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$

є абсолютно і рівномірно збіжним на $A$.

Доведення

Позначимо $S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)$

Оскільки ряд $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ є збіжним i M_n ≥ 0 для всіх n, згідно ознаки Коші

$\forall \varepsilon >0:\exists N:\forall n>m>N:\sum _{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .$

Для вибраного N,

$\forall x\in A:\forall n>m>N$

$\left|S_{n}(x)-S_{m}(x)\right|=\left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=m+1}^{n}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .$

Тобто часткова сума ряду є рівномірно збіжною. За визначенням ряд $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)$ теж є рівномірно збіжним.

Література

• Заболоцький М.В., Сторож О.Г., Тарасюк С.І. Математичний аналіз: Підручник. — Львів : Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2007. — 416 с.
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Rudin, Walter (May 1986). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054234-1.
• E. T. Whittaker, G. N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, ст. 49.