Функціональний ряд — ряд, кожен член якого є деякою функцією від однієї чи багатьох незалежних змінних.

Сума вигляду

називається функціональним рядом відносно незалежної змінної , а

послідовність функцій відповідно — функціональною послідовністю.

Важливе значення у математиці мають функціональні ряди спеціального вигляду, такі як степеневі, коли функція (зокрема, ряд Тейлора та ряд Лорана) та тригонометричні ряди, (наприклад, ряд Фур'є).

Функціональна послідовність ред.

Нехай задана послідовність функцій   (взагалі кажучи комплекснозначних) на деякій підмножині   евклідового простору  .

 

Поточкова збіжність ред.

Функціональна послідовність   збігається в точці  , якщо, відповідно збігається числова послідовність  , тобто існує   Очевидно, що ця границя залежить від вибору точки  , тобто є деякою функцією.

Функціональна послідовність   збігається поточково на множині   до функції  , якщо вона збігається в кожній точці цієї множини. Іншими словами

 

Рівномірна збіжність ред.

Функціональна послідовність   збігається рівномірно на множині   до функції  , якщо

 

Факт рівномірної збіжності послідовності   до функції   записується так:  .

Критерій Коші рівномірної збіжності функціональної послідовності ред.

Функціональна послідовність   є рівномірно збіжною на множині   тоді і тільки тоді, коли

 

Справедливі такі твердження: а) Якщо  ,   на  , то  ;

б) Якщо  , а   — обмежена функція, то  .

Функціональний ряд ред.

Нехай   — n-на частинна сума ряду  ,  .

Збіжність функціональних рядів ред.

Ряд збігається поточково до функції  , якщо послідовність   його частинних сум збігається поточково до  .

Ряд збігається рівномірно, якщо послідованість   його частинних сум збігається рівномірно,  .

Функція   називається сумою ряду  ,

 

Множина тих точок  , для яких ряд   збігається, називається областю збіжності ряду.

Зв'язок між рівномірною та поточковою збіжністю функціонального ряду ред.

Якщо ряд є рівномірно збіжним у деякій області, то він, очевидно, є поточково збіжним у цій області. Навпаки невірно.

Твердження 1. Поточково збіжний функціональний ряд   є рівномірно збіжним на   тоді і тільки тоді, коли

 

або, що те саме

 

Необхідна умова рівномірної збіжності ред.

Для того, щоб ряд   збігався рівномірно на   необхідно, щоб   на   при  .


Критерій Коші рівномірної збіжності функціонального ряду ред.

Ряд   є рівномірно збіжним на   тоді і тільки тоді, коли

 

Абсолютно та умовно збіжні ряди ред.

Ряд   називається абсолютно збіжним на  , якщо для будь-якого   ряд   збігається.

Довільна перестановка членів абсолютно збіжного ряду не впливає на його суму.

Якщо ряд   збігається, а   — розбіжний, то ряд   називається умовно збіжним. Для таких рядів справделива Теорема Рімана про умовно збіжний ряд.

Ознаки рівномірної збіжності функціонального ряду ред.

Ознака порівняння та ознака Вейєрштрасса ред.

Нехай

1) ряди   та   такі, що   для всіх  ;

2) ряд   рівномірно збіжний на  .

Тоді ряд   абсолютно та рівномірно збіжний на  .

Ряд   називається мажоруючим рядом по відношенню до ряду  .

Наслідок (мажорантна ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності ряду)

Якщо члени функціонального ряду   задовольняють умову

 

причому

 

то цей ряд є абсолютно та рівномірно збіжним на  .

Ознака Діріхле ред.

Нехай функції   та   визначені на множині  , причому

1) послідовність частинних сум   обмежена, тобто

 

2) послідовність функцій   монотонна, тобто   для всіх   , та  .

Тоді ряд   рівномірно збіжний на множині  .

Ознака Абеля ред.

Нехай

1) ряд   рівномірно збігається на  ;

2) послідовність   монотонна та обмежена на  , тобто

 

Тоді ряд   рівномірно збіжний на множині  .

Властивості рівномірно збіжних функціональних послідовностей та рядів ред.

Неперервність ред.

Теорема 1. (про граничний перехід)

Нехай   на деякому проміжку   та існує скінченна границя

 

Тоді послідовність   збіжна і

 

Іншими словами

 

Наслідок

Границя рівномірно збіжної послідовності неперервних функцій є неперервною функцією.

Теорема 2. (про неперервність суми функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд   рівномірно збігається на множині   до функції  , а його члени   — неперервні на цій множині функції, то його сума   є неперервною на   функцією, тобто

 

Теорема Діні ред.

Нехай  . Якщо послідовність   неперервних на   функцій при кожному   незростаюча (або неспадна) і збігається поточково до  , де   неперервна на  , то така збіжність є рівномірною.

Наслідок

Якщо ряд   збігається (поточково) на відрізку   до неперервної функції  , а функції   — неперервні, причому   для всіх  , то ряд   збігається рівномірно на   до функції  .

Інтегрування ред.

Теорема 3. (про граничний перехід під знаком інтеграла)

Нехай  . Якщо послідовність   інтегровних за Ріманом (Лебегом) на   функцій рівномірно збігається до функції  , то функція   інтегровна за Ріманом (Лебегом) і

 

Для інтеграла в сенсі Лебега встановлено загальніший результат, який не має аналогу для інтеграла Рімана, а саме — Теорема Лебега про мажоровану збіжність.

Теорема 4. (про інтегрування функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд   рівномірно збігається на відрізку   до функції  , а його члени   — неперервні на цьому відрізку функції, то

 

Диференціювання ред.

Теорема 5. (про диференціювання під знаком границі)

Нехай  . Якщо послідовність   неперервно диференційовних на відрізку   функцій є поточково збіжною до функції  , а послідовність їх похідних   — рівномірно збіжною на   до деякої функції  , то функція   є неперервно диференційовною на  , а її похідна дорівнює границі послідовності похідних

 

Теорема 6. (про диференціювання функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд  , у якому функції   — неперервно диференційовні на відрізку  , збігається хоча б в одній точці  , а ряд   — рівномірно збігається на  , то ряд   також рівномірно збігається на   до функції  , причому

 

Збіжність у середньому функціональних послідовностей ред.

При дослідженні питання про інтегрування функціональних рядів, зокрема ряду Фур'є використовується поняття збіжності у середньому.

Нехай кожна функція   функціональної послідовності   і функція   інтегровні за Ріманом на  .

Функціональна послідовність   збігається в середньому на   до функції  , якщо

 

Функціональний ряд   збігається в середньому на   до функції  , якщо послідовність його частинних сум збігається в середньому на   до граничної функції  .

Зауваження. Якщо функціональна послідовність (ряд) збігається в середньому на   до  , то ця послідовність (ряд) збігається в середньому до   і на довільному проміжку  .

Теорема 7. (про зв'язок між рівномірною збіжністю та збіжністю в середньому)

Якщо послідовність   рівномірно збігається на   до функції  , то ця послідовність збігається в середньому на   до  .

Теорема 8. (про інтегрування)

Якщо послідовність   збіжна в середньому на   до функції  , то

 

тобто послідовність   рівномірно збігається на   до функції  .

Функціональні ряди комплексного аргументу ред.

Розглянемо послідовність функцій  ,  , та відповідний функціональний ряд

 

Означення поточкової та рівномірної збіжності аналогічні відповідним означенням із дійсного випадку, в яких модуль слід розуміти як модуль комплексного числа.

Теорема.

Для того, щоб ряд   був збіжним (рівномірно збіжним) на множині   до функції  , необхідно і достатньо, щоб були збіжними (рівномірно збіжними) на множині   ряди складені з дійсних та уявних частин функцій  , тобто

 
 

Ця теорема дає змогу перенести на комплексний випадок всі наведені вище теореми з дійсного випадку, зокрема, аналогічно формулюються ознаки рівномірної збіжності, критерій Коші, теореми про неперервність, інтегрування (у якій відрізок інтегрування можна замінити на довільну криву у комплексній площині) та диференціювання функціональних послідовностей та рядів.

Однак деякі результати не мають аналогу у дійсному випадку.

Теорема Вейєрштрасса про рівномірну збіжність рядів аналітичних функцій ред.

Нехай в області   задана послідовність   аналітичних функцій, і ряд   рівномірно збіжний на кожному замкненому крузі, що лежить в області   до деякої функції  . Тоді:

1) функція   аналітична в  ;

2) ряд   можна диференціювати довільну кількість разів, тобто

 

3) кожен з рядів у пункті 2 рівномірно збігається на кожному замкненому крузі в області  .

Деякі узагальнення ред.

Нехай   — метричний простір з метрикою  .

Послідовність   елементів простору   називається збіжною за метрикою цього простору до елемента  , якщо

 

Послідовність   елементів простору   називається фундаментальною, якщо

 

Довільна збіжна послідовність є фундаментальною, але не навпаки (границя фундаментальної послідовності може не належати відповідному простору). Метричний простір у якому кожна фундаментальна послідовність є збіжною називається повним.

Розглянемо множину всіх неперервних на деякій множині   дійсних функцій з метрикою

 

Відповідний метричний простір позначається   (якщо   — відрізок, то   або  ), а метрика називається чебишовською або рівномірною.

Збіжність функціональної послідовності за метрикою у цьому просторі еквівалентна рівномірній збіжності. З наслідку теореми 1 (про граничний перехід) випливає, що цей метричний простір є повним, а критерієм фунадментальності послідовності є критерій Коші.

Тепер розглянемо множину всіх неперервних на відрізку   дійсних функцій з метрикою

 

Такий простір позначається   і називається простором неперервних функцій з квадратичною метрикою. Збіжність за метрикою у такому просторі еквівалентна збіжності в середньому. Цей простір не є повним.

Див. також ред.

Література ред.