Функціональний ряд — ряд , кожен член якого є деякою функцією від однієї чи багатьох незалежних змінних.
Сума вигляду
u
1
(
x
)
+
u
2
(
x
)
+
⋯
+
u
k
(
x
)
+
⋯
=
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
.
{\displaystyle u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots +u_{k}(x)+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x).}
називається функціональним рядом відносно незалежної змінної
x
{\displaystyle x}
, а
послідовність функцій
{
u
k
(
x
)
}
,
k
∈
N
,
{\displaystyle \{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,}
відповідно — функціональною послідовністю .
Важливе значення у математиці мають функціональні ряди спеціального вигляду, такі як степеневі , коли функція
u
k
(
x
)
=
a
k
(
x
−
x
0
)
k
,
x
0
,
a
k
∈
R
,
{\displaystyle u_{k}(x)=a_{k}(x-x_{0})^{k},x_{0},a_{k}\in \mathbb {R} ,}
(зокрема, ряд Тейлора та ряд Лорана ) та тригонометричні ряди,
u
k
(
x
)
=
a
k
sin
(
k
x
)
+
b
k
cos
(
k
x
)
,
a
k
,
b
k
∈
R
,
{\displaystyle u_{k}(x)=a_{k}\sin(kx)+b_{k}\cos(kx),a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} ,}
(наприклад, ряд Фур'є ).
Функціональна послідовність
ред.
Нехай задана послідовність функцій
{
u
k
(
x
)
}
,
k
∈
N
,
{\displaystyle \{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,}
(взагалі кажучи комплекснозначних ) на деякій підмножині
D
{\displaystyle D}
евклідового простору
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
.
u
k
(
x
)
:
D
↦
C
,
D
⊆
R
n
,
k
∈
N
.
{\displaystyle u_{k}(x):D\mapsto \mathbb {C} ,\quad D\subseteq \mathbb {R} ^{n},~~k\in \mathbb {N} .}
Функціональна послідовність
{
u
k
(
x
)
}
,
k
∈
N
,
{\displaystyle \{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,}
збігається в точці
x
0
∈
R
n
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}
, якщо, відповідно збігається числова послідовність
{
u
k
(
x
0
)
}
,
k
∈
N
,
{\displaystyle \{{u_{k}}(x_{0})\},k\in \mathbb {N} ,}
, тобто існує
lim
k
→
∞
u
k
(
x
0
)
=
u
0
.
{\displaystyle \lim \nolimits _{k\rightarrow \infty }u_{k}(x_{0})=u_{0}.}
Очевидно, що ця границя залежить від вибору точки
x
0
{\displaystyle x_{0}}
, тобто є деякою функцією.
Функціональна послідовність
{
u
k
(
x
)
}
,
k
∈
N
,
{\displaystyle \{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,}
збігається поточково на множині
D
{\displaystyle D}
до функції
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
, якщо вона збігається в кожній точці цієї множини. Іншими словами
∀
x
∈
D
∃
lim
k
→
∞
u
k
(
x
)
=
u
(
x
)
.
{\displaystyle \forall x\in D\;\;\;\exists \lim _{k\rightarrow \infty }u_{k}(x)=u(x).}
Функціональна послідовність
{
u
k
(
x
)
}
,
k
∈
N
,
{\displaystyle \{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,}
збігається рівномірно на множині
D
{\displaystyle D}
до функції
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
, якщо
lim
k
→
∞
sup
∣
u
k
(
x
)
−
u
(
x
)
∣⟶
0
,
x
∈
D
.
{\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\sup \mid u_{k}(x)-u(x)\mid \longrightarrow 0,~~x\in D.}
Факт рівномірної збіжності послідовності
{
u
k
(
x
)
}
,
k
∈
N
,
{\displaystyle \ \{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,}
до функції
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
записується так:
u
k
(
x
)
⇉
u
(
x
)
{\displaystyle u_{k}(x)\rightrightarrows u(x)}
.
Критерій Коші рівномірної збіжності функціональної послідовності
ред.
Функціональна послідовність
{
u
k
(
x
)
}
{\displaystyle \{u_{k}(x)\}}
є рівномірно збіжною на множині
D
{\displaystyle D}
тоді і тільки тоді, коли
∀
ε
>
0
∃
N
∈
N
∀
x
∈
D
∀
m
,
n
:
m
,
n
>
N
|
u
n
(
x
)
−
u
m
(
x
)
|
<
ε
.
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall x\in D\quad \forall m,n:m,n>N\quad |u_{n}(x)-u_{m}(x)|<\varepsilon .}
Справедливі такі твердження: а) Якщо
u
k
(
x
)
⇉
u
(
x
)
{\displaystyle u_{k}(x)\rightrightarrows u(x)}
,
v
k
(
x
)
⇉
v
(
x
)
{\displaystyle v_{k}(x)\rightrightarrows v(x)}
на
D
{\displaystyle D}
, то
(
u
k
(
x
)
±
v
k
(
x
)
)
⇉
(
u
(
x
)
±
v
(
x
)
)
{\displaystyle (u_{k}(x)\pm v_{k}(x))\rightrightarrows (u(x)\pm v(x))}
;
б) Якщо
u
k
(
x
)
⇉
u
(
x
)
{\displaystyle u_{k}(x)\rightrightarrows u(x)}
, а
g
(
x
)
:
D
→
R
{\displaystyle g(x):D\rightarrow \mathbb {R} }
— обмежена функція, то
g
(
x
)
u
k
(
x
)
⇉
g
(
x
)
u
(
x
)
{\displaystyle g(x)u_{k}(x)\rightrightarrows g(x)u(x)}
.
Приклади
Приклад 1.
Послідовність функцій
u
k
(
x
)
=
x
1
+
n
2
x
2
{\displaystyle u_{k}(x)={\frac {x}{1+n^{2}x^{2}}}}
рівномірно збігається до функції
u
(
x
)
≡
0
{\displaystyle u(x)\equiv 0}
на відрізку
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
.
Очевидно, що для кожного фіксованого
x
~
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle {\tilde {x}}\in [0,1]}
відповідна числова послідовність
u
k
(
x
~
)
→
0
{\displaystyle u_{k}({\tilde {x}})\rightarrow 0}
при
k
→
∞
{\displaystyle k\rightarrow \infty }
, тобто
u
k
(
x
)
→
0
{\displaystyle u_{k}(x)\rightarrow 0}
поточково на
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
. Покажемо, що ця збіжність є і рівномірною.
Дійсно, оскільки кожна з функцій
u
k
(
x
)
{\displaystyle u_{k}(x)}
є неперервною на
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
, то
sup
x
∈
[
0
,
1
]
|
u
k
(
x
)
−
u
(
x
)
|
=
sup
x
∈
[
0
,
1
]
|
u
k
(
x
)
|
=
max
0
≤
x
≤
1
|
u
k
(
x
)
|
.
{\displaystyle \sup _{x\in [0,1]}|u_{k}(x)-u(x)|=\sup _{x\in [0,1]}|u_{k}(x)|=\max _{0\leq x\leq 1}|u_{k}(x)|.}
Щоб обчислити цей максимум знайдемо критичні точки функції
u
k
(
x
)
{\displaystyle u_{k}(x)}
u
k
′
(
x
)
=
1
+
n
2
x
2
−
x
⋅
2
n
2
x
(
1
+
n
2
x
2
)
2
=
1
−
n
2
x
2
(
1
+
n
2
x
2
)
2
=
0.
{\displaystyle u_{k}^{\prime }(x)={\frac {1+n^{2}x^{2}-x\cdot 2n^{2}x}{(1+n^{2}x^{2})^{2}}}={\frac {1-n^{2}x^{2}}{(1+n^{2}x^{2})^{2}}}=0.}
Звідки
x
=
1
/
n
{\displaystyle x=1/n}
. Тоді
max
0
≤
x
≤
1
|
u
k
(
x
)
|
=
max
{
u
k
(
0
)
,
u
k
(
1
/
n
)
,
u
k
(
1
)
}
=
max
{
0
,
1
2
n
,
1
1
+
n
2
}
=
1
2
n
→
0
,
n
→
∞
.
{\displaystyle \max _{0\leq x\leq 1}|u_{k}(x)|=\max\{u_{k}(0),u_{k}(1/n),u_{k}(1)\}=\max \left\{0,{\frac {1}{2n}},{\frac {1}{1+n^{2}}}\right\}={\frac {1}{2n}}\rightarrow 0,n\rightarrow \infty .}
Звідси випливає, що
u
k
(
x
)
⇉
u
(
x
)
{\displaystyle u_{k}(x)\rightrightarrows u(x)}
.
Приклад 2.
Послідовність функцій
u
k
(
x
)
=
n
x
1
+
n
2
x
2
{\displaystyle u_{k}(x)={\frac {nx}{1+n^{2}x^{2}}}}
збігається поточково до функції
u
(
x
)
≡
0
{\displaystyle u(x)\equiv 0}
на відрізку
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
, але не рівномірно.
Поточкова збіжність цієї послідовності є очевидною. З іншого боку міркуючи аналогічно, як у попередньому прикладі та враховуючи, що
u
k
′
(
x
)
=
n
(
1
+
n
2
x
2
)
−
n
x
⋅
2
n
2
x
(
1
+
n
2
x
2
)
2
=
n
(
1
−
n
2
x
2
)
(
1
+
n
2
x
2
)
2
,
{\displaystyle u_{k}^{\prime }(x)={\frac {n(1+n^{2}x^{2})-nx\cdot 2n^{2}x}{(1+n^{2}x^{2})^{2}}}={\frac {n(1-n^{2}x^{2})}{(1+n^{2}x^{2})^{2}}},}
отримуємо
sup
x
∈
[
0
,
1
]
|
u
k
(
x
)
−
u
(
x
)
|
=
u
k
(
1
/
n
)
=
1
2
≠
0
,
∀
k
∈
N
.
{\displaystyle \sup _{x\in [0,1]}|u_{k}(x)-u(x)|=u_{k}(1/n)={\frac {1}{2}}\neq 0,\quad \forall k\in \mathbb {N} .}
Отже збіжність не є рівномірною.
Нехай
S
n
(
x
)
=
∑
k
=
1
n
u
k
(
x
)
{\displaystyle S_{n}(x)=\sum \nolimits _{k=1}^{n}u_{k}(x)}
— n-на частинна сума ряду
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
,
x
∈
D
⊂
R
{\displaystyle x\in D\subset \mathbb {R} }
.
Збіжність функціональних рядів
ред.
Ряд збігається поточково до функції
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
, якщо послідовність
{
S
n
(
x
)
}
,
n
∈
N
,
{\displaystyle \{S_{n}(x)\},n\in \mathbb {N} ,}
його частинних сум збігається поточково до
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
.
Ряд збігається рівномірно , якщо послідованість
S
n
(
x
)
{\displaystyle S_{n}(x)}
його частинних сум збігається рівномірно,
S
n
(
x
)
⇉
S
(
x
)
{\displaystyle S_{n}(x)\rightrightarrows S(x)}
.
Функція
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
називається сумою ряду
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
,
S
(
x
)
=
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
.
{\displaystyle S(x)=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x).}
Множина тих точок
E
⊂
D
{\displaystyle E\subset D}
, для яких ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
збігається, називається областю збіжності ряду .
Зв'язок між рівномірною та поточковою збіжністю функціонального ряду
ред.
Якщо ряд є рівномірно збіжним у деякій області, то він, очевидно, є поточково збіжним у цій області. Навпаки невірно.
Твердження 1. Поточково збіжний функціональний ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
є рівномірно збіжним на
D
{\displaystyle D}
тоді і тільки тоді, коли
∀
ε
>
0
∃
N
∈
N
∀
n
:
n
>
N
∀
x
∈
D
|
∑
k
=
n
+
1
∞
u
k
(
x
)
|
<
ε
.
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n:n>N\quad \forall x\in D\quad \left|\sum _{k=n+1}^{\infty }u_{k}(x)\right|<\varepsilon .}
або, що те саме
lim
n
→
∞
sup
x
∈
D
|
∑
k
=
n
+
1
∞
u
k
(
x
)
|
=
0.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{x\in D}\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }u_{k}(x)\right|=0.}
Приклад
Ряд
∑
k
=
1
∞
x
k
−
1
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }x^{k-1}}
збігається поточково на множині
[
0
,
1
)
{\displaystyle [0,1)}
і
∑
k
=
1
∞
x
k
−
1
=
1
1
−
x
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x^{k-1}={\frac {1}{1-x}}.}
Остання формула є не що інше як сума нескінченно спадної геометричної прогресії .
Однак, з твердження 1 випливає, що ця збіжність не є рівномірною
sup
x
∈
[
0
,
1
)
|
∑
k
=
n
+
1
∞
x
k
−
1
|
=
sup
x
∈
[
0
,
1
)
|
x
n
∑
k
=
1
∞
x
k
−
1
|
=
sup
x
∈
[
0
,
1
)
|
x
n
1
−
x
|
⩾
x
n
1
−
x
|
x
=
1
−
1
/
n
=
n
(
1
−
1
n
)
n
→
∞
,
n
→
∞
.
{\displaystyle \sup _{x\in [0,1)}\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }x^{k-1}\right|=\sup _{x\in [0,1)}\left|x^{n}\sum _{k=1}^{\infty }x^{k-1}\right|=\sup _{x\in [0,1)}\left|{\frac {x^{n}}{1-x}}\right|\geqslant \left.{\frac {x^{n}}{1-x}}\right|_{x=1-1/n}=n\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}\rightarrow \infty ,n\rightarrow \infty .}
Зауважимо, що на будь-якому відрізку
[
0
,
1
−
ε
]
,
0
<
ε
<
1
{\displaystyle [0,1-\varepsilon ],0<\varepsilon <1}
цей ряд збігається рівномірно.
Необхідна умова рівномірної збіжності
ред.
Для того, щоб ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
збігався рівномірно на
D
{\displaystyle D}
необхідно, щоб
u
k
(
x
)
⇉
0
{\displaystyle u_{k}(x)\rightrightarrows 0}
на
D
{\displaystyle D}
при
k
→
∞
{\displaystyle k\rightarrow \infty }
.
Критерій Коші рівномірної збіжності функціонального ряду
ред.
Ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
є рівномірно збіжним на
D
{\displaystyle D}
тоді і тільки тоді, коли
∀
ε
>
0
∃
N
∈
N
∀
n
:
n
>
N
∀
p
∈
N
∀
x
∈
D
|
∑
k
=
n
n
+
p
u
k
(
x
)
|
<
ε
.
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n:n>N\quad \forall p\in \mathbb {N} \quad \forall x\in D\quad \left|\sum _{k=n}^{n+p}u_{k}(x)\right|<\varepsilon .}
Абсолютно та умовно збіжні ряди
ред.
Ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
називається абсолютно збіжним на
D
{\displaystyle D}
, якщо для будь-якого
x
∈
D
{\displaystyle x\in D}
ряд
∑
k
=
1
∞
|
u
k
(
x
)
|
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }|{u_{k}}(x)|}
збігається.
Довільна перестановка членів абсолютно збіжного ряду не впливає на його суму.
Якщо ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
збігається, а
∑
k
=
1
∞
|
u
k
(
x
)
|
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }|u_{k}(x)|}
— розбіжний, то ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
називається умовно збіжним . Для таких рядів справделива Теорема Рімана про умовно збіжний ряд .
Ознаки рівномірної збіжності функціонального ряду
ред.
Ознака порівняння та ознака Вейєрштрасса
ред.
Нехай
1) ряди
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
та
∑
k
=
1
∞
v
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }v_{k}(x)}
такі, що
|
u
k
(
x
)
|
⩽
v
k
(
x
)
{\displaystyle |u_{k}(x)|\leqslant v_{k}(x)}
для всіх
x
∈
D
{\displaystyle x\in D}
;
2) ряд
∑
k
=
1
∞
v
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }v_{k}(x)}
рівномірно збіжний на
D
{\displaystyle D}
.
Тоді ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
абсолютно та рівномірно збіжний на
D
{\displaystyle D}
.
Ряд
∑
k
=
1
∞
v
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }v_{k}(x)}
називається мажоруючим рядом по відношенню до ряду
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
.
Наслідок (мажорантна ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності ряду)
Якщо члени функціонального ряду
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
задовольняють умову
∀
x
∈
D
∀
k
∈
N
|
u
k
(
x
)
|
⩽
c
k
,
c
k
∈
R
,
{\displaystyle \forall x\in D\quad \forall k\in \mathbb {N} \quad |u_{k}(x)|\leqslant c_{k},\quad c_{k}\in \mathbb {R} ,}
причому
∑
k
=
1
∞
c
k
<
+
∞
,
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}<+\infty ,}
то цей ряд є абсолютно та рівномірно збіжним на
D
{\displaystyle D}
.
Приклад
Ряд
∑
k
=
1
∞
sin
(
n
x
)
n
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{n^{2}}}}
збігається абсолютно та рівномірно на всій числовій прямій, оскільки для будь-якого
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
виконуються нерівності
|
sin
(
n
x
)
n
2
|
⩽
1
n
2
,
∑
k
=
1
∞
1
n
2
<
∞
.
{\displaystyle \left|{\frac {\sin(nx)}{n^{2}}}\right|\leqslant {\frac {1}{n^{2}}},\qquad \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}<\infty .}
Нехай функції
u
k
(
x
)
{\displaystyle u_{k}(x)}
та
v
k
(
x
)
,
k
∈
N
,
{\displaystyle v_{k}(x),k\in \mathbb {N} ,}
визначені на множині
D
{\displaystyle D}
, причому
1) послідовність частинних сум
S
n
(
x
)
=
∑
k
=
1
n
u
k
(
x
)
{\displaystyle S_{n}(x)=\sum \nolimits _{k=1}^{n}u_{k}(x)}
обмежена, тобто
∃
M
>
0
∀
n
∈
N
∀
x
∈
D
|
∑
k
=
1
n
u
k
(
x
)
|
⩽
M
;
{\displaystyle \exists M>0\quad \forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in D\qquad \left|\sum _{k=1}^{n}u_{k}(x)\right|\leqslant M;}
2) послідовність функцій
{
v
k
(
x
)
}
,
k
∈
N
,
{\displaystyle \{v_{k}(x)\},k\in \mathbb {N} ,}
монотонна, тобто
v
k
(
x
)
⩾
v
k
+
1
(
x
)
{\displaystyle v_{k}(x)\geqslant v_{k+1}(x)}
для всіх
x
∈
D
{\displaystyle x\in D}
, та
v
k
(
x
)
⇉
0
{\displaystyle v_{k}(x)\rightrightarrows 0}
.
Тоді ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
v
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)v_{k}(x)}
рівномірно збіжний на множині
D
{\displaystyle D}
.
Нехай
1) ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
рівномірно збігається на
D
{\displaystyle D}
;
2) послідовність
{
v
k
(
x
)
}
,
k
∈
N
,
{\displaystyle \{v_{k}(x)\},k\in \mathbb {N} ,}
монотонна та обмежена на
D
{\displaystyle D}
, тобто
∃
M
>
0
∀
n
∈
N
∀
x
∈
D
|
v
k
(
x
)
|
⩽
M
.
{\displaystyle \exists M>0\quad \forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in D\qquad \left|v_{k}(x)\right|\leqslant M.}
Тоді ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
v
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)v_{k}(x)}
рівномірно збіжний на множині
D
{\displaystyle D}
.
Властивості рівномірно збіжних функціональних послідовностей та рядів
ред.
Теорема 1. (про граничний перехід)
Нехай
u
k
(
x
)
⇉
u
(
x
)
{\displaystyle u_{k}(x)\rightrightarrows u(x)}
на деякому проміжку
(
a
,
b
)
⊆
R
{\displaystyle (a,b)\subseteq \mathbb {R} }
та існує скінченна границя
lim
x
→
c
u
k
(
x
)
=
c
k
,
k
=
1
,
2
,
…
,
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}u_{k}(x)=c_{k},\quad k=1,2,\ldots ,}
Тоді послідовність
{
c
k
}
{\displaystyle \{c_{k}\}}
збіжна і
lim
x
→
c
u
(
x
)
=
lim
k
→
∞
c
k
.
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}u(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }c_{k}.}
Іншими словами
lim
k
→
∞
(
lim
x
→
c
u
k
(
x
)
)
=
lim
x
→
c
(
lim
k
→
∞
u
k
(
x
)
)
=
lim
x
→
c
u
(
x
)
.
{\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\left(\lim _{x\rightarrow c}u_{k}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow c}\left(\lim _{k\rightarrow \infty }u_{k}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow c}u(x).}
Наслідок
Границя рівномірно збіжної послідовності неперервних функцій є неперервною функцією.
Теорема 2. (про неперервність суми функціонального ряду)
Якщо функціональний ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
рівномірно збігається на множині
D
{\displaystyle D}
до функції
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
, а його члени
u
k
(
x
)
{\displaystyle u_{k}(x)}
— неперервні на цій множині функції, то його сума
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
є неперервною на
D
{\displaystyle D}
функцією, тобто
lim
x
→
x
0
(
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
)
=
lim
x
→
x
0
S
(
x
)
=
S
(
x
0
)
=
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
0
)
=
∑
k
=
1
∞
(
lim
x
→
x
0
u
k
(
x
)
)
.
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}S(x)=S(x_{0})=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x_{0})=\sum _{k=1}^{\infty }\left(\lim _{x\rightarrow x_{0}}u_{k}(x)\right).}
Нехай
−
∞
<
a
<
b
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <a<b<+\infty }
. Якщо послідовність
{
u
k
}
{\displaystyle \{u_{k}\}}
неперервних на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
функцій при кожному
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
незростаюча (або неспадна)
і збігається поточково до
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
, де
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
неперервна на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
, то така збіжність є рівномірною.
Наслідок
Якщо ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
збігається (поточково) на відрізку
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
до неперервної функції
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
, а функції
u
k
(
x
)
{\displaystyle u_{k}(x)}
— неперервні, причому
u
k
(
x
)
>
0
{\displaystyle u_{k}(x)>0}
для всіх
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
, то ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
збігається рівномірно на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
до функції
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
.
Теорема 3. (про граничний перехід під знаком інтеграла)
Нехай
−
∞
<
a
<
b
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <a<b<+\infty }
. Якщо послідовність
{
u
k
(
x
)
}
{\displaystyle \{u_{k}(x)\}}
інтегровних за Ріманом (Лебегом ) на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
функцій рівномірно збігається до функції
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
, то функція
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
інтегровна за Ріманом (Лебегом) і
∫
a
b
u
(
x
)
d
x
=
lim
k
→
∞
∫
a
b
u
k
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u(x)dx=\lim _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{a}^{b}u_{k}(x)dx.}
Для інтеграла в сенсі Лебега встановлено загальніший результат, який не має аналогу для інтеграла Рімана, а саме — Теорема Лебега про мажоровану збіжність .
Теорема 4. (про інтегрування функціонального ряду)
Якщо функціональний ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
рівномірно збігається на відрізку
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
до функції
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
, а його члени
u
k
(
x
)
{\displaystyle u_{k}(x)}
— неперервні на цьому відрізку функції, то
∫
a
b
(
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
)
d
x
=
∫
a
b
S
(
x
)
d
x
=
∑
k
=
1
∞
(
∫
a
b
u
k
(
x
)
d
x
)
.
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)dx=\int \limits _{a}^{b}S(x)dx=\sum _{k=1}^{\infty }\left(\int \limits _{a}^{b}u_{k}(x)dx\right).}
Теорема 5. (про диференціювання під знаком границі)
Нехай
−
∞
<
a
<
b
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <a<b<+\infty }
. Якщо послідовність
{
u
k
(
x
)
}
{\displaystyle \{u_{k}(x)\}}
неперервно диференційовних на відрізку
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
функцій є поточково збіжною до функції
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
, а послідовність їх похідних
{
u
k
′
(
x
)
}
{\displaystyle \{u_{k}^{\prime }(x)\}}
— рівномірно збіжною на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
до деякої функції
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
, то функція
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
є неперервно диференційовною на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
, а її похідна дорівнює границі послідовності похідних
∀
x
∈
[
a
,
b
]
u
′
(
x
)
=
g
(
x
)
=
lim
k
→
∞
u
k
′
(
x
)
.
{\displaystyle \forall x\in [a,b]\quad u^{\prime }(x)=g(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }u_{k}^{\prime }(x).}
Теорема 6. (про диференціювання функціонального ряду)
Якщо функціональний ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
, у якому функції
u
k
(
x
)
{\displaystyle u_{k}(x)}
— неперервно диференційовні на відрізку
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
, збігається хоча б в одній точці
x
0
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x_{0}\in [a,b]}
, а ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
′
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}^{\prime }(x)}
— рівномірно збігається на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
, то ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
також рівномірно збігається на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
до функції
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
, причому
(
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
)
′
=
S
′
(
x
)
=
∑
k
=
1
∞
u
k
′
(
x
)
.
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)^{\prime }=S^{\prime }(x)=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}^{\prime }(x).}
Збіжність у середньому функціональних послідовностей
ред.
При дослідженні питання про інтегрування функціональних рядів, зокрема ряду Фур'є використовується поняття збіжності у середньому.
Нехай кожна функція
u
k
(
x
)
{\displaystyle u_{k}(x)}
функціональної послідовності
{
u
k
(
x
)
}
{\displaystyle \{u_{k}(x)\}}
і функція
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
інтегровні за Ріманом на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
.
Функціональна послідовність
{
u
k
(
x
)
}
{\displaystyle \{u_{k}(x)\}}
збігається в середньому на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
до функції
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
, якщо
lim
k
→
∞
∫
a
b
(
u
k
(
x
)
−
u
(
x
)
)
2
d
x
=
0.
{\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{a}^{b}(u_{k}(x)-u(x))^{2}dx=0.}
Функціональний ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}
збігається в середньому на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
до функції
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
, якщо послідовність його частинних сум збігається в середньому на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
до граничної функції
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
.
Зауваження. Якщо функціональна послідовність (ряд) збігається в середньому на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
до
u
(
x
)
(
S
(
x
)
)
{\displaystyle u(x)(S(x))}
, то ця послідовність (ряд) збігається в середньому до
u
(
x
)
(
S
(
x
)
)
{\displaystyle u(x)(S(x))}
і на довільному проміжку
[
c
,
d
]
⊂
[
a
,
b
]
{\displaystyle [c,d]\subset [a,b]}
.
Теорема 7. (про зв'язок між рівномірною збіжністю та збіжністю в середньому)
Якщо послідовність
{
u
k
(
x
)
}
{\displaystyle \{u_{k}(x)\}}
рівномірно збігається на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
до функції
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
, то ця послідовність збігається в середньому на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
до
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
.
Теорема 8. (про інтегрування)
Якщо послідовність
{
u
k
(
x
)
}
{\displaystyle \{u_{k}(x)\}}
збіжна в середньому на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
до функції
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
, то
lim
k
→
∞
∫
a
x
u
k
(
t
)
d
t
⇉
∫
a
x
u
(
t
)
d
t
,
x
∈
[
a
,
b
]
,
{\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{a}^{x}u_{k}(t)dt\rightrightarrows \int \limits _{a}^{x}u(t)dt,\quad x\in [a,b],}
тобто послідовність
{
∫
a
x
u
k
(
t
)
d
t
}
{\displaystyle \left\{\int _{a}^{x}u_{k}(t)dt\right\}}
рівномірно збігається на
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
до функції
∫
a
x
u
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{a}^{x}u(t)dt}
.
Функціональні ряди комплексного аргументу
ред.
Розглянемо послідовність функцій
f
k
(
z
)
:
E
→
C
,
k
∈
N
{\displaystyle f_{k}(z):E\rightarrow \mathbb {C} ,\,k\in \mathbb {N} }
,
E
⊆
C
{\displaystyle E\subseteq \mathbb {C} }
, та відповідний функціональний ряд
∑
k
=
1
∞
f
k
(
z
)
=
f
1
(
z
)
+
f
2
(
z
)
+
⋯
+
f
k
(
z
)
+
⋯
,
z
∈
E
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots ,\quad z\in E.}
Означення поточкової та рівномірної збіжності аналогічні відповідним означенням із дійсного випадку, в яких модуль слід розуміти як модуль комплексного числа .
Теорема.
Для того, щоб ряд
∑
k
=
1
∞
f
k
(
z
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}
був збіжним (рівномірно збіжним) на множині
E
{\displaystyle E}
до функції
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
, необхідно і достатньо, щоб були збіжними (рівномірно збіжними) на множині
E
{\displaystyle E}
ряди складені з дійсних та уявних частин функцій
f
k
(
z
)
{\displaystyle f_{k}(z)}
, тобто
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
,
y
)
⇉
u
(
x
,
y
)
,
z
=
x
+
i
y
∈
E
,
u
k
(
x
,
y
)
=
R
e
f
k
(
z
)
,
u
(
x
,
y
)
=
R
e
f
(
z
)
,
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x,y)\rightrightarrows u(x,y),\quad z=x+iy\in E,\quad u_{k}(x,y)=\mathrm {Re} f_{k}(z),\quad u(x,y)=\mathrm {Re} f(z),}
∑
k
=
1
∞
v
k
(
x
,
y
)
⇉
v
(
x
,
y
)
,
z
=
x
+
i
y
∈
E
,
v
k
(
x
,
y
)
=
I
m
f
k
(
z
)
,
v
(
x
,
y
)
=
I
m
f
(
z
)
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }v_{k}(x,y)\rightrightarrows v(x,y),\quad z=x+iy\in E,\quad v_{k}(x,y)=\mathrm {Im} f_{k}(z),\quad v(x,y)=\mathrm {Im} f(z).}
Ця теорема дає змогу перенести на комплексний випадок всі наведені вище теореми з дійсного випадку, зокрема, аналогічно формулюються ознаки рівномірної збіжності, критерій Коші, теореми про неперервність, інтегрування (у якій відрізок інтегрування можна замінити на довільну криву у комплексній площині) та диференціювання функціональних послідовностей та рядів.
Однак деякі результати не мають аналогу у дійсному випадку.
Теорема Вейєрштрасса про рівномірну збіжність рядів аналітичних функцій
ред.
Нехай в області
G
{\displaystyle G}
задана послідовність
{
f
k
(
z
)
}
,
k
∈
N
,
{\displaystyle \{f_{k}(z)\},\,k\in \mathbb {N} ,}
аналітичних функцій , і ряд
∑
k
=
1
∞
f
k
(
z
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}
рівномірно збіжний на кожному замкненому крузі, що лежить в області
G
{\displaystyle G}
до деякої функції
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
. Тоді:
1) функція
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
аналітична в
G
{\displaystyle G}
;
2) ряд
∑
k
=
1
∞
f
k
(
z
)
{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}
можна диференціювати довільну кількість разів, тобто
∑
k
=
1
∞
f
k
(
n
)
(
z
)
=
f
(
n
)
(
z
)
,
n
∈
N
;
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}^{(n)}(z)=f^{(n)}(z),\quad n\in \mathbb {N} ;}
3) кожен з рядів у пункті 2 рівномірно збігається на кожному замкненому крузі в області
G
{\displaystyle G}
.
Нехай
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,\;d)}
— метричний простір з метрикою
d
:=
d
(
x
,
y
)
,
x
,
y
∈
X
{\displaystyle d:=d(x,y),x,y\in X}
.
Послідовність
{
x
k
}
,
k
∈
N
{\displaystyle \{x_{k}\},k\in \mathbb {N} }
елементів простору
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,\;d)}
називається збіжною за метрикою цього простору до елемента
x
∈
(
X
,
d
)
{\displaystyle x\in (X,\;d)}
, якщо
∀
ε
>
0
∃
N
∈
N
∀
n
:
n
>
N
d
(
x
k
,
x
)
<
ε
.
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n:n>N\quad d(x_{k},x)<\varepsilon .}
Послідовність
{
x
k
}
,
k
∈
N
{\displaystyle \{x_{k}\},k\in \mathbb {N} }
елементів простору
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,\;d)}
називається фундаментальною , якщо
∀
ε
>
0
∃
N
∈
N
∀
m
,
n
:
m
,
n
>
N
d
(
x
n
,
x
m
)
<
ε
.
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n:m,n>N\quad d(x_{n},x_{m})<\varepsilon .}
Довільна збіжна послідовність є фундаментальною, але не навпаки (границя фундаментальної послідовності може не належати відповідному простору). Метричний простір у якому кожна фундаментальна послідовність є збіжною називається повним .
Розглянемо множину всіх неперервних на деякій множині
D
{\displaystyle D}
дійсних функцій з метрикою
d
1
(
f
,
g
)
=
sup
x
∈
D
|
f
(
x
)
−
g
(
x
)
|
.
{\displaystyle d_{1}(f,g)=\sup _{x\in D}|f(x)-g(x)|.}
Відповідний метричний простір позначається
C
(
D
)
{\displaystyle C(D)}
(якщо
D
=
[
a
,
b
]
{\displaystyle D=[a,b]}
— відрізок, то
C
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C([a,b])}
або
C
[
a
,
b
]
{\displaystyle C[a,b]}
), а метрика називається чебишовською або рівномірною .
Збіжність функціональної послідовності за метрикою у цьому просторі еквівалентна рівномірній збіжності. З наслідку теореми 1 (про граничний перехід) випливає, що цей метричний простір є повним, а критерієм фунадментальності послідовності є критерій Коші.
Тепер розглянемо множину всіх неперервних на відрізку
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
дійсних функцій з метрикою
d
2
(
f
,
g
)
=
(
∫
a
b
(
u
k
(
x
)
−
u
(
x
)
)
2
d
x
)
.
{\displaystyle d_{2}(f,g)=\left(\int \limits _{a}^{b}(u_{k}(x)-u(x))^{2}dx\right).}
Такий простір позначається
C
2
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C_{2}([a,b])}
і називається простором неперервних функцій з квадратичною метрикою . Збіжність за метрикою у такому просторі еквівалентна збіжності в середньому. Цей простір не є повним.