Теорема Рімана про умовно збіжний ряд — теорема стверджує, що перестановкою членів умовно збіжного ряду можна побудувати ряд, що збігається до якої завгодно суми чи взагалі розходиться. Названа на честь німецького математика Бернгарда Рімана .
Позначимо:
∀
n
∈
N
,
a
n
=
max
(
u
n
,
0
)
b
n
=
min
(
0
,
u
n
)
.
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ a_{n}=\max(u_{n},0)\quad \quad b_{n}=\min(0,u_{n}).}
Тоді:
∑
k
=
0
n
a
k
=
+
∞
∑
k
=
0
n
b
k
=
−
∞
.
(
1
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}=+\infty \quad \quad \sum _{k=0}^{n}b_{k}=-\infty .\qquad (1)}
ред.
Візьмемо довільне число
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
σ
{\displaystyle \sigma }
множини
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
α
{\displaystyle \alpha \,}
α
{\displaystyle \alpha \,}
нескінченності , одержуємо перестановку.
Нехай
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
натуральне число
N
0
∈
N
,
{\displaystyle N_{0}\in \mathbb {N} ,}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
n
≥
N
0
⟹
|
u
n
|
<
ε
.
{\displaystyle n\geq N_{0}\Longrightarrow |u_{n}|<\varepsilon .}
Існує
N
1
∈
N
,
{\displaystyle N_{1}\in \mathbb {N} ,}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
n
≥
N
1
⟹
|
u
σ
(
n
)
|
<
ε
.
{\displaystyle n\geq N_{1}\Longrightarrow |u_{\sigma (n)}|<\varepsilon .}
Наприклад, достатньо взяти
N
1
=
1
+
max
{
σ
−
1
(
0
)
,
σ
−
1
(
1
)
,
…
,
σ
−
1
(
N
0
)
}
{\displaystyle N_{1}=1+\max\{\sigma ^{-1}(0),\sigma ^{-1}(1),\ldots ,\sigma ^{-1}(N_{0})\}}
Позначимо
N
2
{\displaystyle N_{2}}
N
1
{\displaystyle N_{1}}
u
σ
(
N
2
)
{\displaystyle u_{\sigma (N_{2})}}
u
σ
(
N
2
+
1
)
{\displaystyle u_{\sigma (N_{2}+1)}}
|
α
−
∑
k
=
0
N
2
−
1
u
σ
(
k
)
|
≤
|
u
σ
(
N
2
)
|
≤
ε
.
{\displaystyle \left|\alpha -\sum _{k=0}^{N_{2}-1}u_{\sigma (k)}\right|\leq |u_{\sigma (N_{2})}|\leq \varepsilon .}
Для
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
P
(
n
)
:
|
α
−
∑
k
=
0
n
u
σ
(
k
)
|
≤
ε
.
{\displaystyle {\mathcal {P}}(n):\left|\alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon .}
Вище було показано, що твердження
P
(
N
2
−
1
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(N_{2}-1)}
n
≥
N
2
−
1
{\displaystyle n\geq N_{2}-1}
0
<
α
−
∑
k
=
0
n
u
σ
(
k
)
≤
ε
.
{\displaystyle 0<\alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\leq \varepsilon .}
Тоді
0
≤
u
σ
(
n
+
1
)
≤
ε
{\displaystyle 0\leq u_{\sigma (n+1)}\leq \varepsilon }
|
α
−
∑
k
=
0
n
+
1
u
σ
(
k
)
|
≤
ε
.
{\displaystyle \left|\alpha -\sum _{k=0}^{n+1}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon .}
−
ε
≤
α
−
∑
k
=
0
n
u
σ
(
k
)
≤
0.
{\displaystyle -\varepsilon \leq \alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\leq 0.}
Тоді
−
ε
≤
u
σ
(
n
+
1
)
<
0
{\displaystyle -\varepsilon \leq u_{\sigma (n+1)}<0}
|
α
−
∑
k
=
0
n
+
1
u
σ
(
k
)
|
≤
ε
.
{\displaystyle \left|\alpha -\sum _{k=0}^{n+1}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon .}
Застосовуючи математичну індукцію , маємо:
∀
ε
>
0
,
∃
N
2
∈
N
,
∀
n
∈
N
,
n
≥
N
2
⟹
|
α
−
∑
k
=
0
n
u
σ
(
k
)
|
≤
ε
,
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\ \exists N_{2}\in \mathbb {N} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,\ n\geq N_{2}\Longrightarrow \left|\alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon ,}
що й доводить твердження.
