Знакопереміжний ряд

Знакоперемі́жний ряд — математичний ряд, члени якого почергово набувають значень із протилежними знаками:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\,b_{n},\quad b_{n}>0$.

Як і будь-який ряд, знакопереміжний ряд є збіжним тоді і тільки тоді, коли відповідна послідовність часткових сум є збіжною.

Приклади

Геометричний ряд 1/2-1/4+1/8-1/16+ $\cdots$ є збіжним до 1/3.

Знакопереміжний гармонічний ряд має скінченну суму, а гармонічний ряд  — ні.

Ряд Меркатора надає аналітичний вираз для натурального логарифму:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\;=\;\ln(1+x).$

Функції синус і косинус, що використовуються в тригонометрії, в математичному аналізі можна визначити як знакопереміжні ряди, попри те, що в елементарній алгебрі вони вводяться як відношення сторін прямокутного трикутника. Дійсно,

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$, та

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.$

Якщо з цих рядів вилучити закопереміжний коефіцієнт $(-1)^{n}$, то отримаємо гіперболічні функції $sh$ і $ch$, що використовуються в математичному аналізі.

Для цілого чи додатного індексу $\alpha$ функцію Бесселя першого роду можна визначити за допомогою закопереміжного ряду

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },$

де $\Gamma (z)$ — це гамма-функція.

Якщо $s$ — комплексне число, тоді функція Діріхле подається у вигляді знакопереміжного ряду

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots ,$

що використовується в аналітичній теорії чисел.

Ознака Лейбніца

Ознака Лейбніца — ознака збіжності знакопереміжного ряду, встановлена Готфрідом Лейбніцем. Формулювання теореми: нехай дано знакопереміжний ряд

$S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}b_{n},\quad \ b_{n}\geq 0$,

для якого виконуються такі умови:

1. $b_{n}\geq b_{n+1}$, починаючи з деякого номера ($n\geq N$),
2. $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0.$

Тоді такий ряд збігається.

Зауваження

Ряди, що задовольняють ознаці Лейбніца, називаються рядами Лейбніца.

Слід зазначити, що монотонне спадання до нуля не є необхідним для збіжності знакопереміжного ряду (тоді як для довільного ряду умова $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ є саме необхідною умовою): ця ознака є достатньою, але не обов'язковою (наприклад, ряд $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}}$ збігається).

Ряд Лейбніца може абсолютно збігатися (якщо збігається ряд $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$), а може збігатися умовно (якщо ряд із модулів розбігається).

Доведення

Розглянемо дві послідовності часткових сум ряду $R_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots -b_{2n}$ и $L_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots +b_{2n+1}$.

Перша послідовність не спадає: $R_{n}-R_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+1}\leq 0$ за першою умовою.

За тією ж умовою друга послідовність не зростає: $L_{n}-L_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+3}\geq 0$.

Друга послідовність мажорує першу, тобто $L_{n}\geq R_{m}$ для довільних $m,n\in \mathbb {N}$. Дійсно,

при $m\geq n$ маємо: $L_{n}-R_{m}\geq L_{m}-R_{m}=b_{2m+1}>0,$

при $m\leq n$ маємо: $L_{n}-R_{m}\geq L_{n}-R_{n}=b_{2n+1}>0.$

Отже вони обидві збігаються як монотонні обмежені послідовності.

Залишилося зауважити, що: $\lim _{m,n}|R_{n}-L_{m}|=0$, тому вони збігаються до спільної границі $S$, яка і є сумою початкового ряду.

Попутно ми показали, що для будь-якої часткової суми ряду $S_{n}$ є оцінка $|S-S_{n}|<b_{n+1}$.

Приклад

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\;$. Ряд з модулів має вигляд $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ — це гармонічний ряд, який розбігається.

Тепер скористаємося ознакою Лейбніца:

1. знакопереміжність виконано;
2. ${\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n}},\;\forall \;n$;
3. $\lim _{n\to \infty }\,{\frac {1}{n}}=0$.

Отже, оскільки всі умови виконано, ряд збігається (причому умовно, оскільки ряд з модулів розбіжний).

Оцінка залишку ряду Лейбніца

З теореми Лейбніца випливає наслідок, який дозволяє оцінити похибку обчислення неповної суми ряду (залишок ряду):

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}b_{i}.$

Залишок збіжного знакопереміжного ряду $R_{n}=S-S_{n}$ буде за модулем меншим від першого відкинутого доданку:

$\left|R_{n}\right|<b_{n+1}.$

Доведення

Послідовність $S_{2k}$ монотонно зростає, оскільки $S_{2k}=\sum \limits _{i=2}^{i=n}{\left({b_{2i-1}-b_{2i}}\right)},$ а вираз $b_{2i-1}-b_{2i}$ невід'ємний за будь-якого цілого $i$. Послідовність $S_{2k-1}$ монотонно спадає, оскільки $S_{2k+1}=S_{2k-1}-\left({b_{2k}-b_{2k+1}}\right),$ а вираз у дужках невід'ємний. Як вже доведено під час доведення самої теореми Лейбніца, в обох цих послідовностей — $S_{2k}$ і $S_{2k-1}$ — однакова границя при $k\to +\infty .$ Так отримано $S_{2k}\leqslant s\leqslant S_{2k-1}$ і також $s\leqslant S_{2k+1}.$ Звідси $0\leqslant s-S_{2k}\leqslant S_{2k+1}-S_{2k}=b_{2k+1}$ і $0\leqslant S_{2k-1}-s\leqslant S_{2k-1}-S_{2k}=b_{2k}.$ Отже, для будь-якого $k$ виконується $\left|{s-S_{k}}\right|\leqslant b_{k+1}$, що й потрібно було довести.

Знакозмінний ряд

Знакопереміжні ряди також іноді називають знакозмінними, проте цей термін може також означати будь-які ряди, які мають одночасно нескінченне число додатних і від'ємних членів.

Наближені суми

Наведена вище оцінка не залежить від $n$. Отже, якщо {$a_{n}$} монотонно збігається до $0$, то оцінка абсолютної похибки для наближення нескінченних сум частковими є такою:

$\left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\leq |a_{m+1}|.$

Абсолютна збіжність

Ряд $\sum a_{n}$ абсолютно збіжний, якщо ряд $\sum |a_{n}|$ — збіжний.

Теорема: Абсолютно збіжний ряд є збіжним.

Доведення

Припустимо, що ряд $\sum a_{n}$ абсолютно збіжний. Тоді, $\sum |a_{n}|$ є збіжним, і з цього випливає, що $\sum 2|a_{n}|$ також збіжний. Оскільки $0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|$, тоді ряд $\sum (a_{n}+|a_{n}|)$ є збіжним за ознакою порівняння рядів. Тому $\sum a_{n}$ є збіжним як різниця двох збіжних рядів $\sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|$.

Умовна збіжність

Ряд називають умовно збіжним, якщо він є збіжним, але не є абсолютно збіжним.

Наприклад, гармонічний ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},\!$

розбіжний, тоді як його знакопереміжна версія

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\!$

збігається за ознакою Лейбніца.

Перестановки

Для будь-якого ряду можна утворити новий ряд перестановкою порядку сумування. Ряд називається безумовно збіжним, якщо після будь-якої його перестановки утворюється ряд з тією ж збіжністю, що й початковий. Абсолютно збіжні ряди є безумовно збіжними. Але теорема Рімана про умовно збіжний ряд стверджує, що умовно збіжні ряди можна подати для утворення будь-якої збіжності. Загальний принцип полягає в тому, що додавання нескінченних сум є комутативним лише для абсолютно збіжних рядів.

Наприклад, одне з хибних доведень, що $1=0$, використовує порушення асоціативності для нескінченних сум.

Ще один приклад, як відомо

$\ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .$

Але, оскільки ряд не є абсолютно збіжним, то можемо переставити члени ряду, щоб отримати ряд для ${\frac {1}{2}}\ln(2)$:

${\begin{aligned}&\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&\quad ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&\quad ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}$

Прискорення збіжності ряду

Насправді числове підсумування знакопереміжного ряду можна прискорити за допомогою будь-якої з різноманітних методик прискорення збіжності рядів. Однією з найдавніших методик є підсумування Ейлера, а також безліч сучасних методик, які можуть забезпечити ще швидшу збіжність рядів.

Див. також

• Ознака Діріхле — узагальнення ознаки Лейбніца
• Ряд Гранді
• Інтеграл Норлунда – Райса

Література

• Иванов Г. Е. Глава 9. Числовые ряды. §3. Ряды со знакопеременными членами // Лекции по математическому анализу. — М. : МФТИ, 2000. — Т. 1. — С. 299—303. — 800 прим. — ISBN 5-7417-0147-7.
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.
• Earl D. Rainville (1967) Infinite Series, pp 73–6, Macmillan Publishers.
• Weisstein, Eric W. Alternating Series(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.