Ознака розбіжності ряду

Ознака розбіжності ряду — проста ознака, що надає достатню умову розбіжності ряду через властивості його доданків:

Для збіжності ряду $\sum a_{k}$ необхідно, щоб послідовність $(a_{k})$ збігалася до 0. Відповідно для розбіжності ряду достатнім є невиконання цієї умови

Доведення

Припустимо, що ряд збігається. За визначенням збіжності ряду послідовність $s_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{i}$, а отже, і послідовність $(s_{k+1})$ збігаються до деякої спільної скінченної границі $s$. Але $(a_{k+1})=\,(s_{k+1})-\,(s_{k})$ і з властивостей границі послідовності $(a_{k+1}){\xrightarrow {\,}}s-s=0$, тобто послідовність $(a_{k})$ збігається до нуля.

Зауваження

Дана ознака є тільки достатньою, але не необхідною умовою розбіжності, тобто з того, що $(a_{k})$ збігається до нуля не випливає збіжність ряду.

Так, гармонічний ряд $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n}}+...$ є розбіжним, хоча його доданки прямують до нуля.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)