Теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів

Теорема Лейбніца (ознака Лейбніца, правило Лейбніца або критерій Лейбніца)  — теорема у математичному аналізі доведена Готфрідом Лейбніцем, що дає достатні умови збіжності знакопереміжнного ряду зі спадаючими членами за абсолютним значенням.

Твердження

Якщо послідовність $\{|a_{n}|\}$ спадає монотонно і $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0$, тобто:

1. $0<a_{n+1}<a_{n};$
2. $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0,$

то знакопереміжний ряд є збіжним.

Доведення

Нехай задано ряд вигляду $\sum \limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$, де $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0$ і $a_{n}\geq a_{n+1}$ для усіх $n\in \mathbb {N}$. (Випадок $\sum \limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$ випливає з цього доведення, якщо вибрати від'ємні члени.)

Доведення збіжності

Доведемо, що обидві часткові суми $S_{2m+1}=\sum \limits _{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n}$ з непарною кількістю елементів та $S_{2m}=\sum \limits _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}$ з парною кількістю, збігаються до одного і того ж значення $L$. Тоді звичайна часткова сума $S_{k}=\sum \limits _{n=1}^{k}(-1)^{n-1}a_{n}$ також збігається до $L$.

Непарні часткові суми спадають монотонно

$S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3}\leq S_{2m+1},$

у той час як парні часткові суми зростають монотонно

$S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2}\geq S_{2m}.$

Обидва випадки виконуються тому, що значення $a_{n}$ зменшується монотонно із збільшенням $n$.

Запишемо часткову суму парного порядку так:

$S_{2m}=\sum \limits _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}=(a_{1}-a_{2})+(a_{3}-a_{4})+\dots +(a_{2n-1}-a_{2n}).$

Оскільки всі доданки в дужках більші нуля, то послідовність $S_{2m}$ є зростаючою. З іншого боку можна записати:

$S_{2m}=a_{1}-(a_{2}-a_{3})-(a_{4}-a_{5})-\dots -(a_{2n-2}-a_{2n-1})-a_{2n},$

тобто $S_{2m}<a_{1}$.

Запишемо часткову суму парного порядку так:

$S_{2N}=\sum _{n=1}^{2N}(-1)^{n-1}a_{n}=\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(a_{3}-a_{4}\right)+\ldots +\left(a_{2N-1}-a_{2N}\right),$

Оскільки всі доданки в дужках більші нуля, то послідовність $S_{2N}$ є зростаючою. З іншого боку можна записати:

$S_{2N}=a_{1}-\left(a_{2}-a_{3}\right)-\left(a_{4}-a_{5}\right)-\ldots -\left(a_{2N-2}-a_{2N-1}\right)-a_{2N},$

тобто $S_{2N}<a_{1}$.

Отже, послідовність парних часткових сум є обмеженою і зростаючою, а значить збіжною. Для непарних часткових сум маємо: $S_{2m+1}=S_{mn}-a_{2n}$ і оскільки $a_{2n}$ збігається до нуля, границя $S_{2m+1}$ існує і рівна границі $S_{2m}$. Дане число і буде сумою ряду.

Крім того, оскільки $a_{n}$ — додатні, то $S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2n+1}\geq 0$. Таким чином, використовуючи ці факти, можемо сформулювати наступну послідовність нерівностей

$a_{1}-a_{2}=S_{2}\leq S_{2m}\leq S_{2m+1}\leq S_{1}=a_{1}.$

Зауважимо, що число $a_{1}-a_{2}$ є нижньою межею монотонно спадаючої послідовності $S_{2m+1}$. Тоді з теореми Леві про монотонну збіжність випливає, що ця послідовність є збіжною при прямуванні $m$ до нескінченності. Збіжність послідовність парних часткових суми доводиться аналогічно.

Отже, вони збігаються до того ж числа, оскільки

$\lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=0.$

Позначимо границю як $L$, тоді теорема про монотонну збіжність додатково дає нам, що

$S_{2m}\leq L\leq S_{2m+1}$

для будь-якого $m$. Це означає, що часткові суми знакопереміжного ряду також ``чергуються вище і нижче фінальної границі. Точніше, коли є непарна (парна) кількість членів, тобто останній член є додатнім (від'ємним), тоді часткова сума знаходиться вище (нижче) кінцевої границі.

Це розуміння негайно приводить до оцінки залишку часткових сум як показано нижче.

Доведення для оцінки залишку часткових сум

Покажемо, що $|S_{k}-L|\leq a_{k+1}$, розглянувши два випадки.

Якщо $k=2m+1$, тобто непарне, то

$|S_{2m+1}-L|=S_{2m+1}-L\leq S_{2m+1}-S_{2m+2}=a_{(2m+1)+1}.$

Якщо $k=2m$, тобто парне, то

$|S_{2m}-L|=L-S_{2m}\leq S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}.$

Обидва випадки суттєво використовують останню нерівність, яку було отримано в попередньому доведенні.

Для альтернативного доведення використовують ознаку збіжності Коші, дивись знакопереміжний ряд.

Для узагальнення дивися ознаку Діріхле.

Наслідок

З теорем Лейбніца можна оцінити похибку обчислення суми ряду:

$S_{n}=\sum _{m=0}^{n}a_{m}.$

Залишок ряду $R_{n}=S-S_{n}$ за модулем буде менше першого відкинутого доданку:

$\left|R_{n}\right|<\left|a_{n+1}\right|.$

Контрприклад

Усі умови ознаки, а саме збіжність до $0$ і монотонність, мають виконуватися для того, щоб висновок був справедливим. Наприклад, розглянемо ряд

${\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {3}}+1}}+\cdots .$

Знаки чергуються, а елементи прямують до нуля. Однак монотонність відсутня, що не дозволяє застосувати ознаку. Насправді ряд є розбіжним. Дійсно, для часткових сум $S_{2n}$ маємо $S_{2n}={\frac {2}{1}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{3}}+\cdots +{\frac {2}{n-1}}$, що є подвоєною частковою сумою гармонічного ряду, який є розбіжним. Таким чином, початковий ряд є розбіжним. Що й треба було довести.

Див. також

• Знакопереміжний ряд
• Ознака Діріхле

Примітки

↑ На практиці перші декілька членів можуть зростати. Важливо те, що $a_{n}\geq a_{n+1}$ для усіх $n$, починаючи з деякого номера.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Konrad Knopp (1956) Infinite Sequences and Series, § 3.4, Dover Publications ISBN 0-486-60153-6
• Konrad Knopp (1990) Theory and Application of Infinite Series, § 15, Dover Publications ISBN 0-486-66165-2
• E. T. Whittaker & G. N. Watson (1963) A Course in Modern Analysis, 4th edition, §2.3, Cambridge University Press ISBN 0-521-58807-3
• Ознака Лейбніца // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 513. — 594 с.
• Weisstein, Eric W. Leibniz Criterion(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.