Радикальна ознака Коші

Радикальна ознака Коші — ознака збіжності числового ряда:

Якщо для числового ряда

з невід'ємними членами існує таке число , , що, починаючи з деякого номера, виконується нерівність то даний ряд збіжний.

Дана ознака була вперше розглянута французьким математиком Огюстеном-Луї Коші, який опублікував доведення у своєму підручнику Cours d'analyse (1821)[1].

В англомовній літературі дану ознаку частіше називають просто "Root test"[1], опускаючі ім'я автора.

Гранична формаРедагувати

Умова радикальної ознаки рівносильна наступному [2]:

 

Тобто можна сформулювати радикальну ознаку збіжності знакододатного ряду в граничній формі:

Якщо для ряду

 , то
якщо   ряд збігається,
якщо   ряд розбігається.

ДоведенняРедагувати

1. Нехай  . Очевидно, що існує таке  , що  . Оскільки існує границя  , то підставивши в означення границі вибране   одержимо:

 

Розкривши модуль, одержимо:

 
 
 

Оскільки  , то ряд   збігається. Тоді за ознакою порівняння ряд   теж збігається.

2. Нехай  . Очевидно, що існує таке  , що  . Оскільки існує границя  , то підставивши в означення границі вибране   одержимо:

 

Розкривши модуль, одержимо:

 
 
 

Оскільки  , то ряд   розбіжний. Тоді за ознакою порівняння ряд   теж розбіжний.

ПрикладиРедагувати

1. Ряд

 
збіжний, оскільки виконується умова граничної форми радикальної ознаки
 

2. Розглянемо ряд

 
 ряд збіжний

ПриміткиРедагувати

Див. такожРедагувати