Радикальна ознака Коші

Радикальна ознака Коші — ознака збіжності числового ряду:

Якщо для числового ряду $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ з невід'ємними членами існує таке число $d$, $0<d<1$, що, починаючи з деякого номера, виконується нерівність ${\sqrt[{n}]{a_{n}}}<d$ то даний ряд збіжний.

Дана ознака була вперше розглянута французьким математиком Огюстеном-Луї Коші, який опублікував доведення у своєму підручнику Cours d'analyse (1821).

В англомовній літературі дану ознаку частіше називають просто "Root test"[1], опускаючі ім'я автора.

Гранична форма

Умова радикальної ознаки рівносильна наступному :

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<1$

Тобто можна сформулювати радикальну ознаку збіжності знакододатного ряду в граничній формі:

Якщо для ряду $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ (a_{n}\geq \;0)\ \exists \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=l\;$, то якщо $l<1$ ряд збігається, якщо $l>1$ ряд розбігається.

Доведення

1. Нехай $l<1$. Очевидно, що існує таке $\varepsilon >0$, що $l+\varepsilon <1$. Оскільки існує границя $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=l$, то підставивши в означення границі вибране $\varepsilon$ одержимо:

$\vert {\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l\vert <\varepsilon$

Розкривши модуль, одержимо:

$-\varepsilon <{\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l<\varepsilon$

$l-\varepsilon <{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<l+\varepsilon$

$(l-\varepsilon )^{n}<a_{n}<(l+\varepsilon )^{n}$

Оскільки $l+\varepsilon <1$, то ряд $\sum _{n=1}^{\infty }(l+\varepsilon )^{n}$ збігається. Тоді за ознакою порівняння ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ теж збігається.

2. Нехай $l>1$. Очевидно, що існує таке $\varepsilon >0$, що $l-\varepsilon >1$. Оскільки існує границя $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=l$, то підставивши в означення границі вибране $\varepsilon$ одержимо:

$\vert {\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l\vert <\varepsilon$

Розкривши модуль, одержимо:

$-\varepsilon <{\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l<\varepsilon$

$l-\varepsilon <{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<l+\varepsilon$

$(l-\varepsilon )^{n}<a_{n}<(l+\varepsilon )^{n}$

Оскільки $l-\varepsilon >1$, то ряд $\sum _{n=1}^{\infty }(l-\varepsilon )^{n}$ розбіжний. Тоді за ознакою порівняння ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ теж розбіжний.

Приклади

1. Ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}$

збіжний, оскільки виконується умова граничної форми радикальної ознаки

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}={\frac {1}{2}}$

2. Розглянемо ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }{({\frac {n-1}{n+1}})}^{n(n-1)}$

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{({\frac {n-1}{n+1}})}^{n-1}=\lim _{n\to \infty }{(1-{\frac {2}{n+1}})}^{n-1}=e^{-2}<1\Rightarrow$ряд збіжний

Див. також

• Інтегральна ознака Коші — Маклорена
• Ознака д'Аламбера
• Ознака збіжності Коші
• Числові ряди

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)