В математиці дигамма-функція визначається через логарифмічну похідну гамма-функції:

Дигамма-функція

Вона є першою полігамма-функцією, а вищі функції (тригамма-функція і т.д.) виходять з неї диференціюванням.


Зв'язок з гармонічними числамиРедагувати

Дигамма-функція пов'язана з гармонійними числами співвідношенням

 ,

де   -n-е гармонійне число, а   - постійна Ейлера — Маскероні.

Покажемо звідки береться такий зв'язок. Гамма функція задовольняє рівняння

 

Візьмемо похідну по z:

 

Поділимо на Γ(z + 1) або ж еквівалентно на zΓ(z):

 

або:

 

Оскільки гармонічні числа визначені для додатніх цілих числах n за формулою

 

отже, дигамма функція пов'язана з ними формулою

 

де H0 = 0, і γстала Ейлера — Маскероні. Для напів цілих чисел дигамма функція набуває вигляду

 

ВластивостіРедагувати

  • Формула доповнення
     
  • Рекурентні співвідношення
     
  • Розкладання на нескінченну суму
     
де   - Дзета-функція Рімана.
  • Логарифмічний розклад
     
  • Теорема Гауса
     
При цілих   з умовою  .

Деякі скінченні суми, в яких зустрічається дигамма функціяРедагувати

Є багато скінченних сум, де використовується дигамма функція. Основні з таких формул для сумування

 
 
 
 

виведені Ґауссом.[1][2] А більш складніші формули, як такі

 
 
 
 
 
 
 

виведені багатьма сучасними математиками (див. наприклад Додаток B в статті Блаґошин (2014)[3]).

Дигамма теорема ҐаусаРедагувати

Для натуральних r і m (r < m), дигамма функцію можна виразити через сталу Ейлера і скінченного числа елементарних функцій

 

дане вираження правильне спираючись на рекурсію для всіх раціональних аргументів.

ПриміткиРедагувати

  1. R. Campbell. Les intégrales eulériennes et leurs applications, Dunod, Paris, 1966.
  2. H.M. Srivastava and J. Choi. Series Associated with the Zeta and Related Functions, Kluwer Academic Publishers, the Netherlands, 2001.
  3. Blagouchine, Iaroslav V. (2014). A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations. Journal of Number Theory 148: 537–592. arXiv:1401.3724. doi:10.1016/j.jnt.2014.08.009. 

ПосиланняРедагувати