Відкрити головне меню
Ортогональні поліноми
Лежандра
Відкриті Адрієн-Марі Лежандр
Формула
Диференціальне рівняння
Визначені на
Вага 1
Норма
Примітки

Поліноми Лежандра — ортогональні поліноми на інтервалі .

Поліноми Лежандра можна отримати з системи поліномів за допомогою ортогоналізації Грама-Шмідта.

Можуть бути обчислені за допомогою прямих формул:

або за рекурентними:

Вони є розв'язками диференційного рівняння Лежандра:

Графіки поліномів Лежандра порядку

Генератриса для многочленів Лежандра дорівнює

Перші 9 поліномів Лежандра:

Зміст

ОртогональністьРедагувати

Умова ортогональності справджується на інтервалі  :

 

де   — дельта-символ Кронекера.

Приєднані функції ЛежандраРедагувати

Приєднані функції Лежандра визначаються за формулою:

 

яку можна також представити у вигляді:

 

При   функція   збігається з  .

Їх часто називають приєднаними поліномами Лежандра, хоча насправді ці функції не поліноми.

Приєднані функції Лежандра є розв'язками диференціального рівняння:

 

або еквівалентного йому:

 

ЗастосуванняРедагувати

Поліноми Лежандра широко застосовуються у фізиці. Зазвичай аргументом поліномів є косинус полярного кута  , який змінюється від −1 при   до 1 при  .

Зокрема для отримання мультипольного розкладу електростатичних полів:

 ,

де  , а   — кут між векторами   та  .

Інше важливе застосування — розклад полів на парціальні хвилі. Наприклад, плоска хвиля розкладається за допомогою формули

 

де   — сферичні функції Бесселя.

Див. такожРедагувати