Відкрити головне меню
Ортогональні поліноми
Чебишова
Відкриті Пафнутієм Чебишовим у 1854 році
Формула
Диференціальне рівняння

i

Визначені на
Вага для поліномів першого роду

для поліномів другого роду
Норма для поліномів першого роду
для поліномів другого роду
Примітки Нулі полінома Чебишова є оптимальними вузлами інтерполяційних схем.

Поліноми Чебишева — дві послідовності поліномів і , названі на честь Пафнутія Чебишова.


Поліном Чебишова першого роду є поліномом степеня зі старшим коефіцієнтом , що має найменше відхилення від нуля серед таких поліномів.

Поліном Чебишова другого роду є поліномом степеня зі старшим коефіцієнтом , інтеграл від абсолютної величини якого на проміжку набуває найменшого можливого значення.

Зміст

Рекурентні співвідношенняРедагувати

Поліноми Чебишова першого роду   можуть бути визначені за допомогою рекурентних співвідношень:

 
 
 

Поліноми Чебишова другого роду   можуть бути визначені за допомогою рекурентних співвідношень:

 
 
 

Генератриса поліномів першого роду має вигляд:

 

Генератриса поліномів другого роду має вигляд:

 

Явні формулиРедагувати

Поліноми Чебишова є розв'язками рівняння Пелля:

 

в кільці поліномів з дійсними коефіцієнтами і задовольняють рівність:

 

З останньої рівності також випливають формули:

 
 

Тригонометричні співвідношенняРедагувати

Поліноми Чебишова першого роду   можуть бути визначені за допомогою рівняння

 

або,

 

Поліноми Чебишова другого роду   можуть бути визначені за допомогою рівняння

 

Диференціальні рівняння ЧебишоваРедагувати

Поліноми Чебишова є розв'язками диференціальних рівнянь:

 

і

 

відповідно для поліномів першого і другого роду.

ПрикладиРедагувати

 
Поліноми Чебишева першого роду на відрізку−1 < x < 1: T0, T1, T2, T3, T4 and T5.

Перші поліноми Чебишова першого родуРедагувати

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Перші поліноми Чебишова другого родуРедагувати

 
Поліноми Чебишова другого роду на відрізку −1 < x < 1: U0, U1, U2, U3, U4 and U5.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВластивостіРедагувати

Поліноми Чебишова мають такі властивості:

  • Ортогональність відносно скалярного добутку (з вагою   для поліномів першого роду і   для поліномів другого роду).
 
 
  • Серед усіх поліномів, значення яких на відрізку   не перевищує за модулем 1, поліном Чебишова має:
    • найбільший старший коефіцієнт;
    • найбільше значення у довільній точці  .
  • Нулі полінома Чебишова є оптимальними вузлами інтерполяційних схем.

Див. такожРедагувати