Когомологія груп

Когомологія груп — когомологічна теорія, що широко використовується у теорії груп і застосуваннях, зокрема у алгебричній теорії чисел і алгебричній топології.

При цьому підході парі (G, A), де G — група, а A — лівий G-модуль, тобто модуль над цілочисельним груповим кільцем $\mathbb {Z} (G)$, зіставляється послідовність абелевих груп Hⁿ(G, А), що називаються групами когомологій групи G з коефіцієнтами в А. Число n, що пробігає всі цілі невід'ємні значення, називається розмірністю групи Hⁿ(G, А).

Групи когомологій є важливими інваріантами, що містять інформацію як про групу G, так і про модулі A.

Означення

Формальне означення за допомогою похідного функтора

Нехай G — деяка група і A — лівий G-модуль, тобто модуль над цілочисельним груповим кільцем $\mathbb {Z} (G).$ Нехай A^G — підмодуль G-інваріантних елементів у А, тобто множина таких елементів $a\in A,$ що для всіх елементів g у групі G виконується $ga=a.$

Усі G-модулі утворюють категорію морфізмами в якій є гомоморфізми f для яких виконуються рівності f(ga) = g(fa) для всіх $g\in G$ і $a\in A.$ Категорія G-модулів (тобто категорія $\mathbb {Z} (G)$-модулів) має достатньо ін'єктивних об'єктів, як і всі категорії модулів над кільцями.

Відображення A → A^G є функтором із категорії G-модулів у категорію абелевих груп. Цей функтор є точним зліва але не справа, тобто для точної послідовності 0→A→B→C→0 точною є послідовність 0→A^G →B^G →C^G.

Тому для функтора A → A^G можна побудувати праві похідні функтори. Їх значеннями є абелеві групи, що позначаються Hⁿ(G, А) і називаються n-ми когомологічними групами групи G із значеннями у A.

Означення за допомогою проєктивних резольвент

Окрім означення за допомогою ін'єктивних резольвент визначення можна дати за допомогою проєктивних резольвент. Для початку є ізоморфізм $\operatorname {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,A)\cong A^{G},$ де $\mathbb {Z}$ розглядається як G-модуль є з тривіальною дією.

Нехай

$\cdots {\xrightarrow {d_{n}}}P_{n}{\xrightarrow {d_{n-1}}}P_{n-1}\to \cdots \to P_{0}\to \mathbb {Z} \to 0$

є деякою проєктивною резольвентою тривіального G-модуля $\mathbb {Z}$ у категорії G-модулів, тобто точною послідовністю, в якій всі модулі P_i є проєктивними. Тоді Hⁿ(G, А) є n-на група когомологій коланцюгового комплексу:

$\cdots {\xleftarrow {d'_{n}}}\operatorname {Hom} _{G}(P_{n},A){\xleftarrow {d'_{n-1}}}\operatorname {Hom} _{G}(P_{n-1},A){\xleftarrow {d'_{n-2}}}\dots {\xleftarrow {d'_{0}}}\operatorname {Hom} _{G}(P_{0},A)\leftarrow 0$

де відображення $d'_{n}$ індуковані відображеннями $d_{n},$ тобто $H^{n}(G,A)=\operatorname {Ker} d'_{n}/\operatorname {lm} d'_{n-1}.$

Дане означення теж є за допомогою похідного функтора — функтора Ext. А саме $H^{n}(G,A)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} (G)}^{n}(\mathbb {Z} ,A).$

Стандартні резольвенти

Для обчислення груп когомологій зазвичай використовують стандартну резольвенту тривіального G-модуля $\mathbb {Z}$, в якій $P_{n}=\mathbb {Z} [G_{n}+1].$

P_n є вільним, а тому і проєктивним $\mathbb {Z} (G)$-модулем. Його базисом є, наприклад множина елементів виду $(1,g_{1},\ldots ,g_{n}),$ де $g_{1},\ldots ,g_{n}$ — довільні елементи групи G.

Для $(g_{0},\ldots g_{k})\in G^{n+1}$ можна визначити граничний оператор як:

$d_{n}(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{n})\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(g_{0},\ldots ,{\widehat {g_{i}}},\dots ,g_{n}\right)$

де знак ${\widehat {\cdot }}$ означає, що член g_i є відсутнім у виразі. Коланцюги з $Hom_{G}(P_{n},A)$ — функції $f(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{n})$ такі, що $gf(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{n})=f(gg_{0},gg_{1},\ldots ,gg_{n}).$

Роблячи заміну змінних за формулами $g_{0}=1,\ g_{1}=h_{1},\ g_{2}=h_{1}h_{2},\ g_{n}=h_{1}h_{2}...h_{n},$ можна перейти до неоднорідних коланцюгів $f(h_{1},\ldots ,h_{n}).$ Дія кограничного оператора на них задається як:

$\left(d^{n+1}f\right)(h_{1},\ldots ,h_{n+1})=h_{1}f(h_{2},\dots ,h_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}f\left(h_{1},\ldots ,h_{i-1},h_{i}h_{i+1},\ldots ,h_{n+1}\right)+(-1)^{n+1}f(h_{1},\ldots ,h_{n}).$

Наприклад одновимірний коцикл — функція $f:G\to A$ така, що $f(g_{1}g_{2})=g_{1}f(g_{2})+f(g_{1})$ для $g_{1},g_{2}\in G,$ а кограниця — функція виду f(g) = ga - a для деякого $a\in A.$ Одновимірний коцикл називається також схрещеним гомоморфізмом, а одновимірна кограниця — тривіальним схрещеним гомоморфізмом. У разі, коли G діє на А тривіально, схрещені гомоморфізми збігаються зі звичайними гомоморфізмами, а всі тривіальні схрещені гомоморфізми рівні 0, тобто в цьому випадку H¹(G, А) = Hom(G, А).

Аксіоматичне означення

Набір функторів $A\to H^{n}(G,A),\ n=0,1,...,$ є δ-функтором на категорії лівих G-модулів (як про це описано в статті Похідний функтор, оскільки когомології груп є похідними функторами).

Модуль виду $B=\operatorname {Hom} (\mathbb {Z} (G),X),$ де X — абелева група, a G діє на B за формулою

$(g\phi )(t)=\phi (tg),\ \ \forall \phi \in B,t\in \mathbb {Z} (G),$

називається коіндукованим. Для ін'єктивних і коіндукованих модулів A: Hⁿ(G, А) = 0 для n > 1. Будь-який модуль A є ізоморфним підмодулю деякого коіндукованого модуля B.

Точна когомологічна послідовність для послідовності

$0\to A\to B\to B/A\to 0$

визначає ізоморфізми Hⁿ(G, B/А) ~ Hⁿ⁺¹(G, А) і точну послідовність

$B^{G}\to (B/A)^{G}\to H^{1}(G,A)\to 0.$

Таким чином, обчислення n-1 -вимірної групи когомологій для модуля A зводиться до обчислення n-вимірної групи когомологій для модуля B/A. Цей метод називається зсувом розмірностей.

Зсув розмірностей дозволяє дати аксіоматичне означення груп когомологій, як послідовність функторів $A\to H^{n}(G,A)$ з категорії G-модулів в категорію абелевих груп, що утворюють δ-функтор і задовольняють умові Hⁿ(G, А) = 0 при n > 1 для будь-якого коіндукованого модуля B.

Означення груп Hⁿ(G, А) можна дати також за допомогою відношення еквівалентності на множині точних послідовностей G-модулів виду

$0\to A\to M_{1}\to \ldots \to M_{n}\to \mathbb {Z} \to 0.$

Гомологія груп

Групи гомології груп визначаються за допомогою двоїстої конструкції з заміною всюди функтора $\operatorname {Hom} _{G}$ функтором.$\otimes _{G}$

Нехай знову ж

$\cdots {\xrightarrow {d_{n}}}P_{n}{\xrightarrow {d_{n-1}}}P_{n-1}\to \cdots \to P_{0}\to \mathbb {Z} \to 0$

є деякою проєктивною резольвентою тривіального G-модуля $\mathbb {Z}$ у категорії G-модулів.

Застосувавши до цієї послідовності коваріантний функтор $\cdot \otimes _{\mathbb {Z} (G)}A$ одержується ланцюговий комплекс:

$\cdots \to F_{n}\otimes _{\mathbb {Z} (G)}A\to F_{n-1}\otimes _{\mathbb {Z} (G)}A\to \cdots \to F_{0}\otimes _{\mathbb {Z} (G)}A\to \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} (G)}A.$

Гомологічні групи цього комплексу називаються гомологічними групами групи G із значеннями у A і позначається H_n(G, А).

Зважаючи на означення функтора Tor, коротко можна записати:

$H_{n}(G,A)=\operatorname {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} (G)}(\mathbb {Z} ,A).$

Гомологічні групи малої розмірності

Елементи групи H¹(G, А) можна інтерпретувати як класи автоморфізмів групи F, що міститься в точній послідовності $1\to A\to F\to G\to 1,$ тотожні на A і на G по модулю спряжень елементами $a\in A.$

Елементи групи H²(G, А) інтерпретуються як класи розширень групи A за допомогою G.

Група H³(G, А) допускає інтерпретацію як перешкода для розширень неабелевої групи H з центром A за допомогою G.

Властивості

• Якщо E — підгрупа групи G, то обмеження коциклів з G на H визначає для всіх n функторіальні гомоморфізми обмеження

$\operatorname {res} :H^{n}(G,A)\to H^{n}(E,A)$

При n = 0 гомоморфізм res збігається з вкладенням $A^{G}\subset A^{H}$.

• Якщо G/E — фактор-група групи G, то підняття коциклів з G/E на G індукує функторіальні гомоморфізми інфляції

$\operatorname {inf} :H^{n}(G/E,A^{H})\to H^{n}(G,A).$

• Нехай $\phi :G'\to G$ — деякий гомоморфізм. Тоді будь-який G-модуль A можна перетворити в G' -модуль, вважаючи для $g'\in G',$ що $g'a=\phi (g')a.$ Поєднуючи відображення res і inf, одержується відображення $H^{n}(G,A)\to H^{n}(G',A).$ У цьому сенсі $H^{*}(G,A)$ є контраваріантним функтором по G.

• Якщо $\Pi$ — деяка група автоморфізмів групи G, то групи Hⁿ(G, А) можна перетворити в $\Pi$-модулі. Наприклад якщо E — нормальна підгрупа групи G, то групам Hⁿ(E, А) можна надати природну структуру G/E-модулів. Це можливо завдяки тому, що внутрішні автоморфізми групи G індукують тотожні відображення на групах Hⁿ(G, А).

• Нехай E — підгрупа групи G скінченного індексу. Тоді відображення норми N_G/H: A^E → A^G (яке рівне за означенням $a\mapsto \sum _{g\in G/E}ga$) дозволяє, за допомогою зсуву розмірностей, визначити для всіх n функторіальні гомоморфізми кообмеження cores: Hⁿ(E, А) → Hⁿ(G, А), що задовольняють співвідношенню cores(res) = (G:E).

Когомології скінченних груп

• Для скінченної групи G відображення норми N^G: A → A (тобто відображення $a\mapsto \sum _{g\in G}ga)$ ) індукує відображення ${\hat {N}}_{G}:H_{0}(G,A)\to H^{0}(G,A),$ де $H_{0}(G,A)=A/J_{G}A$ і $J_{G}$ — ідеал кільця $\mathbb {Z} (G),$ породжений всіма елементами виду g-1 для $g\in G.$

• Відображення $N_{G}$ дозволяє об'єднати точні послідовності когомологій і гомологій. А саме, можна визначити модифіковані групи когомологій — ${\hat {H}}^{n}(G,A)$ (які також називаються когомологіями Тейта) для всіх цілих n:

${\widehat {H}}^{n}(G,A):={\begin{cases}H^{n}(G,A)&n\geqslant 1\\\operatorname {coker} {\hat {N}}&n=0\\\ker {\hat {N}}&n=-1\\H_{-n-1}(G,A)&n\leqslant -2,\end{cases}}$

Для цих когомологій існує точна нескінченна в обидві сторони когомологічна послідовність.

• G-модуль A називається когомологічно тривіальним, якщо ${\widehat {H}}^{n}(E,A)=0$ для всіх n і будь-якої підгрупи E. Модуль A є когомологічно тривіальним тоді і тільки тоді, коли існує ціле число i для якого ${\widehat {H}}^{i}(E,A)=0$ i ${\widehat {H}}^{i+1}(E,A)=0$ для будь-якої підгрупи E. Будь-який модуль A є підмодулем або фактор-модулем когомологічно тривіального модуля, що дозволяє застосовувати зсув розмірностей як для підвищення, так і для пониження розмірності. Зокрема, зсув розмірностей дозволяє визначити відображення res і cores (але не inf) для всіх цілих чисел n.

• Для скінченнопородженого G-модуля A групи ${\widehat {H}}^{n}(G,A)$ є скінченними.

• Групи ${\widehat {H}}^{n}(G,A)$ анулюються множенням на порядок групи G, а відображення ${\widehat {H}}^{n}(G,A)\to \oplus _{p}H^{n}(G_{p},A),$ індуковані обмеженнями, де G_p — деяка p-підгрупа Силова групи G є мономорфним. Це дозволяє зводити ряд питань про когомології скінченних груп до розгляду когомологій p-груп.

• Когомології циклічної групи мають період 2, тобто для будь-якого n для циклічної групи ${\widehat {H}}^{n}(G,A)\cong {\widehat {H}}^{n+2}(G,A).$

• Для будь-яких цілих $n$ і $m$ визначено відображення (що називається $\smile$-добутком) де тензорний добуток груп A і B розглядається як G-модуль. В окремому випадку, коли A — кільце і операції з групи G є автоморфізм, то $\smile$-добуток перетворює групу $\oplus _{n}{\widehat {H}}^{n}(G,A)$ в градуйоване кільце.

• Теорема двоїстості для $\smile$-добутку стверджує, що для будь-якої подільної абелевої групи C і G-модуля A $\smile$-добуток

${\widehat {H}}^{n}(G,A)\otimes {\widehat {H}}^{-n-1}(G,\operatorname {Hom} (A,C))\to {\widehat {H}}^{-1}(G,C)$

визначає ізоморфізм між групами ${\widehat {H}}^{n}(G,A)$ і $\operatorname {Hom} \left({\widehat {H}}^{-n-1}(G,\operatorname {Hom} (A,C)),{\widehat {H}}^{-1}(G,C)\right).$

$\smile$-добуток є визначеним і для нескінченної групи G за умови, що n, m > 0.

Когомології проскінченних груп

Багато задач призводять до необхідності розгляду когомологій топологічної групи G, що неперервно діє на топологічному модулі A. Зокрема, якщо G — проскінченна група (випадок найбільш близький до скінченних груп) і A — дискретна абелева група, що є неперервним G-модулем, то можна розглянути когомології групи G з коефіцієнтами в A, що обчислюються в термінах неперервних коланцюгів.

Ці групи можна визначити також як межі $\lim _{\to }H^{n}(G/U,A^{U})$ щодо відображень інфляції, де U пробігає всі відкриті нормальні підгрупи в G.

Ці когомології володіють усіма основними властивостями когомологій скінченних груп. Якщо G — проскінченна p-група, то розмірності над $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ першої і другої її груп когомологій з коефіцієнтами в $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ інтерпретуються як мінімальне число твірних елементів і співвідношень (між цими твірними) групи G.

Література

• Ari Babakhanian (1972), Cohomological Methods in Group Theory, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, т. 11, M. Dekker, ISBN 9780824710316
• David J. Benson, Representations and cohomology. II: Cohomology of groups and modules, Cambridge studies in advanced mathematics, т. 31, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-63652-3
• Brown, Kenneth S. (1972), Cohomology of Groups, Graduate Texts in Mathematics, т. 87, Springer Verlag, ISBN 978-0-387-90688-1, MR 0672956
• Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht, ред. (1967). Algebraic Number Theory. Academic Press. Zbl 0153.07403.
• Evens, Leonard (1991), The Cohomology of Groups, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 9780198535805
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001.
• Weibel, Charles A (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR 1269324
• Edwin Weiss (1969), Cohomology of Groups, Academic Press, ISBN 9780127427508

Див. також

• Гомологія (математика)
• Ланцюговий комплекс
• Похідний функтор
• Функтор Ext